ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA

Transcript

1

2 Luca Lussardi ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA Esercizi svolti di analisi matematica per le facoltà ad indirizzo scientifico

3 Luca Lussardi Esercizi di Analisi Matematica Matematicamente.it Stampa Universal Book via Botticelli, Rende (CS) ISBN

4 Indice Introduzione 3 1 L insieme R Nozioni di base sugli insiemi Numeri naturali Numeri interi Numeri razionali Numeri reali Topologia di R Funzioni Richiami di teoria Esercizi Limiti e continuità Richiami di teoria Limiti Funzioni continue Esercizi

5 2 INDICE 4 Derivate Richiami di teoria Generalità Teoremi del calcolo differenziale Estremi di funzioni Teoremi di De l Hopital Esercizi Integrali Richiami di teoria Integazione secondo Riemann Teorema fondamentale del calcolo integrale Regole di calcolo Integrali impropri Esercizi Serie numeriche Richiami di teoria Successioni reali Serie numeriche Serie geometrica Serie a termini positivi Serie a termini di segno qualunque Serie di Taylor Esercizi Indice analitico 179

6 Introduzione La presente raccolta di esercizi di calcolo infinitesimale per funzioni di una variabile reale è frutto di tanti anni di esercitazioni di corsi di Analisi Matematica da me tenuti presso la Facoltà di Ingegneria dell Università degli Studi di Pavia e del Politecnico di Milano: si tratta quindi di esercizi che possono tornare utili soprattutto agli studenti di Ingegneria che stanno preparando il primo esame di Analisi Matematica del loro ciclo di studi. La presente opera non ha alcuna pretesa di completezza, in quanto sono stati trattati solo alcuni degli argomenti classicamente presenti in un tradizionale corso di calcolo del primo anno. In particolare, in ogni capitolo vi sono dei brevi richiami di teoria, privi di ogni dimostrazione: tali richiami di teoria non devono in nessun caso fornire un alternativa allo studio completo della teoria; essi hanno semplicemente lo scopo di dare un riferimento teorico rapido per una lettura più scorrevole degli esercizi. Il testo è accompagnato dalle tracce audio di spiegazione di ciascun esercizio, a volte più dettagliata di quanto si trova scritto lungo il testo. 3

7 4 INDICE Il file con 101 commenti audio di tutti gli esercizi proposti è scaricabile alla seguente URL: Ci auguriamo che questo supporto maggiore che il testo offre possa aiutare ancora di più lo studente. Infine, i doverosi ringraziamenti. Un ringraziamento particolare va al prof. Marco Luigi Bernardi, che mi ha fornito, durante gli anni passati a Pavia, gran parte del materiale che si trova in queste note. Ringrazio inoltre l editore Antonio Bernardo per l interesse da sempre dimostrato verso la pubblicazione di questo eserciziario, con la speranza che possa essere utile a tanti studenti. Brescia, Dicembre 2011 Luca Lussardi

8 Capitolo 1 L insieme R 1.1 Nozioni di base sugli insiemi Per insieme si intende una collezione, un raggruppamento di elementi, considerati nella loro totalità. Se un elemento x appartiene all insieme X si scrive anche x X. Se invece x non appartiene ad X, la notazione usata è x / X. Spesso risulta comodo denotare un insieme elencando i suoi elementi (specie pergli insiemi finiti), ad esempiox = {a,b,c} è l insieme che ha come elementi le lettere a,b e c. Nel seguito verrà utilizzato il simbolo per indicare l insieme vuoto, ovvero l insieme che non ha elementi. 5

9 6 CAPITOLO 1. L INSIEME R Dato un insieme X si dice che Y è un sottoinsieme di X se risulta vera l implicazione x Y = x X. In tal caso si scrive Y X. La nozione di sottoinsieme permette di enunciare una condizione necessaria e sufficiente per l uguaglianza tra due insiemi, detta principio di estensionalità: X = Y X Y ey X. Dati due insiemi X e Y sia X Y := {x : x X oppurex Y}. Si dicechex Y è l unione trax ed Y. Un altraoperazione di notevole interesse è l intersezione tra insiemi: dati due insiemi X ed Y sia X Y := {x : x Xex Y}. Si dice che X Y è l intersezione tra X ed Y. È possibile considerare anche la differenza tra due insiemi: dati due insiemi X e Y con X Y, sia Y \X := {x Y : x / X}. Si dice che Y \X è la differenza tra X e Y. Talvolta l insieme Y \X si dice anche complementare di X in Y, e viene anche

10 20 CAPITOLO 1. L INSIEME R superiormente itato e si ha M = 6 che risulta essere anche massimo di E. Si osservi che in questo caso il massimo è un punto isolato per E.

11 Capitolo 2 Funzioni 2.1 Richiami di teoria Una funzione f viene definita, in modo intuitivo, come una legge che associa ad ogni elemento di un insieme A, detto dominio un unico elemento di un insieme B, detto codominio. In simboli si scrive anche f: A B ed y = f(x) perdenotare che f associa a x A l unico elemento y = f(x) B. Una funzione quindi si ottiene assegnando dominio, codominio, e dicendo come opera la funzione stessa. Sia a (0,+ ) {+ } e sia A = ( a,a). Sia f: A R una funzione. Si dice che f è pari se f(x) = f( x), x A. 21

12 22 CAPITOLO 2. FUNZIONI Si dice che invece che f è dispari se f(x) = f( x), x A. Esempio: Sia f: R R data da f(x) = x 2 ; allora dal momento che x 2 = ( x) 2, si ha che f è pari. Sia g: R R data da g(x) = x 3 ; allora dal momento che x 3 = ( x) 3, si ha che f è dispari. Sia f: R R una funzione. Si dice che f è periodica se esiste T > 0 tale che Il periodo di f è definito come f(x+t) = f(x), x R. inf{t > 0 : f(x+t) = f(x), x R}. Esempio: Sia f: R R data da f(x) = sinx; allora dal momento che sin(x+2π) = sinx per ogni x R, si ha che f è periodica; inoltre si ha proprio inf{t > 0 : sin(x+t) = sinx, x R} = 2π. Spesso è utile cosiderare anche l insieme immagine della funzione definito come Im(f) := {y B : x A : y = f(x)} ovvero il sottoinsieme di B degli elementi raggiunti da f.

13 CAPITOLO 2. FUNZIONI 23 Una funzione f: A B si dice iniettiva o invertibile se f(x) = f(y) = x = y. Ne segue che risulta ben definita la funzione che torna indietro, ovvero la funzione f 1 : Im(f) A che opera come segue: x = f 1 (y) y = f(x). La funzione f 1 viene anche detta funzione inversa di f. Esempio: La funzione f: N N data da f(n) = n + 1 è invertibile; infatti si ha che da n+1 = m+1 discende n = m. Esiste quindi la funzione f 1 : N \ {0} N che opera come segue: f 1 (m) = m 1. Una funzione f: A B viene detta suriettiva se Im(f) = B. Esempio: La funzione f : Z Z che opera come f(z) = z+5 è una funzione suriettiva, dal momento che per ogni w Z esiste z = w 5 Z e si ha f(z) = w. Siano date due funzioni f: A B e g: C D con la condizione Im(f) C; allora si definisce una nuova funzione detta composizione tra f e g data da che opera nel seguente modo: g f: A D g f(x) = g(f(x)), x A.

14 CAPITOLO 2. FUNZIONI 25 mentre si dice che una funzione f: E R è strettamente decrescente se per ogni x 1,x 2 E con x 1 < x 2 si ha f(x 1 ) > f(x 2 ). Esempio: Sia f: R R la funzione data da f(x) = x 3. Allora dal momento che se x 1 < x 2 si ha x 3 1 < x3 2, ne segue che f è una funzione strettamente crescente. Invece la funzione g: R R data da g(x) = x 2 risulta strettamente crescente se x 0, e risulta strettamente decrescente se x 0. Sia f: E R una funzione, con E R. Se l insieme Im(f) ha massimo M si dice anche che M è il massimo assoluto della funzione f sull insieme E; analogamente se l insieme Im(f) ha minimo m si dice anche che m è il minimo assoluto della funzione f sull insieme E. Più in generale, se Im(f) è inferiormente itato si dice che f è inferiormente itata, mentre se Im(f) è superiormente itato si dice che f è superiormente itata. Se infine Im(f) è itato si dice che f è itata. Si usa la notazione inf E f, supf E per denotare, rispettivamente, l estremo inferiore di Im(f) e l estremo superiore di Im(f). Esempio: Si data la funzione f: [0,1] R data da f(x) = x. Allora f è strettamente crescente e ammette minimo assoluto nel punto x = 0, dove vale 0, mentre ammette massimo assoluto nel punto x = 1 dove vale 1.

15 26 CAPITOLO 2. FUNZIONI 2.2 Esercizi Esercizio 1 Es1cap2 Costruire il grafico della funzione f: R R data da f(x) = 4x soluzione Costruiamo il grafico di f partendo dal noto grafico della funzione y = x 3, e dato da

16 CAPITOLO 2. FUNZIONI 27 Il fattore 4 davanti a x 3 produceunadilatazione avvicinando il grafico all asse delle y. Si ottiene quindi il grafico della funzione f(x) = 4x 3 dato da

17 28 CAPITOLO 2. FUNZIONI Infine, il termine +1 corrisponde ad una traslazione verso l alto di 1 sull asse delle y. Il grafico della funzione f(x) = 4x 3 +1 sarà quindi dato da

18 CAPITOLO 2. FUNZIONI 29 Esercizio 2 Costruire il grafico della funzione f: R R data da f(x) = 3 x. Es2cap2 soluzione Costruiamo il grafico partendo dal noto grafico della funzione y = x, e dato da

19 30 CAPITOLO 2. FUNZIONI Moltiplicando ora per 1 si ottiene un grafico di y = x, che risulta essere il simmetrico rispetto al precedente, rispetto all asse delle x, ovvero dato dal seguente

20 56 CAPITOLO 2. FUNZIONI Esercizio 19 Studiare itatezza, superiore ed inferiore, monotonia, parità e periodicità della funzione f: R R data da Es19cap2 f(x) = arctan( 2x 3 ) 2 x x 3. soluzione La funzione f non è itata a causa del termine x x 3, che rende f né inferiormente né superiormente itata; f è una funzione dispari, infatti f( x) = arctan(2x 3 )+2 x x 3 = (arctan( 2x 3 ) 2 x x 3 ) = f(x). Infine, f non è pari e non è periodica.

21 Capitolo 3 Limiti e continuità 3.1 Richiami di teoria Limiti Sia E R e sia f: E R. Sia x 0 R {± } di accumulazione per E. Si dice che l R {± } è ite di f per x che tende ad x 0 se per ogni intorno I di l esiste un intorno J di x 0 tale che per ogni x J (E \{x 0 }) si ha f(x) I. In tal caso si scrive anche f(x) = l. x x 0 Si pone anche, quando la cosa ha senso, x x + 0 Segue che f(x) := x x 0 x x 0 f(x), x x 0 f(x) := x x 0 x x 0 f(x). f(x) = l f(x) = f(x) = l. x x 0 x x + 0 x x 0 57

22 58 CAPITOLO 3. LIMITI E CONTINUITÀ Unicità del ite: Il ite, se esiste, è unico. La definizione si può riscrivere caso per caso, in modo più utile per le applicazioni. 1) x 0,l R: per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che per ogni x (x 0 δ,x 0 +δ) E, con x x 0, si ha f(x) l < ε. 2) x 0 R, l = + : per ogni M > 0 esiste δ > 0 tale che per ogni x (x 0 δ,x 0 +δ) E, con x x 0, si ha f(x) > M. 3) x 0 R, l = : per ogni M > 0 esiste δ > 0 tale che per ogni x (x 0 δ,x 0 +δ) E, con x x 0, si ha f(x) < M. 4) x 0 = +, l R: per ogni ε > 0 esiste M > 0 tale che per ogni x (M,+ ) E si ha f(x) l < ε. 5) x 0 =, l R: per ogni ε > 0 esiste M < 0 tale che per ogni x (,M) E si ha f(x) l < ε. 6) x 0 = +, l = + : per ogni M > 0 esiste δ > 0 tale che per ogni x (δ,+ ) E si ha f(x) > M. 7) x 0 = +, l = : per ogni M > 0 esiste δ > 0 tale che per ogni x (δ,+ ) E si ha f(x) < M. 8) x 0 =, l = + : per ogni M > 0 esiste δ < 0 tale che per ogni x (,δ) E si ha f(x) > M. 9) x 0 =, l = : per ogni M > 0 esiste δ < 0 tale che per ogni x (,δ) E si ha f(x) < M.

23 CAPITOLO 3. LIMITI E CONTINUITÀ 59 Esempio: Sia data la funzione f: R R definta come f(x) = x 2. Allora si ha che x 0 x2 = 0. Infatti, fissato ε > 0 sia δ := ε. Allora per ogni x ( δ,δ), x 0, si ha f(x) = x 2 < δ 2 = ε. Esempio: Sia data la funzione f: (0,+ ) R definita come f(x) = 1 x. Allora 1 x + x = 0. Infatti, fissato ε > 0 sia δ := 1/ε. Allora per ogni x > δ si ha f(x) = 1 x < 1 δ < ε. Esempio: Siadata lafunzionef: R Rdefinitacome f(x) = sinx. Allora non esiste f(x). x ± La stessa cosa vale per ogni funzione periodica non costante. Elenchiamo le più comuni regole di calcolo dei iti: in quanto segue si pone, per definizione, + +a := +, +a :=, a R, ± ± = ±,

24 60 CAPITOLO 3. LIMITI E CONTINUITÀ + a := +, + a := +, a > 0, + a :=, a := +, a < 0, ± (± ) := +, ± ( ) :=. Sel 1,l 2 R {± }esonotali percui l 1 ±l 2 el 1 l 2 rientrano nei casi di cui sopra, e allora l 1 := x x 0 f(x), l 2 := x x 0 g(x) x x 0 (f(x)±g(x)) = l 1 ±l 2, x x 0 (f(x) g(x)) = l 1 l 2. Le forme che invece richiedono esami ulteriori sono dette anche forme indeterminate e sono date da ( senza segno significa che si ha la forma indeterminata per ogni scelta del segno di ): 0 0,, ±, 0, 0, 1, 0 0. Vi sono alcuni iti, detti notevoli, che spesso semplificano il calcolo di iti più complicati. Nel seguito sono illustrati alcuni dei più importanti iti notevoli. x ± a n x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 b m x m +b m 1 x m 1 + +b 1 x+b 0 = a n b m x ± xn m sinx x 0 x = 1 1 cosx x 0 x 2 = 1 2

25 CAPITOLO 3. LIMITI E CONTINUITÀ 61 e x 1 = 1 x 0 x log(1+x) x 0 x x ± = 1 ( 1+ 1 x) x = e log a (1+x) = log x 0 x a e, a > 0, a 1 a x 1 = loga, a > 0 x 0 x arctan x = 1 x 0 x Teorema del confronto per i iti: Sia E R, siano f,g,h: E R e sia x 0 di accumulazione per E. Se f g h e allora f(x) = l = h(x) x x 0 x x 0 g(x) = l. x x Funzioni continue Una funzione f: E R, dove E R, si dice continua in x 0 E se per ogni intorno I di f(x 0 ) esiste un intorno J di x 0 tale che per ogni x J E si ha f(x) I. Equivalentemente, per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che per ogni x (x 0 δ,x 0 +δ) E

26 62 CAPITOLO 3. LIMITI E CONTINUITÀ si ha f(x) f(x 0 ) < ε. Se x 0 è di accumulazione per E ciò equivale a richiedere che f(x) = f(x 0 ). x x 0 Proposizione: Siano f,g: E R continue. Allora sono continue. Se g 0 allora f +g, f g, fg f g è continua. Se f 0 allora f è continua. La composizione di funzioni continue inoltre è ancora una funzione continua. Le funzioni elementari sono continue nel loro dominio. Esempio: Sia data la funzione f: R R definita come f(x) = x3 5 x+4 +x6. Allora, dal momento che f risulta continua in x = 0 si ha f(x) = 5 x 0 4. Continuità della funzione inversa: Siano I un intervallo in R e sia f: I R una funzione strettamente monotona. Allora, la funzione f 1 : Im(f) R

27 CAPITOLO 3. LIMITI E CONTINUITÀ 63 è continua. Teorema degli zeri: Sia f: [a,b] R, con a,b R, una funzione continua, tale per cui si abbia f(a)f(b) 0; allora esiste x [a,b] tale che f(x) = 0. Osservazione: Il teorema degli zeri sotto certe condizioni garantisce l esistenza di almeno una soluzione dell equazione f(x) = 0, ma non afferma nulla a proposito della sua unicità; del resto è facile fare esempi di funzioni per le quali non si ha unicità della soluzione: ogni funzione che sia identicamente nulla su un sottointervallo dell intervallo [a, b] considerato verifica le ipotesi del teorema degli zeri ma non ammette un unica intersezione con l asse delle x. Le ipotesi per la validità del teorema degli zeri sono necessarie: ad esempio la funzione costante f(x) = 1 definita su un intervallo itato [a,b] non verifica la condizione f(a)f(b) 0, ed invero non ha intersezioni con l asse x. Invece la funzione f: [0,1] R definita come f(x) = 1 se x [ 1,0] e f(x) = 1 se x (0,1], non è continua, ed invero non ha intersezioni con l asse delle x. Teorema dei valori intermedi: Sia I un intervallo in R e sia f: I R una funzione continua. Allora Im(f) è un intervallo. Il teorema dei valori intermedi afferma, in altre parole, che una funzione continua f: I R assume tutti i valori compresi tra inff e supf, eventualmente estremi inclusi.

28 64 CAPITOLO 3. LIMITI E CONTINUITÀ Teorema di Weierstrass: Sia f: [a,b] R una funzione continua, con a,b R. Allora f hamassimoeminimoassoluti. Osservazione: Le ipotesi date non possono essere indebolite. Ad esempio rimuovendo la chiusura dell intervallo si ottiene un teoremafalso: lafunzionef(x) = 1 x definitasu(0,1] ècontinua ma non ammette massimo assoluto. Ancora la rimozione della continuità rende falsa la tesi: la funzione f(x) = 0 per x = 0 e f(x) = 1 x se x (0,1] è definita su [0,1], non è continua e non ha massimo assoluto.

29 CAPITOLO 3. LIMITI E CONTINUITÀ Esercizi Esercizio 1 Calcolare ( ) cos(4x) x + x 2 + 3x x 2. Es1cap3 soluzione Dal momento che la funzione y = cos(4x) è itata e siccome abbiamo che Inoltre x + 1 x 2 = 0 cos(4x) x + x 2 = 0. ( 3x 2 x ) 1 x + 1 6x 2 = x ( ) = x 2 1 = x + 1 x 2 x 2 6 x + 1 x da cui si trova x + ( cos(4x) x 2 ) + 3x x 2 = 1 2.

30 66 CAPITOLO 3. LIMITI E CONTINUITÀ Esercizio 2 Es2cap3 Calcolare e 7x2 x 0 1 xsinx. soluzione Osserviamo che si ha e 7x2 1 7e7x2 xsinx = 1 x 7x 2 sinx. Posto y = 7x 2 abbiamo che y 0 se x 0; inoltre e 7x2 1 7x 2 = ey 1 y che ha ite 1 quando y 0, per uno dei iti notevoli. Dal momento che si ha anche sinx x 0 x = 1 per un altro dei iti notevoli, si ha quindi Ne segue che x 0 x sinx = 1. e 7x2 1 x 0 xsinx = 7.

31 CAPITOLO 3. LIMITI E CONTINUITÀ 67 Esercizio 3 Calcolare ( ) sin(5x) 4e 1 x. x + x Es3cap3 soluzione Essendo y = sin(5x) una funzione itata e avendosi si ha che Per quanto riguarda 1 x + x = 0 sin(5x) = 0. x + x x + e1 x osserviamo che per continuità della funzione y = e x si ha x + e1 x = e 0 = 1. Dunque si conclude che ( ) sin(5x) 4e 1 x = 4. x + x

32 68 CAPITOLO 3. LIMITI E CONTINUITÀ Esercizio 4 Es4cap3 Calcolare x 0 ( arctan(2x 2 ) x 2 +cos(2x+π)+6x 3 log(1+6x 3 ) ). soluzione Anzitutto si ha arctan(2x 2 ) x 2 +cos(2x+π)+6x 3 log(1+6x 3 ) = 2 arctan(2x2 ) 2x 2 +cos(2x+π)+36 log(1+6x3 ) 6x 3. Posto y = 2x 2 si ha che y 0 se x 0 e inoltre arctan(2x 2 ) 2x 2 = arctany y che tende a 1 per y 0, per uno dei iti notevoli. Ne segue che arctan(2x 2 ) x 0 2x 2 = 1. Per continuità della funzione y = cosx si ha cos(2x+π) = cosπ = 1. x 0 Infine, posto y = 6x 3 si ha y 0 per x 0 e log(1+6x 3 ) 6x 3 = log(1+y) y

33 CAPITOLO 3. LIMITI E CONTINUITÀ 69 che tende a 1 se y 0, per uno dei iti notevoli. Si ha dunque log(1+6x 3 ) x 0 6x 3 = 1. Riassumendo abbiamo trovato che ( arctan(2x 2 ) ) x 0 x 2 +cos(2x+π)+6x 3 log(1+6x 3 ) = 37.