METODI PER L'ANALISI DEI CIRCUITI

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1 MTODI P 'NISI DI IUITI Nel seguto engono llustrat, medante esemp, alun tra metod pù utlzzat per l'anals de rut elettr. Il problema he s uole rsolere è l seguente: assegnato l ruto elettro e le grandezze mpresse de generator ndpendent present, n generale funzon qualunque del tempo, s uole alolare l'andamento temporale delle orrent d ramo e delle tenson d ramo. ome gà detto, s suppone per sempltà he tutt omponent sano de bpol, potendos rondurre alla potes medante l'ntroduzone d rut equalent de omponent a pù d due termnal. IUITI PIVI DI MMOI. I rut pr d memora sono quell n u tutt omponent del ruto sono pr d memora; n tal aso l sstema rsolente del ruto stesso è osttuto da un sstema d equazon algebrhe ed l alore d tutte le grandezze nognte n un genero stante può essere alolato dalla onosenza del alore delle grandezze mpresse del ruto n quello stesso stante. Metodo delle equazon d Krhhoff ome s è sto, dato un ruto on ram ed N nod, è possble ottenere N equazon lnearmente ndpendent applando la KT, ed N equazon lnearmente ndpendent applando la K. e KT anno applate a magle tra loro ndpendent, le K a superf huse he possono essere le superf d taglo assoate al partolare albero selto o, pù semplemente, superf he rahudono un solo nodo. In quest ultmo aso la K afferma he la somma algebra delle orrent entrant n un nodo è nulla. e KT, le K e le relazon osttute osttusono un sstema d equazon he, rsolto, fornse le nognte tenson e orrent d ramo. In fg è llustrato un ruto on ram e nod. e nognte del problema sono orrent ed altrettante tenson d ramo. e tre magle ndpendent sono state selte faendo rfermento all albero n fg a b I Fgura D Metod per l anals de rut -

2 Metod per l anals de rut - D a b Fgura pplando la KT alle magle osì defnte s ottengono le seguent equazon: 5 () pplando la K a nod, e s può srere: 5 () Il sstema ene qund huso dalle seguent equazon osttute de omponent: 5 I () e KT (), () e () osttusono un sstema d equazon, rsolendo l quale è possble alolare le nognte tenson e orrent d ramo. Metodo delle orrent d magla Una semplfazone del sstema rsolente s può ottenere osserando nnanztutto he tramte le legg osttute de omponent è possble elmnare le tenson d ramo de omponent ontrollat n tensone dalle KT. d esempo, utlzzando le (), le () dentano: 5 () le equazon d taglo permettono noltre d esprmere la orrente n asun ramo d albero ome una ombnazone lneare delle orrent de ram d oalbero, he sono state defnte orrent d magla. e equazon d taglo possono qund essere utlzzate per elmnare le orrent de ram d

3 albero. Per l ruto n fg., le equazon d taglo assoate all albero n fg. fornsono le seguent relazon: a b a doe s è posto, (5) b b 5 ndando onenzonalmente le orrent d magla on la lettera ed assegnando loro ome erso posto l erso d perorrenza della magla. e equazon (5) autorzzano a pensare a asuna orrente d magla ome ad una orrente he perorre la propra magla d rfermento, sorapponendos alle altre orrent d magla ne ram omun (ed fg. ). e orrent del ruto elettro rsultano qund dalla sorapposzone delle orrent d magla. Inserendo le (5) nelle (), e tenendo onto della legge osttuta del generatore d orrente s ottene: a b ( ) b a () 5 b I S not he la orrente d magla rsulta gà nota n quanto fssata dal generatore d orrente. Dalle prme due equazon del sstema è possble raare le due orrent d magla a e b. a terza equazone fornse la tensone del generatore d orrente una olta note le orrent d magla. possble generalzzare l rsultato ottenuto e formulare un proedmento he permette, per qualsas ruto, d srere un sstema n u ompaano unamente le orrent d magla e le tenson de omponent non ontrollat n orrente. passo: Indduare le magle ndpendent. passo: ssegnare a asuna magla un erso d perorrenza. passo: Indduare le resstenze propre e mutue per asuna magla. In un ruto n u sano present m magle ndpendent, ogn magla ha una resstenza propra e m- resstenze mutue. a resstenza propra kk della k-esma magla è defnta ome la somma delle resstenze de ram he osttusono la magla k. a resstenza mutua kp tra la k-esma e la p-esma magla è defnta ome la somma delle resstenze de ram he sono omun alla magla k ed alla magla p. Il segno della resstenza mutua kp a preso posto se le orrent d magla k e p sono onord lungo ram omun, negato n aso ontraro. mmedato erfare he se due magle non hanno ram n omune la loro resstenza mutua è nulla e he, per due qualsas magle k e p, ale la relazone kp pk. Nel ruto d esempo, s ha he: aa esstenza propra della magla assoata alla orrente d magla a bb esstenza propra della magla assoata alla orrente d magla b esstenza propra della magla assoata alla orrente d magla ab ba esstenza mutua delle magle assoate alle orrent d magla a e b a a esstenza mutua delle magle assoate alle orrent d magla a e b b esstenza mutua delle magle assoate alle orrent d magla b e passo: Srere un equazone per asuna magla. In un ruto on m magle ndpendent, l equazone per la genera magla k, osttuta da r k ram, assume la forma seguente: r r m k k prmo membro della (7) fgura la somma algebra delle tenson de generator he s nontrano perorrendo gl r k ram della magla, poste se onord on l erso d perorrenza, negate n aso ontraro. e sono le f.e.m. de generator ndpendent d tensone, e rsultano pertanto note. e sono le tenson nognte de omponent non ontrollat n orrente (generator ndpendent d orrente). seondo membro a la somma delle tenson a morsett de omponent resst b k (7) Metod per l anals de rut -

4 perors dalle orrent d magla. Tale termne è somposto nel ontrbuto kk k, mputable alla orrente d magla k assoata alla magla k stessa ed a ontrbut k, dout alle orrent d magla assoate alle magle adaent a quella n questone. passo: Nel aso n u sano present nel ruto omponent non ontrollat n orrente, nelle equazon srtte al punto fgurano le tenson relate a tal omponent ome nognte aggunte. qund neessaro ompletare l sstema on le legg osttute de omponent non ontrollat n orrente. a legge osttuta dee essere espltata n termn delle orrent d magla, faendo rorso, oe neessaro, alle equazon d taglo. Metod per l anals de rut -

5 Metodo de potenzal d nodo a defnzone d nodo fornta preedentemente (pag. rut-def) fa orrspondere un nodo ad ogn morsetto. Tale defnzone, pur essendo formalmente orretta, rsulta a olte sonenente dal punto d sta prato. In questo paragrafo s farà rfermento ad una defnzone pù operata : Nodo: punto a u sono ollegat o pù ram. amo: tratto d ruto he unse due nod. In questo modo, s elmnano nod omun a due omponent n sere, ed ram possono essere osttut da due o pù omponent n sere. Per asun ramo sarà neessaro fornre un equazone he metta n relazone la tensone tra due nod nzale e fnale on la orrente. Tale relazone sarà ottenuta utlzzando le legg osttute de omponent he, dspost n sere, osttusono l ramo onsderato. Quando tutt ram del ruto sono ontrollat n tensone, oè quando, per tutt ram, la orrente è esprmble n funzone della tensone tra due nod nzale e fnale, è possble utlzzare l metodo dell'anals de nod per srere un sstema rsolente d (N-) equazon nelle (N-) tenson d nodo nognte del ruto. S onsder l genero nodo O (fgura 9), al quale fanno apo l ram ontenent resstenze, eentualmente n sere a generator d tensone, e k ram ontenent generator d orrente, non neessaramente n sere a delle resstenze. I k lk lk O l I l l l I l ram l kl ram l l l Fgura Per asun ramo non ontenente un generatore d orrente, assumendo ers d rfermento per tenson e orrent ndat n fg., è possble srere: Metod per l anals de rut - 5

6 ( ) o o,,,..., l (8) a tensone a ap d asun ramo, dalle legg d Krhhoff può essere espressa ome dfferenza delle tenson d nodo de nod u l ramo è ollegato. Il sstema rsolente s ottene srendo la K per ogn nodo del ruto, esluso quello d rfermento, e rsulta qund osttuto da (N-) equazon nelle (N-) tenson d nodo nognte. Ne ram n u è presente un generatore d orrente, la orrente d ramo è fssata dalla presenza d tale generatore: I, l, l,..., l k (9) In rtù della K applata al nodo O è possble srere: l k (). Tenendo onto delle (8) e (9), la () può essere rsrtta ome: l l l ( ) ( ) ( ) l k o I, S not he le prme tre sommatore a prmo membro della () sono estese a ram he non ontengono generator d orrente, mentre l ultma sommatora è estesa solo a tal ram. possble srere un sstema d (N-) equazon lnearmente ndpendent applando la () ad altrettant nod. e nognte del problema osì formulato rsultano essere le tenson d (N-) nod, mentre la tensone del nodo rmanente è assunta ome rfermento. Nel aso n u sano present nel ruto ram non ontrollat n tensone (ome nel aso n u due nod sono onness da un generatore d tensone ndpendente), le orrent d tal ram non sono pù esprmbl n termn d tensone. Sa qund dato un genero ramo r k non ontrollato n tensone, he onnette due nod O e O. Nell applare l metodo de potenzal d nodo, la orrente k he perorre l ramo r k dee essere onsderata ome un nognta. nognta k a aggunta o sottratta al prmo membro dell equazone d tpo () relato a nod O e O, a seonda he l erso posto selto per k sa usente o entrante. endo aggunto una nognta, sarà neessaro aggungere un equazone per ompletare l sstema. Tale equazone è rappresentata dalla legge osttuta del ramo r k. l () I O O D S I 5 Fgura Metod per l anals de rut -

7 sempo: In fg. sono raffgurat nod O e O d un ruto elettro, ed ram ad ess onness. Gl altr ram del ruto non sono raffgurat per maggore harezza. I nod O e O sono tra loro onness dal generatore ndpendente d tensone. e equazon d nodo, srtte utlzzando la (), per nod O e O sono: ( ) ; O I I. O 5 lle due equazon appena srtte a aggunta la legge osttuta del generatore d tensone :. O O e tre equazon appena srtte, unte alle rmanent equazon d nodo, fornranno la soluzone del ruto. nteressante notare he la arable può essere falmente elmnata sommando membro a membro le due equazon per nod O e O : I I ( ). O O 5 equazone appena srtta è quella he s otterrebbe applando la K alla superfe S n fg., ed esprmendo le orrent he attraersano tale superfe tramte relazon del tpo (8) o (9). Teorema d Theenn Ipotes. Sono dat due bpol, ed N ollegat ome llustrato nella fgura. Il bpolo è lneare e ontrollato n orrente, mentre l bpolo N può essere qualsas, anhe non lneare. N N ' Fgura 5 Teorema d Theenn Tes. mtatamente alla orrente ed alla tensone alla porta, l ruto he s ottene sosttuendo l bpolo on un generatore d tensone ed un bpolo ' ollegat n sere, è equalente n ogn stante al ruto orgnale. Il bpolo ' s ottene dal bpolo annullando le grandezze mpresse de generator ndpendent d tensone e d orrente eentualmente present ( generator ndpendent d tensone engono qund sosttut on de orto-rut ed generator ndpendent d orrente engono sosttut on de rut apert). a tensone mpressa del generatore d tensone d Theenn è par al alore della tensone alla porta del bpolo quando la orrente è nulla (' da notare he l erso posto d è arbtraro: una olta selto l erso posto, l alore Metod per l anals de rut - 7

8 d è par alla tensone se la punta della frea punta erso l termnale, è par nee a - se la punta della frea punta erso l termnale ) nalogo al teorema d Theenn, on potes sml e le stesse possbltà d applazone è l teorema d Norton. Teorema d Norton Ipotes. Sono dat due bpol, ed N ollegat ome llustrato nella fgura 5. Il bpolo è lneare e ontrollato n tensone, mentre l bpolo N può essere qualsas, anhe non lneare. Tes. mtatamente alla orrente ed alla tensone alla porta, l ruto he s ottene sosttuendo l bpolo on un generatore d orrente ed un bpolo ' ollegat n parallelo, è equalente n ogn stante al ruto orgnale. Il bpolo ' s ottene dal bpolo annullando le grandezze mpresse de generator ndpendent d tensone e d orrente eentualmente present (l bpolo ' è lo stesso he nterene nel teorema d Theenn). a orrente mpressa I del generatore d orrente d Norton è par al alore della orrente alla porta del bpolo quando la tensone è nulla. S not he l erso posto d I è arbtraro: una olta selto l erso posto l alore d I è par alla orrente se la punta della frea punta erso l termnale doe la orrente ese da, è par nee a - se la punta della frea punta erso l termnale doe la orrente entra n. N N ' I Fgura Teorema d Norton Trasformazon stella-trangolo e trangolo-stella Nella fgura 7a sono mostrat tre resstor ollegat a stella; nella fgura 7b sono mostrat tre resstor ollegat a trangolo. ntramb sstem osttusono un trpolo he ene ollegato al ruto esterno attraerso tre termnal, e. Faendo uso delle egg d Krhhoff e delle relazon osttute de resstor è possble dmostrare he, per quanto rguarda le orrent a termnal (, e ), è possble sostture tre resstor ollegat a stella on tre resstor, d resstenza opportuna, ollegat a trangolo e eersa. a sosttuzone a ntesa nel senso he qualunque sa l sstema d tenson applate a termnal, e l sstema d orrent assorbto da due arh è lo stesso. Metod per l anals de rut - 8

9 O Fgura 7a. Fgura 7b. on rfermento alle fgure 7a e 7b, le espresson delle resstenze equalent per le trasformazon stella-trangolo e trangolo-stella sono le seguent, doe on G è ndata la onduttanza, oero l nerso della resstenza. Trasformazone trangolo-stella Trasformazone stella-trangolo G G G G G G G G G G G G G G G G G G IUITI ON MMOI Vengono dett rut on memora quell n u è presente almeno un omponente dotato d memora; n questo aso l sstema rsolente del ruto stesso è osttuto da un sstema d equazon non pù algebrhe, ome nel aso de rut senza memora, ma, n generale ntegrodfferenzal ed l alore d tutte le grandezze nognte n un genero stante può essere alolato dalla onosenza del alore delle grandezze mpresse del ruto n tutto l'nterallo temporale preedente all'stante onsderato, a partre da un stante nzale n u sono note le arabl d stato del sstema (quelle grandezze u è assoata una energa elettromagneta mmagazznata nel ruto: tensone a ap de ondensator e orrente attraerso gl nduttor). Tutt metod preedentemente desrtt per l aso de rut senza memora, sono applabl n questo aso, on le stesse potes, ompres teorem d Theenn e d Norton, la u formulazone, nfatt, non fa alun rfermento alle arattersthe d memora del ruto, ma portano a srere un sstema d equazon ntegro-dfferenzal. In partolare, per quanto rguarda l metodo d Krhhoff, le equazon osttute dalle K e KT rmangono un sstema d equazon algebrhe lnear he ene però huso dalle equazon osttute de omponent n u ompaono termn ntegrodfferenzal. Metod per l anals de rut - 9

10 Metodo delle equazon d stato Nello studo d un ruto n u gl un omponent dotat d memora sano nduttor e ondensator, è possble perenre on un proedmento automato ad un sstema rsolente osttuto da tante equazon dfferenzal ordnare del prmo ordne, quant sono ondensator e gl nduttor present nel ruto. e nognte d tale sstema sono le arabl d stato del ruto, oero le tenson a ap de ondensator e le orrent attraerso gl nduttor. S onsder ad esempo l ruto llustrato nella fgura 8. e equazon osttute del ondensatore e dell'nduttore portano a srere le seguent equazon: d dt d dt () - Fgura 8 a orrente attraerso l ondensatore e la tensone a ap dell'nduttore possono essere espresse n funzone delle arabl d stato ed rsolendo l ruto on una qualsas delle metodologe gà ste. tal fne, è possble shematzzare l nduttore on un generatore d orrente on orrente mpressa ed l ondensatore on un generatore d tensone on tensone mpressa, ottenendo osì l ruto llustrato nella fgura. Fgura 9 Metod per l anals de rut -

11 a soluzone del ruto d fgura 9 può, ad esempo, essere ottenuta medante l metodo de potenzal d nodo, alolando prma la tensone del nodo rspetto al nodo : ; () ' qund possble esprmere la orrente e la tensone n funzone delle arabl d stato del sstema (la () esprme nfatt la tensone n funzone delle due arabl d stato): () Infne, sosttuendo le () nelle () s ottene: d dt d dt ( ) d dt d dt ( ) (5) a soluzone del sstema d equazon dfferenzal ordnare del prmo ordne (5) può essere ottenuta, eentualmente per a numera, a partre dall'stante nzale n u sono not alor ed delle arabl d stato (ondzon nzal): ( ) ( ) () possble onsderare rut n u sono present nterruttor deal he s aprono e s hudono stantaneamente. nterruzone o l nstaurars d una orrente elettra n un nterruttore reale è un fenomeno molto omplesso he non aene stantaneamente; aene omunque n un tempo molto polo he può rsultare trasurable a fn del transtoro he s uole studare. In questo aso è possble desrere l proesso medante l nterruttore deale. S onsder ad esempo l ruto rappresentato nella fgura n u è presente l nterruttore deale T he s hude stantaneamente all stante t. Quando l nterruttore deale è aperto (fgura a) esso equale ad un ruto aperto e qund la orrente he lo attraersa è nulla. Veersa quando l nterruttore è huso esso equale ad un orto ruto e la tensone a suo ap è nulla. Metod per l anals de rut -

12 (a) T (b) T - - Fgura ruto on nterruttore deale aperto (a) e huso (b) ll stante t -, oè un stante prma he l nterruttore s huda, l ruto s troa n regme stazonaro; la orrente è nulla e qund è nulla anhe la tensone a ap dell nduttore e del resstore. Un stante dopo he l nterruttore s è huso (t ) le grandezze del ruto hanno n generale, essendo ambata n manera dsontnua la topologa del ruto, alor ders da quell relat all stante t -. d esempo, la tensone a ap della sere resstore-nduttore, nulla all stante t - rsulta par ad all stante t. Non rsultano però ambat alor d quelle grandezze a u è assoata una energa del ruto, oè le orrent degl nduttor e le tenson de ondensator (le arabl d stato); nel aso spefo l alore della orrente nullo all stante t - rsulta qund nullo anhe all stante t. Il POSTUTO DI ONTINUITÀ D NGI afferma he alor delle grandezze u è assoata una energa del ruto sono delle funzon ontnue del tempo e onsente d rsolere l ruto a partre dalla onosenza de alor delle arabl d stato all stante t -. Nel aso dell esempo d fgura l andamento temporale della orrente ene alolato, seguendo l proedmento generale sopramenzonato, dalla soluzone della equazone dfferenzale ordnara on la ondzone nzale d orrente nulla. d dt ( ) t ( t) e, ( t) d dt e t. (8) / t a) b) Fgura. ndamento della orrente (.a) e della tensone a ap dell nduttore (.b) n un ruto. t Metod per l anals de rut -

13 (a) (b) T T - - Fgura ruto on nterruttore deale aperto (a) e huso (b) S onsder ora l ruto n fgura. nterruttore T hude all stante l generatore d tensone sul ondensatore, he supponamo saro ( ) all stante t -. Quanto detto rguardo al postulato d ontnutà dell energa onsente d affermare he, se all stante t -, sarà anhe per t. equazone he desre l transtoro è qund: d d / dt dt ( ) t / t ( t) ( e ), ( t) e. (8) / a) t b) t Fgura. ndamento della tensone a ap del ondensatore (.a) e della orrente (.b) n un ruto. egme d orrente alternata S può dmostrare he sotto alune debol potes d stabltà del ruto, se l ruto è lneare e le etazon present sono funzon snusodal sofrequenzal del tempo, dopo un transtoro d durata dpendente da parametr del ruto stesso, s raggunge una soluzone d regme n u tutte le grandezze del ruto sono funzon snusodal sofrequenzal, on frequenza par a quella de Metod per l anals de rut -

14 generator. Per alolare la soluzone d regme, s può applare l metodo smbolo he onsdera le grandezze e le equazon del ruto trasformate medante la trasformata d Stenmetz e perene ad un sstema rsoluto algebro nello spazo de numer ompless. Il sstema rsolente s può ottenere sosttuendo ondensator e gl nduttor on de "resstor" on resstenza omplessa (mpedenza). Per la desrzone dettaglata del metodo s rmanda a aptol suess. Per la soluzone del ruto smbolo sopramenzonato s applano tutt metod preedentemente st per rut pr d memora. Metod per l anals de rut -

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