Tecniche euristiche Ricerca Locale

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Costanzo Negro
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1 Tecniche euristiche Ricerca Locale PRTLC - Ricerca Locale

2 Schema delle esercitazioni Come ricavare la soluzione ottima Modelli Solver commerciali Come ricavare una stima dell ottimo: rilassamenti Rilassamento continuo - generazione di colonne Rilassamento Lagrangiano e surrogato Come ricavare una soluzione ammissibile Euristiche greedy e tecniche costruttive (costruiscono una soluzione ammissibile) Euristiche di ricerca locale (partono da una soluzione data e la migliorano) Rilassamenti e tecniche euristiche sono ingredienti necessari per i metodi esatti (branch and bound)

3 Ricerca Locale Data una soluzione euristica cerchiamo di migliorarla: come? Considero una soluzione iniziale ammissibile Esamino un insieme di soluzioni vicine alla soluzione data (vicinato) Valuto se tra esse ci sia una soluzione migliore di quella data

4 Ricerca Locale Attenzione Non costruiamo una soluzione alternativa partendo dalla soluzione data Costruiamo un insieme di soluzioni a partire dalla soluzione data (insieme delle soluzioni vicine) Valutiamo se tra esse ce ne sia una che migliora rispetto alla soluzione corrente

5 Ricerca Locale begin { } end RicercaLocale(P,SoluzioneIniziale){ x:= SoluzioneIniziale; while (x!=σ(x)) x:=σ(x); end SoluzioneIniziale è la soluzione di partenza σ(x) restituisce la miglior soluzione ammissibile del vicinato scelto quando σ(x) = x non ci sono soluzioni miglioranti

6 Ricerca Locale Ingredienti Bisogna definire la procedura σ(x): Definire il vicinato, ovvero Definire la struttura della soluzione Definire in che modo una soluzione viene modificata definire la mossa da applicare

7 Connessione di una rete Ricerca Locale Problema Una rete rappresentata da un grafo non direzionato G = (N, A) Costo associato ad ogni arco della rete Selezionare un sottoinsieme di archi in modo da collegare tutti i nodi della rete a costo minimo

8 Struttura della soluzione e vicinato Struttura della soluzione La soluzione è data dall insieme degli archi che la compongono La rappresento con un vettore di A elementi 0/1 Per ogni arco ho un 1 se l arco appartiene alla soluzione, 0 altrimenti

9 Struttura della soluzione e vicinato Prima mossa Modifico lo stato di ogni elemento della soluzione: Se l arco appartiene alla soluzione lo elimino Se l arco non appartiene alla soluzione lo aggiungo

10 Struttura della soluzione e vicinato Prima mossa Modifico lo stato di ogni elemento della soluzione: Se l arco appartiene alla soluzione lo elimino Se l arco non appartiene alla soluzione lo aggiungo In entrambi i casi devo verificare l ammissibilità

11 Struttura della soluzione e vicinato Prima mossa Modifico lo stato di ogni elemento della soluzione: Se l arco appartiene alla soluzione lo elimino Se l arco non appartiene alla soluzione lo aggiungo In entrambi i casi devo verificare l ammissibilità Seconda mossa Scambio lo stato di due elementi della soluzione: Scambio un arco della soluzione con un non della soluzione

12 Struttura della soluzione e vicinato Prima mossa Modifico lo stato di ogni elemento della soluzione: Se l arco appartiene alla soluzione lo elimino Se l arco non appartiene alla soluzione lo aggiungo In entrambi i casi devo verificare l ammissibilità Seconda mossa Scambio lo stato di due elementi della soluzione: Scambio un arco della soluzione con un non della soluzione Devo verificare l ammissibilità

13 Posizionamento di antenne Dati Insieme A di possibili siti in cui installare antenne Un costo di installazione di un antenna associato ad ogni possibile sito Un insieme di test point T, da servire Distanza d ij tra ogni possibile antenna i e ogni test point j Distanza massima R tra antenna e test point che possono comunicare

14 Posizionamento di antenne Problema Decidere dove installare le antenne in modo che per ogni test point ci sia almeno un antenna a distanza inferiore a R con l obiettivo di minimizzare il costo complessivo delle antenne installate

15 Struttura della soluzione e mossa Struttura della soluzione La soluzione è data dall insieme delle antenne installate La rappresento con un vettore di elementi 0/1

16 Struttura della soluzione e mossa Struttura della soluzione La soluzione è data dall insieme delle antenne installate La rappresento con un vettore di elementi 0/1 Mosse Modifico lo stato di ogni elemento della soluzione Scambio un antenna installata con una non installata Dimensione del vicinato? O( A ) O( A 2 )

17 Localizzazione di concentratori Ricerca Locale Esempio min f i y i + g ij w j x ij i C i C j T x ij 1, j T i C w j x ij Γ i y i j T i C x ij {0, 1} i C, j T y i {0, 1} i C

18 Struttura della soluzione e mossa Struttura della soluzione La soluzione è caratterizzata da Localizzazione dei concentratori (vettore 0/1) Assegnamento dei terminali ai concentratori (matrice 0/1) Il vicinato può essere generato lavorando su entrambi

19 Struttura della soluzione e mossa Mossa basata sulla localizzazione Aggiungo un concentratore (come forzo l assegnamento dei terminali al nuovo concentratore?) Rimuovo un concentratore (come aggiorno gli assegnamenti?) Scambio un concentratore esistente con uno fuori dalla soluzione (come aggiorno gli assegnamenti?) Dimensioni del vicinato?

20 Struttura della soluzione e mossa Mossa basata sull assegnamento Cambio l assegnamento di un singolo terminale Scambio l assegnamento di due terminali tra loro Per avere la possibilità di modificare tutti gli aspetti del problema alterno i diversi vicinati.

21 Network design Ricerca Locale Network design j V : (i,j) A min (i,j) A xij k xji k = j V : (j,i) A k K d k x k ij λy ij, c ij y ij 1 se i = s k, 1 se i = t k 0 se i s k, t k, (i, j) A x k ij {0, 1}, y ij Z +

22 Struttura della soluzione e mossa Struttura della soluzione Dimensionamento dei canali sugli archi (vettore di A interi ) Instradamento delle domande (descritto dalle variabili x k ij oppure dalle variabili x p )

23 Struttura della soluzione e mossa Struttura della soluzione Dimensionamento dei canali sugli archi (vettore di A interi ) Instradamento delle domande (descritto dalle variabili x k ij oppure dalle variabili x p ) Possibilità: Cambiare capacità sugli archi? Aggiungere e rimuovere un arco? Scambiare un arco della soluzione con uno esterno?

24 Struttura della soluzione e mossa Vicinato basato sui cammini Sposto ogni domanda su un cammino alternativo (aggiornando il dimensionamento per valutare il vicino) Il numero di cammini alternativi è esponenziale vicinato di larga scala

25 Struttura della soluzione e mossa Vicinato basato sui cammini Sposto ogni domanda su un cammino alternativo (aggiornando il dimensionamento per valutare il vicino) Il numero di cammini alternativi è esponenziale vicinato di larga scala Non possiamo generare tutti i vicini il vicinato deve essere esplorato in modo implicito

26 Struttura della soluzione e mossa Vicinato basato sui cammini Sposto ogni domanda su un cammino alternativo (aggiornando il dimensionamento per valutare il vicino) Il numero di cammini alternativi è esponenziale vicinato di larga scala Non possiamo generare tutti i vicini il vicinato deve essere esplorato in modo implicito Per ogni domanda genriamo il cammico che produce il maggiore decremento della funzione obiettivo Il miglior vicino è, tra tutte le domande, il cammino che produce il massimo decremento.

27 Esempio Ricerca Locale Tre domande: 1 da 1 a 6, di traffico 7 2 da 1 a 4, di traffico 3 3 da 1 a 5, di traffico 2 Capacità dei canali λ = 10

28 Soluzione iniziale Ricerca Locale Su ogni arco della soluzione è installato un canale costo complessivo 23

29 Visita del vicinato Ricerca Locale Spostando una domanda da un cammino a un altro posso Rimuovere la domanda da un arco Riduco il costo se posso rimuovere un canale Mantengo il costo invariato se non posso rimuovere alcun canale

30 Visita del vicinato Ricerca Locale Spostando una domanda da un cammino a un altro posso Rimuovere la domanda da un arco Riduco il costo se posso rimuovere un canale Mantengo il costo invariato se non posso rimuovere alcun canale Aggiungere una domanda su un arco Aumento il costo se devo aggiungere un canale Mantengo il costo invariato se non devo aggiungere alcun canale

31 Esempio: domanda 1 Ricerca Locale

32 Esempio: domanda 1 Ricerca Locale Uno spostamento che produce un decremento della funzione obiettivo è rappresentato da un ciclo negativo (i decrementi sono superiori agli incrementi) In questo caso il ciclo negativo è (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (1, 5) Decremento 1

33 Esempio: domanda 2 Ricerca Locale Nessun ciclo negativo

34 Esempio: domanda 3 Ricerca Locale Nessun ciclo negativo

35 Nuova soluzione Ricerca Locale Su ogni arco della soluzione è installato un canale, tranne che sull arco (1, 5) su cui sono installati due canali costo complessivo 22

36 Visita del vicinato Ricerca Locale Osservazione Per trovare il miglior vicino devo cercare il ciclo più negativo Problema difficile lo risolvo in modo euristico Vicinato esplorato in modo euristico

37 Limiti della ricerca locale Ricerca Locale Osservazione La ricerca locale si ferma alla prima soluzione nel cui vicinato non ci sono soluzioni miglioranti Ottiene un minimo locale (rispetto all intorno scelto come vicinato) Per superare il limite si applicano metaeuristiche: tabu search, simulated annealing, variable neighborhood search, etc.

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Figura 1: 1) Si scriva la formulazione del problema come problema di PLI (con un numero minimo di vincoli) e la matrice dei vincoli.

Figura 1: 1) Si scriva la formulazione del problema come problema di PLI (con un numero minimo di vincoli) e la matrice dei vincoli. ESERCIZIO 1 Sia dato il grafo orientato in Figura 1. Si consideri il problema di flusso a 1 2 4 Figura 1: costo minimo su tale grafo con b 1 = 4 b 2 = 2 b = b 4 = e c 12 = 2 c 1 = 4 c 14 = 1 c 2 = 1 c