v t v t m s lim d dt dt Accelerazione ist

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1 1 Accelerazione Se la elocià non si maniene cosane il moo non è più uniforme ma prende il nome di moo accelerao. ACCELERAZIONE: ariazione della elocià rispeo al empo Disinguiamo ra ACCELERAZIONE MEDIA e ACCELERAZIONE ISTANTANEA a m f f i i m s a Se Se Se is a a a lim d ds d d d m s il puno aumena la sua elocià quindi accelera. il puno diminuisce la sua elocià quindi decelera. il puno maniene elocià cosane. 1 d d d s

2 13 Moo reilineo uniformemene accelerao: elocià Un puno si muoe di moo uniformemene accelerao quando la sua accelerazione rimane cosane nel empo. Ciò significa che accelerazione media e accelerazione isananea coincidono. a a is d cosane am ais d d a d d a d a ( ) a ( ) a d

3 elocià [m/s] 14 Esempio Sia = 1 m/s a = 1 m/s Tempo [s] Velocià [m/s] = +a = = 1 1 = +a = = 11 = +a = = empo [s]

4 15 Moo reilineo uniformemene accelerao: legge oraria Moo uniformemene accelerao Area del rapezio: s s = ( +) / s = s + / + / +a / s = Moo uniforme = dopo un cero inerallo di empo - il puno arà percorso uno sposameno pari a s = (- ) se = s= a ( ) s s 1 a Nel moo reilineo uniformemene accelerao la funzione oraria dello sposameno è una parabola.

5 16 Moo reilineo uniformemene accelerao: diagramma orario [s] s [m]

6 17 Moo ericale in assenza di ario Se rascuriamo l ario dell aria, un corpo lasciao libero di cadere in icinanza della superficie erresre si muoe erso il basso con accelerazione cosane e pari a circa 9.81 m/s. Tale accelerazione prende il nome di accelerazione di graià e si indica con g. Analizziamo il moo: nell isane iniziale il corpo è fermo ad un alezza h. s h s Durane la cadua: g La legge oraria del moo è: s s s h 1 g 1 a s g h Il segno meno è necessario perché lo sposameno è posiio erso l alo, ma l accelerazione è riola erso il basso.

7 18 Moo ericale in assenza di ario Il corpo arria al suolo dopo un cero inerallo di empo che possiamo deerminare: quando s h h h g g 1 g s g h La elocià con cui il corpo impaa sul suolo è: h g g gh g

8 19 Moo armonico semplice lungo un asse reilineo: legge oraria Consideriamo un puno P che pare dal puno O, si muoe lungo una direzione reilinea, arria in A, quindi inere il erso del suo sposameno, passa per O e prosegue olre fino ad arriare in A, inere nuoamene il suo moo e ripassa per O. -A O c A La legge oraria di queso moo è la seguene: x( ) Asen( w F) x: sposameno A: ampiezza del moo [m] (w + F): fase del moo [rad] w: pulsazione [rad/s] F: fase iniziale [rad]

9 Moo armonico: peculiarià x( ) Asen( w F) x: sposameno Dalla legge oraria ediamo che: 1) E una funzione sinusoidale: perano è una funzione periodica, dunque il moo è un MOTO PERIODICO e cioè ad ineralli uguali di empo il puno ripassa nella sessa posizione alla sessa elocià. ) Poiché il moo è periodico il puno descrie delle oscillazioni di ampiezza A aorno al cenro O. Quese oscillazioni sono ue uguali ra loro e hanno la sessa duraa. 3) La duraa di una oscillazione complea è dea PERIODO del moo armonico. 4) La legge oraria è funzione sinusoidale (dipende dal seno dell angolo di fase del moo). Poiché la funzione seno ha come alori esremi +1 e -1, il puno che si muoe di moo armonico piò oscillare ra due posizioni (massimo e minimo) x max = A e x min = -A

10 1 Moo armonico: periodo Deerminiamo il periodo, P, del moo armonico. Consideriamo due isani di empo e ali per cui = P. Sappiamo che dopo il periodo P il puno passa per la sessa posizione e quindi x() = x( ). Il periodo della funzione seno è p, quindi le fasi nei due isani differiscono di un angolo pari a p. x F P ( w' F) p ' w p P w ( w F p ) w p P O y Il moo si ripee elocemene quando la pulsazione è grande, menre è leno per bassi alori della pulsazione.

11 Moo armonico: frequenza Si definisce frequenza il numero di oscillazioni compiue nell unià di empo. Perano si calcola come l inerso del periodo. Maggiore è la pulsazione e maggiore sarà il numero di oscillazioni compiue nell unià di empo. P p w f 1 P w p Noiamo che periodo e frequenza non dipendono dall ampiezza del moo.

12 elocià [rad/s] Sposameno [m] 3 Moo armonico: elocià x: sposameno Dalla legge oraria per deriazione ricaiamo la funzione () per il moo armonico. dx ( ) wacos( w F) d La elocià è massima quando il coseno della fase ale 1, in queso caso: cos (w + F) = 1 se (w + F) Allora: oscillazione) E x= A sen = (cenro di max = w A La elocià è nulla quando il coseno della fase è nullo, in queso caso: cos (w + F) = se (w + F) p/ oppure (w + F) 3p/ Allora: x= A sen (p/) A oppure x= A sen (3p/) A E = Tempo [s] empo [s]

13 Sposameno [m] elocià [rad/s] accelerazione [m/s] 4 Moo armonico: accelerazione Dalla legge oraria per deriazione ricaiamo la funzione a() per il moo armonico. d d x x() a( ) w A sen( w F) w x d d L accelerazione è massima quando il seno della fase ale 1, in queso caso: sen (w + F) = 1 se (w + F) p/ o 3p/ Allora: x= A sen p/ = A oppure x = -A (esremi di oscillazione) E a max = -w A L accelerazione è nulla quando il seno della fase è nullo, in queso caso: sen (w + F) = se (w + F) Allora: E a = x= A sen () (cenro di oscillazione) x: sposameno Tempo [s] empo [s] empo [s]

14 elocià [m/s] 5 Moo reilineo smorzao esponenzialmene: accelerazione e () Si raa di un moo ario in cui l accelerazione soddisfa alla condizione: a = - k con k [s -1 ] cosane posiia L accelerazione in queso moo è sempre conraria alla elocià che perano diminuisce. L accelerazione aria proporzionalmene alla elocià. La elocià di queso moo diminuisce esponenzialmene con il empo e quindi il puno in un cero isane si ferma. Da d.5 k d si risole e k Tempo [s]

15 elocià [m/s] 6 Moo reilineo smorzao esponenzialmene: (x) x: sposameno Calcoliamo ora come aria la elocià con la posizione, cioè deerminiamo la funzione (x)..5 d d dx d a d dx d dx 1.5 a k d k dx risolendo : kx è una funzione lineare. La elocià si annulla quando: x = /k posizione [m] x= /k

16 Sposameno [m] 7 Moo reilineo smorzao esponenzialmene: legge oraria Ricaiamo la legge oraria parendo dalle due equazioni roae per la elocià, () e (x). e k e x k x k k x: sposameno kx k e k ) 1 e kx La rapidià di ariazione della funzione e è deerminaa dal alore di k. 1 L inerso di k è dea cosane di empo: k Grande k significa piccola e la decrescia della elocià è rapida. Piccolo k significa grande e la decrescia della elocià è lena quindi il puno si ferma dopo Tempo [s] k