2.3.3 Cammini ottimi nei grafi senza circuiti

Transcript

1 .. Cammini ottimi nei grafi senza circuiti Sia un grafo G = (N, A) orientato senza circuiti e una funzione di costo che assegna un valore c ij R ad ogni arco (i, j) A circuito Proprietà I nodi di un grafo G senza circuiti possono essere ordinati ( numerati ) in modo tale che (i, j) A i < j ordine topologico E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano

2 Metodo di ordinamento topologico Grafo G = (N, A) rappresentato mediante le liste dei predecessori δ - (v) e successori δ + (v) di ogni nodo v δ - (v ) δ + (v). Assegnare il più piccolo intero positivo non ancora assegnato ad un nodo v N con δ - (v) = un tale v esiste perché G non contiene circuiti v. Eliminare il nodo v con tutti gli archi incidenti. Tornare ad. finché vi sono nodi nel sottografo corrente E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano

3 Esempio G 5 E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano

4 5 ecc... Complessità : O(m) dove m= A E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano

5 Problema Dato un grafo orientato G = (N, A) senza circuiti con costo c ij R per ogni (i, j) A e nodi s e t, determinare un cammino di costo minimo (massimo) da s a t. Esempio s G 5 5 Dato G e un ordinamento topologico dei nodi, individuare un cammino minimo da a? E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 5 t

6 Tecnica di Programmazione Dinamica Qualsiasi cammino minimo π t : t con almeno due archi si può scomporre nel seguente modo: i t c it dove π i : i è un sottocammino minimo da s a i. Definiamo per ogni nodo i =,..., t : L(i) = costo di un cammino minimo da a i Chiaramente L(t) = ( it) min { L( i) + c }, δ ( t) dove si prende il minimo su tutti i penultimi nodi possibili i in un cammino da a t. E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano it

7 Se G è senza circuiti e i nodi sono ordinati topologicamente, gli unici penultimi nodi possibili i di un cammino minimo π t da a t sono quelli con i < t e quindi: L(t) = min{ L( i) + c } i< t it N.B. Nei grafi con circuiti tutti i nodi diversi da t possono essere penultimi nodi di π t! E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano

8 L(t-),... e L() soddisfano relazioni ricorsive dello stesso tipo: L(t-) = min{ Li ( ) + c } i( t )... i< t min{ L } L() = () i + ci = L() + c i= L() = 0 che si possono risolvere in ordine inverso: L() = 0 L() = L() + c... min{ L + c } L(t) = () i i< t it E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano

9 Esempio L() = 0 [-] L() = L() + c = 0 + = [] G L() = L() + c = 0 + = [] L() = min{ L( i) + c } = min{0 + 5, +, + } = i=,, i 5 5 [ ] indica il predecessore del nodo i nel cammino minimo da a i. E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano []

10 min{ Li ( ) + c } L(5) = = min { 0 +, + } = 5 i=, min{ L() i + c } L() = = min { + } = i= i5 i L() = L(5) + c 5 = 5 + = [5] min { Li ( ) + c } L() = i = min { +, 5+, +, + } = i=,5,, [5] [] [] G 5 5 costo del cammino minimo da a = [5] E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 0 [] []

11 Complessità L ordinamento dei nodi richiede O(m) dove m= A Ogni arco viene considerato una sola volta Complessità totale: O(m) N.B.: In modo analogo si può determinare anche i cammini di costo massimo nei grafi senza circuiti L(t) = max{ Li ( ) + c}... i< t it E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano

12 L algoritmo di Programmazione Dinamica per il problema dei cammini di costo ottimo (minimo o massimo) nei grafi senza circuiti è esatto. Principio di ottimalità Per ogni cammino minimo (massimo) π j : esiste i < j tale che vale la scomposizione: j i j c ij dove il sottocammino π i : i è di costo minimo (massimo) da s a i. E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano

13 La tecnica di Programmazione Dinamica (P. D.) in cui una soluzione ottima composta da una sequenza di decisioni elementari viene calcolata in modo ricorsivo è applicabile anche ad altri problemi di ottimizazzione di tipo sequenziale per i quali vale il principio di ottimalità. E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano

14 Esercizio Un impresa acquista un nuovo macchinario per 000 di cui si conosce il costo annuale di manutenzione per i prossimi 5 anni. età (anni) 0 manutenzione (in migliaia di ) 5 ricavato (in migliaia di ) - Per evitare i costi elevati di un macchinario vecchio, si può ridarlo indietro all inizio del,, o 5 anno e comprarne uno nuovo. E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano

15 Per semplificare il modello si suppone che un macchinario nuovo costi sempre 000. Obiettivo: minimizzare il costo totale netto ( acquisti + manutenzione ricavato ) per un periodo di 5 anni. età 0 man. 5 rica. - Se si acquista all inizio del o anno e si ridà indietro all inizio del o anno il costo netto è di: + - = Se si acquista all inizio del o anno e si ridà indietro all inizio del o anno il costo netto è di: = ecc... E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 5

16 Mostrare come il problema di determinare un piano di rinnovo del macchinario di costo totale netto minimo (per il periodo di 5 anni) può essere risolto mediante la P. D. riconducendolo alla ricerca di un cammino di costo minimo in un grafo orientato senza circuiti. Quali sono i piani di rinnovo ottimi? E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano