Il criterio media varianza. Ordinamenti totali e parziali

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1 Il citeio media vaianza Il citeio media vaianza è un alto esemio di odinamento aziale ta lotteie definito da a M b se la lotteia b domina la lotteia a se ha media sueioe e vaianza infeioe a b eσ a σ b Se la lotteia b ha media sueioe e vaianza sueioe ad a oue se ha media infeioe e vaianza infeioe ad a alloa non è confontabile con a Pe la sua semlicità il citeio media vaianza è il unto di atenza della teoia del otafoglio; e il modello media vaianza 95 H Makoitz insieme a Mille e Shae ha icevuto il emio Nobel nel 99 Fabio Bellini 3 Odinamenti totali e aziali Osseviamo innnanzitutto che uò essee agionevole utilizzae un odinamento aziale ta le ootunità di investimento d oa in oi le geneiche lotteie della teoia delle decisioni saanno sostituite da otafogli Infatti e avee un odinamento totale saebbe necessaio secificae univocamente la funzione di utilità di cose cete dell investitoe cosa che otebbe essee iuttosto estittiva o consentie un magine di discezionalità too amio D alto canto l utilizzae un odinamento aziale comota che non esista iù un unico otafoglio ottimo che sia miglioe di tutti gli alti ma esisteanno in geneale iù otafogli che non ossono essee ulteiomente miglioati; Da un unto di vista matematico al concetto di massimo sostituiamo quello di elemento massimale che significa non dominato o come si dice nella teoia del otafoglio efficiente Fabio Bellini 3

2 Massimi ed elementi massimali Chiaiamo l idea da un unto di vista matematico con un esemio Consideiamo in R l odinamento aziale definito in questo modo: x y x y x y se x y e x x y domina un alto se sta soa e a desta y Consideia mo un quadato di lato unitaio centato nell' oigine e un cechio di lato unitaio centato nell' oigine; quali sono i massimi? quali sono gli elementi massimali? ; un unto ne Fabio Bellini 3 Massimi ed elementi massimali / Nella teoia del otafoglio l insieme dei otafogli non dominati si chiama fontiea efficiente Fabio Bellini 3

3 Motivazioni e il citeio M Analizziamo in dettaglio le motivazioni che ossono essee fonite e giustificae il citeio media vaianza Se iconsideiamo la esessione aossimata della utilità attesa abbiamo U a u a u' ' a σ a quindi e qualsiasi funzione di utilità in ima aossimazione la utilità attesa diende soltanto da media e vaianza; inolte se l investitoe è avveso al ischio il secondo temine è negativo Se la distibuzione della lotteia che nel caso finanziaio è la distibuzione del endimento del otafoglio è nomale alloa è comletamente caatteizzata da media e vaianza e quindi la utilità attesa diende solo da media e vaianza Fabio Bellini 3 Motivazioni e il citeio M / Lo abbiamo visto ad esemio nel caso della utilità esonenziale: Se X ha distibuzione N σ e u x e e il ceto equivalente è dato σ da C X 3 Se l agente ha una utilità quadatica alloa e qualsiasi distibuzione dei endimenti abbiamo: u x x b x < b be[ X ] E[ X E[ u X ] E[ X b ] E[ X ] b cioè la utilità attesa diende solo da media e vaianza x σ alloa E[ u X ] ex bx b ] Fabio Bellini 3

4 Citiche al citeio M D alto canto il citeio iù coetto sulla base della teoia delle decisioni iotizzando soltanto che l agente abbia una funzione di utilità nondecescente e concava saebbe quello della dominanza stocastica del secondo odine monotona SSDM Putoo non sussistono imlicazioni ta l odinameneto SSDM e l odinamento M se consideiamo ad esemio con ob con ob a b con ob con ob abbiamoche chiaamente b in quantoi FSD a sono tutti maggioi di quelli di a valoidi b tuttaviaσ 5 >> σ 5 E quindi ossibile che otafogli efficienti secondo il citeio M non lo siano secondo la SSDM; sulla fontiea efficiente di Makoitz ossono esseci otafogli che non saebbeo scelti da un investitoe avveso al ischio b a Fabio Bellini 3 Notazioni Ci mettiamo in un contesto unieiodale con due date ilevanti: oggi t e il nosto oizzonte temoale t Indichiamo con i il endimento semlice del titolo i-esimo definito come Pi Pi i P i e semlicità iotizziamo che nel nosto oizzonte temoale non vengano agati dividendi Indichiamo con il vettoe dei endimenti dei singoli titoli che sono vaiabili aleatoie; si tatta quindi di un vettoe aleatoio vaiabile casuale multivaiata Indichiamo con il vettoe delle medie e con il vettoe dei esi: n E [ ] E [ ] E [ n ] n Fabio Bellini 3

5 Notazioni / Fabio Bellini 3 Il endimento del otafoglio è una vaiabile casuale univaiata data da e la sua media è data da Indichiamo con la matice vaianza covaianza dei endimenti : E E ] [ ] [ n n n E E E E a a a ] [ ] [ ] [ ] [ Notazioni /3 Fabio Bellini 3 Ricodiamo che è una matice simmetica La vaianza del endimento di un otafoglio è data da Nel caso di un otafoglio di due titoli abbiamo ad esemio Pe tattae il caso geneale di n titoli è necessaia la notazione vettoiale che è anche molto iù comatta a a [ ] a a a a a

6 Imostazione del oblema Fabio Bellini 3 Il oblema della iceca del otafoglio a vaianza minima e un fissato valoe del endimento atteso si scive come: Si tatta di una oblema di minimizzazione di una funzione obiettivo quadatica con due vincoli di uguaglianza lineai; il imo fissa il endimento atteso il secondo la somma dei esi che deve essee ai a In questa fomulazione non ci sono vincoli di nonnegatività: sono ammesse le vendite allo scoeto dove min R t s n Moltilicatoi di Lagange Fabio Bellini 3 La soluzione uò essee ottenuta attaveso il metodo dei moltilicatoi di Lagange che a ciascun oblema di ottimizzazione vincolata fa coisondee un iù semlice oblema di ottimizzazione libea che eò ha delle vaiabili decisionali aggiuntive i moltilicatoi di Lagange aunto una e ciascun vincolo Pe isolvee il geneico oblema occoe minimizzae la funzione lagangiana data da Nel nosto caso min g t s f n R g f L λ λ L λ λ

7 Moltilicatoi di Lagange / Fabio Bellini 3 Essendo in questo caso come in molti modelli economici la funzione lagangiana convessa la condizione necessaia del imo odine che le deivate aziali siano uguali a F O C diventa anche sufficiente; Inolte dalla stetta convessità della funzione obiettivo abbiamo che il otafoglio a vaianza minima è unico Pe tovalo basta quindi oe uguali a le deivate aziali della lagangiana: si tatta di un sistema di n equazioni in n incognite cioè L L L λ λ Soluzione analitica Fabio Bellini 3 La soluzione analitica si uò ottenee da g h D A D C h D A D B g A BC D C B A ot λ λ λ abbiamo che onendo : seguente isultato è il Il saltiamo li non difficili; ma sono lunghi calcoli I e icavae ossono si teza e nella seconda nella equazione ima sostituend o la a ota che

8 Soluzione analitica Osseviamo quindi che i otafogli ottimi sono deteminati da due vettoi g e h; i esi dei titoli che li comongono sono funzioni lineai del endimento atteso La covaianza ta i endimenti di due otafogli ottimi è data da C A A q q D C C C La vaianza del otafoglio ottimo di endimento da C A a D C C Fabio Bellini 3 Fontiea efficiente La fontiea efficiente nel iano σ è quindi una aabola: C A a D C C Il otafoglio a vaianza minima globale ha endimento atteso A/C e vaianza /C Fabio Bellini 3

9 Soluzione numeica ediamo un esemio di soluzione numeica in Excel Consideo 5 titoli Autogill Enel Eni Geneali elecom dal 4// al 4/3/ 35 gioni di bosa aeta Date autogill enel eni geneali telecom 4/3/ /3/ /3/ /3/ /3/ /3/ /3/ /3/ /3/ /3/ /3/ /3/ /3/ /3/ Fabio Bellini 3 Distibuzione dei endimenti autogill enel eni geneali telecom media 5% 3% % -5% % std 69% 35% 4% 8% 9% asimmetia cutosi Fabio Bellini 3

10 Matice aianza aianza autogill enel eni geneali telecom autogill 86 enel 8 8 eni geneali telecom autogill enel eni geneali telecom autogill enel eni geneali telecom Fabio Bellini 3 Rendimento del otafoglio Fabio Bellini 3

11 aianza del otafoglio Fabio Bellini 3 Potafoglio ottimo Fabio Bellini 3

12 Fontiea efficiente Fabio Bellini 3 Fontiea efficiente Fabio Bellini 3