Prodotto realizzato con il contributo della Regione Toscana nell'ambito dell'azione regionale di sistema. Laboratori del Sapere Scientifico

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1 Prodotto realizzato con il contributo della Regione Toscana nell'ambito dell'azione regionale di sistema Laboratori del Sapere Scientifico

2 DISEGNIAMO I NUMERI Costruzione e rappresentazione dei numeri razionali e irrazionali sulla retta reale utilizzando riga non graduata e compasso. Il percorso è stato svolto nelle classi 2A 2B di un istituto tecnico settore economico.

3 COLLOCAZIONE NEL CURRICULUM VERTICALE Il percorso sviluppato si colloca nel biennio delle classi di un istituto tecnico settore economico. Spesso l espressione questo è un numero irrazionale genera un po di timore nei ragazzi. Il percorso vuole migliorarne la conoscenza e la familiarità, con una comunicazione di tipo grafico, sfruttando il teorema di Pitagora, già affrontato nel ciclo di studi precedenti e quello di Talete, affrontato ad inizio anno. Il percorso focalizza inoltre l attenzione sulla capacità di semplificare un problema in passi più semplici oltre alla capacità di descrivere ciò che si è appreso, utilizzando anche la multimedialità.

4 OBIETTIVI ESSENZIALI DI APPRENDIMENTO Saper operare con numeri razionali, saperli confrontare e valutare l ordine di grandezza Saper eseguire semplici costruzioni geometriche, utilizzando riga non graduata e compasso Mostrare un semplice metodo per rappresentare sulla retta reale sia i numeri razionali che quelli irrazionali. Saper descrivere anche in modo semplice quanto appreso

5 ELEMENTI SALIENTI DELL APPROCCIO METODOLOGICO Il lavoro presentato parte dalla conoscenza del Teorema di Pitagora e di Talete, affrontato nel corso del biennio. Il lavoro mostra ai ragazzi come, utilizzando un semplice procedimento costruttivo, materiali di uso quotidiano o facilmente reperibili, come riga non graduata e compasso, è possibile collocare su una retta sia i numeri razionali che quelli irrazionali. L approccio sviluppa le competenze comunicative, creative, grafiche e multimediali, dando ai ragazzi la possibilità di realizzare video e semplici presentazioni su quanto studiato.

6 MATERIALI, APPARECCHI E STRUMENTI IMPIEGATI Materiali : fogli bianchi e materiale di cancelleria Strumenti : riga non graduata Squadre Compasso Apparecchi : Pc e smartphone per la parte multimediale

7 AMBIENTE IN CUI E STATO SVILUPPATO IL PERCORSO Il percorso è stato sviluppato nelle classi della 2A 2B settore economico ed in laboratorio multimediale.

8 TEMPO IMPIEGATO Tempo per la messa a punto con il gruppo di lavoro LSS: 5 ore Tempo scuola per lo sviluppo in classe: 15 ore circa Tempo per la documentazione: 5 ore

9 DESCRIZIONE DEL PERCORSO Il percorso è stato svolto nelle classi seconde di un istituto tecnico settore economico. Giunti durante l anno scolastico allo studio dei numeri irrazionali, nasce l esigenza di rappresentarli sulla retta reale in modo da poterli confrontare con gli altri numeri. Facendo uso di riga e compasso, è possibile collocare i numeri irrazionali del tipo 2 con un procedimento geometrico che presuppone la conoscenza del Teorema di Pitagora. Ecco gli elementi che hanno permesso la realizzazione del lavoro.

10 DESCRIZIONE DEL PERCORSO Utilizzo di schede di lavoro individuali e di gruppo Autoproduzione di video e di presentazioni multimediali Rappresentazione dei numeri Discussione guidata in aula didattica Semplificazione grafica di un problema matematico

11 DESCRIZIONE DEL PERCORSO Partiamo da qualcosa di più semplice che ci permette però di affrontare il percorso in maniera rigorosa: rappresentiamo i numeri razionali sulla retta reale, utilizzando unicamente riga non graduata e compasso. Nella slide che segue vengono mostrate le fasi del lavoro.

12 DESCRIZIONE DEL PERCORSO Rappresentazione sulla retta reale dei numeri irrazionali Possiamo rappresentare sulla retta tutti i numeri reali Rappresentazione sulla retta reale dei numeri razionali

13 Rappresentazione sulla retta reale dei numeri razionali Il docente consegna una scheda a ciascun alunno, contenente un percorso guidato per la costruzione dei numeri razionali su un foglio bianco.

14 Rappresentazione sulla retta reale dei numeri razionali Il lavoro assegnato si svolge in modo individuale, dove, sotto forma di discussione e dialogo il docente cerca di sollecitare la capacità del singolo di rappresentazione e la soluzione grafica di un problema. Inizialmente l insegnante fa osservare agli alunni la costruzione che si trova nel foglio loro consegnato in alto a destra, per mezzo della quale, un segmento viene diviso in 3 parti uguali, mediante l utilizzo di riga non graduata e compasso e invita gli alunni a rifare la stessa costruzione. Successivamente, si cerca di capire come utilizzare questo metodo per rappresentare le frazioni. Seguendo il punto 3, i ragazzi costruiscono una retta r, su cui viene fissata una unità di misura. L insegnante chiede come si possa rappresentare un quinto. Alcuni alunni, con il loro righello misurano il segmento unità, valutano la lunghezza in cm e dividono per 5, ottenendo così un quinto. L insegnante ripuntualizza che gli strumenti a loro disposizione, sono il compasso e la riga non graduata, perciò tale metodo non funziona. Dopo vari tentativi, viene in mente di utilizzare la costruzione appena vista, tracciando una trasversale con origine in O e seguendo gli stessi passaggi, si riesce a costruire un quinto. A questo punto gli studenti rappresentano anche gli altri numeri razionali sulla retta senza grandi difficoltà.

15 Rappresentazione sulla retta reale dei numeri razionali Di lato viene riportato lo svolgimento di un esercizio con la descrizione di quanto svolto, in modo da aiutare la memorizzazione del procedimento.

16 Rappresentazione sulla retta reale dei numeri razionali Svolgimento della scheda in classe 2B con la rappresentazione grafica dei numeri razionali 3, ,,,,

17 Rappresentazione sulla retta reale dei numeri razionali Dopo aver controllato il corretto svolgimento della scheda da parte della classe, I ragazzi della 1B hanno realizzato un video, allegato a tale lavoro, da cui abbiamo estratto qualche immagine. Il video costituisce una ulteriore possibilità per ripassare ancora una volta il metodo grafico studiato.

18 Rappresentazione sulla retta reale dei numeri irrazionali Ecco infine la rappresentazione del 1 numero razionale retta non graduata. 3 su

19 Rappresentazione sulla retta reale dei numeri irrazionali Per quanto riguarda la costruzione che permette di sistemare sulla retta i numeri irrazionali del tipo radice di n, il docente fornisce alla classe un immagine.

20 Rappresentazione sulla retta reale dei numeri irrazionali Si parte dunque da una riflessione autonoma o in piccoli gruppi. I ragazzi osservando l immagine devono dedurre la sequenza di passi che porta alla realizzazione grafica. L immagine sembra complessa ma alcuni ragazzi focalizzano la loro attenzione solo su 2 e 3: in questo modo si sviluppa la capacità di semplificare un problema o una domanda in piccoli passi. Alcuni ragazzi provano a ricostruire 2, già nota dalle scuole medie inferiori come diagonale del quadrato: successivamente si passa al segmento CB, unitario e perpendicolare ad OB. Con il teorema di Pitagora applicato al triangolo OBC, si trova il valore del segmento OC che risulta appunto 3 ed il dilemma è risolto.

21 Rappresentazione sulla retta reale dei numeri irrazionali Alcune immagini del lavoro svolto sui numeri irrazionali: scelta dell unità di riferimento e costruzione del triangolo rettangolo di lati unitari.

22 Rappresentazione sulla retta reale dei numeri irrazionali Infine utilizzo del compasso per riportare su retta il valore dell ipotenusa irrazionale. Continuando si ottiene la spirale di Teodoro da Cirene, matematico della scuola pitagorica tramite cui è possibile costruire le radici quadrate dei numeri interi.

23 Rappresentazione sulla retta reale dei numeri irrazionali Il percorso prosegue utilizzando la costruzione della radice di 2 per la costruzione di numeri irrazionali più grandi, come per esempio radice di 18 ottenuto come Successivamente si riporta la scheda di lavoro consegnata dal docente agli alunni e alcuni svolgimenti.

24 Rappresentazione sulla retta reale dei numeri irrazionali Scheda di lavoro

25 Rappresentazione sulla retta reale dei numeri irrazionali Scheda di lavoro: svolgimento

26 Rappresentazione sulla retta reale dei numeri irrazionali Scheda di lavoro: svolgimento

27 Materiale didattico prodotto dai ragazzi Il percorso didattico porta alla realizzazione di materiale didattico in forma video (vedi allegati alla presentazione) ma anche presentazione Microsoft Power Point e documento Word, in base alle preferenze informatiche dei ragazzi. Tale materiale potrà costituire un bagaglio di contenuti, utilizzabile in futuro e di fondamentale importanza perché realizzato dai ragazzi stessi, che diventano dunque i protagonisti della spiegazione. Materiale didattico prodotto dai ragazzi Video Presentazione Power Point Documentazione Word

28 Materiale didattico prodotto dai ragazzi Il video, da cui sono state estratte le immagini precedenti, contiene: Rappresentazione dei numeri razionali sulla retta reale utilizzando riga e compasso Rappresentazione dei numeri irrazionali sulla retta reale utilizzando riga e compasso

29 Materiale didattico prodotto dai ragazzi

30 Materiale didattico prodotto dai ragazzi Nelle slide che seguono riportiamo la presentazione realizzata, alla fine del percorso didattico, in laboratorio dagli alunni della classe divisa in piccoli gruppi. In particolare viene mostrata la costruzione dei numeri irrazionali 2 e 3 su retta reale, mediante riga e compasso. In tale fase diventa fondamentale la collaborazione tra pari: è il gruppo classe che decide da cosa partire, cosa scrivere, quali immagini inserire e come trasmettere quanto appreso. Gli alunni con qualche difficoltà in matematica hanno la possibilità di essere aiutati dal proprio compagno, senza la guida impositiva del docente. Tale realizzazione permette inoltre lo sviluppo di capacità organizzative e comunicative nel ragazzo, capacità che diverranno fondamentali negli stage aziendali, svolti nel corso del triennio del percorso scolastico scelto.

31 Abbiamo tracciato una retta e fissato su di essa una unità di misura. 0 1

32 Abbiamo costruito un triangolo rettangolo di base 1 e altezza 1. L ipotenusa del triangolo rettangolo misura 2 (applicando il teorema di Pitagora).

33 Abbiamo puntato il compasso sul punto 0 con apertura 0B e tracciato un arco di circonferenza che interseca la retta in un punto distante 2 da O.

34 Abbiamo disegnato un nuovo triangolo rettangolo di base l ipotenusa OB e altezza CB unitaria: puntando il compasso nel punto 0 con apertura 0C abbiamo tracciato un arco di circonferenza che interseca la retta in un punto distante esattamente 3 da 0. C B

35 Materiale didattico prodotto dai ragazzi Nelle slide che seguono riportiamo uno scritto realizzato in Word al termine del percorso didattico, in laboratorio dagli alunni della classe 2B divisa in piccoli gruppi. In particolare viene descritta la costruzione dei razionali 1 2 3,, e poi degli irrazionali 2 e 3 su retta reale, mediante riga e compasso.

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38 VERIFICHE DEGLI APPRENDIMENTI Si tratta di un percorso svolto nel biennio iniziale del settore economico, dopo aver introdotto i numeri razionali e irrazionali al termine del primo quadrimestre. Durante la realizzazione del percorso, sono state impiegate due tipologie di verifiche: verifiche intermedie in aula, basate sulle schede di lavoro consegnate verifica finale del materiale prodotto dai ragazzi Il docente ha osservato e valutato l impegno, la partecipazione e la capacità di collaborare all interno del gruppo classe, ma anche di riflettere in modo autonomo e semplificare il lavoro da svolgere.

39 RISULTATI OTTENUTI L impegno dei ragazzi è stato attivo e positivo anche da parte degli alunni che hanno mostrato nel corso del biennio qualche difficoltà nella disciplina. I risultati sono soddisfacenti in linea con l andamento delle classi. Il lavoro ha permesso di raggiungere una maggiore fiducia nella disciplina che appare dunque meno teorica. La costruzione di tali numeri ha consentito il ripasso e ha mostrato un applicazione diversa del teorema di Pitagora e di Talete.

40 VALUTAZIONE DELL EFFICACIA DEL PERCORSO SVILUPPATO I risultati ottenuti ma soprattutto l impegno mostrato dagli alunni suggeriscono di estendere tale approccio grafico multimediale anche ad altri argomenti della disciplina.