Proprietà dei sistemi dinamici lineari

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1 Proprietà dei sistemi dinamici lineari Vediamo se le proprietà dei sistemi lineari ci possono essere utili per chiarire qualcosa sulla stabilità. Partiamo dal sistema dinamico lineare più semplice possibile: 1 equazione differenziale ordinaria: Il coefficiente λ è reale. L equazione differenziale può essere facilmente integrata analiticamente.

2 Proprietà dei sistemi dinamici lineari La funzione incognita x(t) è: La soluzione stazionaria se λ non è nullo è x=0 Lo spazio delle fasi è la retta. Dipendentemente dal valore di λ cambia l evoluzione: Se λ<0 x(t) tende a zero al crescere di t 0 x(t) Se λ>0 x(t) diverge a meno che x 0 =0 0 x(t) Se λ=0 x rimane in x 0 0 x(t)

3 Proprietà dei sistemi dinamici lineari Se siamo interessati alla stabilità possiamo concludere che il caso λ<0 è stabile, il caso λ>0 è instabile. Nel caso λ=0 abbiamo una infinità di stati stazionari. Se il sistema dinamico lineare è la linearizzazione di un sistema nonlineare possiamo prendere posizione sulla stabilità della soluzione solo nel caso in cui λ sia diverso da zero: Se λ>0 la soluzione stazionaria è instabile Se λ<0 la soluzione stazionaria è stabile.

4 Proprietà dei sistemi dinamici lineari Consideriamo ora il caso di un sistema dinamico lineare di ordine 2. Consideriamo un particolare tipo di equazioni (disaccoppiate): I coefficienti λ 1 e λ 2 sono reali

5 Proprietà dei sistemi dinamici lineari Anche in questo caso è facile integrare il sistema di equazioni differenziali: La soluzione stazionaria se sia λ 1 che λ 2 sonno non nulli è x 1 =0, x 2 =0. Il segno dei due coefficienti determina la stabilità di tale stazionario. Lo spazio delle fasi è il piano (2D)

6 Proprietà dei sistemi dinamici lineari Caso λ 1 >0, λ 2 >0: Tutte le orbite si allontanano da 0,0 meno quella che otteniamo con x 10 =0,x 20 =0

7 Proprietà dei sistemi dinamici lineari Caso λ 1 <0, λ 2 <0: Tutte le orbite si avvicinano a 0,0

8 Proprietà dei sistemi dinamici lineari Caso λ 1 >0, λ 2 <0: Tutte le orbite si allontanano da 0,0 meno quella che otteniamo con x 10 =0,x 20 =0 La divergenza si ha per x1 mentre x2 tende a zero al crescere del tempo

9 Proprietà dei sistemi dinamici lineari Caso λ 1 <0, λ 2 >0: Tutte le orbite si allontanano da 0,0 meno quella che otteniamo con x 10 =0,x 20 =0 La divergenza si ha per x2 mentre x1 tende a zero al crescere del tempo

10 Proprietà dei sistemi dinamici lineari Caso λ 1 =0, λ 2 <0 Caso λ 1 =0, λ 2 <0 Caso λ 1 >0, λ 2 =0 Caso λ 1 <0, λ 2 =0

11 Proprietà dei sistemi dinamici lineari Caso λ 1 =0, λ 2 =0 stazionaria tutti i punti del piano sono soluzione

12 Proprietà dei sistemi dinamici lineari Riconsiderando tutto ciò che abbiamo visto il significato dei coefficienti λ 1 e λ 2 è quello di autovalori della matrice A.

13 Proprietà dei sistemi dinamici lineari Ovviamente può darsi il caso che le equazioni non siano disaccoppiate. In questo caso le proprietà di stabilità si ottengono analizzando come già visto gli autovalori di A (comando Matlab eig):

14 Proprietà dei sistemi dinamici lineari Cosa succede se gli autovalori sono complessi e coniugati?.x Le traiettorie si allontanano svolgendosi da 0,0 Fuoco instabile Re(λ)>0

15 Proprietà dei sistemi dinamici lineari Cosa succede se gli autovalori sono complessi e coniugati?.x Le traiettorie si avvicinano avvolgendosi a 0,0 Fuoco stabile Re(λ)<0

16 Proprietà dei sistemi dinamici lineari Dipendentemente dal segno della parte reale di λ la risposta è oscillatoria divergente o smorzata:

17 Proprietà dei sistemi dinamici lineari Cosa succede se gli autovalori sono immaginari puri?.x Esistono infinite traiettorie concentriche Centro Re(λ)=0

18 Proprietà dei sistemi dinamici lineari In questo caso le serie temporali sono sinusoidi:

19 Stabilità BIBO Dal nostro punto di vista il problema lo ridurremo al criterio Bounded Input Bounded Output, ovvero il sistema è ritenuto stabile se ad una sollecitazione limitata corrisponde una risposta limitata.

20 Confronto con la funzione di trasferimento Vediamo a cosa corrisponde quanto abbiamo visto nello spazio delle fasi se riconsideriamo il problema dal punto di vista della funzione di trasferimento. Il modello linearizzato.x.u.x Trasformiamo il modello linearizzato e deviato: NB la matrice A contiene informazioni su quale soluzione stazionaria sto considerando.

21 Confronto con la funzione di trasferimento Soluzione analitica del sistema di equazioni lineari. Φ è la matrice di transizione degli stati.x

22 Confronto con la funzione di trasferimento Soluzione analitica del sistema di equazioni lineari. Con le trasformate: Antitrasformando: Se x=y : Altrimenti

23 Confronto con la funzione di trasferimento Per antitrasformare il prodotto di due funzioni trasformate si può utilizzate il prodotto di convoluzione

24 Esempio

25 Esempio Non possiamo più parlare di funzione di trasferimento ma di matrice di funzioni di trasferimento. I poli delle varie funzioni di trasferimento sono gli zeri del det (si-a) e quindi la stabilità è determinata dagli autovalori di A.

26 Esempio

27 Cenni di teoria della biforcazione Abbiamo imparato a caratterizzare la qualità delle soluzioni stazionarie con una analisi di stabilità lineare. A dettare la qualità dello stazionario sono gli autovalori della matrice Jacobiana valutata in corrispondenza dello stazionario. Possiamo a questo punto addentrarci in una analisi sistematica quando un parametro è variato con continuità.

28 Cenni di teoria della biforcazione Il numero di intersezioni varia al variare di Tin

29 Cenni di teoria della biforcazione Il numero di intersezioni varia al variare di Tin A bassi Tin c è una sola soluzione stazionaria spenta. Il liquido alimentato è troppo freddo per far partire la reazione chimica. In un certo intervallo di Tin ci sono tre soluzioni stazionarie coesistenti. Al di sopra di una certa Tin esiste la sola soluzione stazionaria ignita.

30 Cenni di teoria della biforcazione Esistono due valori di Tin critici in corrispondenza dei quali cambia il numero di soluzioni. Queste situazioni si verificano quando la retta è tangente alla sigmoide. In definitiva possiamo considerare l esistenza di due tipi di variazioni: Variazioni quantitative Variazioni qualitative

31 Cenni di teoria della biforcazione Variazioni quantitative Al variare del valore del parametro Tin all interno delle tre regioni individuate cambia il valore della T e della CA nel CSTR. Variazioni qualitative Quando si passa per le condizioni di tangenti cambia il numero di soluzioni. Esercizio: scegliete tre diversi valori di Tin in modo da cadere nelle tre diverse regioni e tracciate il ritratto di fase. Commentate i risultati

32 Cenni di teoria della biforcazione Quando si verificano variazioni qualitative nel gergo dei sistemi dinamici si dice che sta avendo luogo una biforcazione. Ovviamente c è una notevole rilevanza sia da un punto di vista del progetto che della verifica. Analizziamo la transizione in modo più attento. Esercizio: valutare gli autovalori per le tre soluzioni nelle tre regioni di Tin individuate

33 Cenni di teoria della biforcazione Diagramma delle soluzioni T contro Tin

34 Cenni di teoria della biforcazione Diagramma delle soluzioni C A contro Tin

35 Cenni di teoria della biforcazione E chiaramente visibile la zona di multistabilità. In corrispondenza della biforcazione c è una variazione di stabilità della soluzione stazionaria: Biforcazione sella nodo. Il nome deriva dal fatto che lo stazionario si trasforma da nodo a sella (o viceversa) C è un autovalore che attraversa l asse immaginario.

36 Cenni di teoria della biforcazione La situazione determina anche una isteresi. Avviamento del reattore (start-up) Spegnimento