Dato un cammino P indichiamo con c(p ) il costo dell insieme di archi A(P ) del cammino, ovvero c(p )=c(a(p )) = uv P c uv. c 1

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1 Capiolo 7 Cammini minimi 7. Definizioni fondamenali Sia dao un grafo non orienao G(N,A) conneo, con coi aociai agli archi c uv R per ogni uv A. Siano anche dai due nodi peciali, N. Faremo la eguene: Aunzione Per ogni nodo u N, eie (almeno) un cammino orienao dal nodo al nodo u. Dao un cammino P indichiamo con c(p ) il coo dell inieme di archi A(P ) del cammino, ovvero c(p )=c(a(p )) = uv P c uv. c ba = a b d c 7 f Figura 7.: Un cammino Nell eempio in Figura 7. il cammino da a evidenziao ha coo pari a 7. Definizione 7.. Problema del cammino minimo: rovare il cammino orienao P da a di coo minimo Di eguio indicheremo con u-cammino o cammino u un cammino orienao di primo eremo e ulimo eremo u. Quindi, il cammino minimo èun-cammino P per cui vale c(p ) c(p ) per ogni -cammino orienao P. Di eguio, quando non poa orgere confuione, denoeremo con P l inieme di archi A(P ) del cammino P.Ilveore d incidenza di P è un veore x P {, } A ale che x P uv =e uv P, x P uv = alrimeni. Sia P un -cammino. Poiché il primo eremo di P èilnodo, non ci ono archi di P enrani in, ovvero P δ G () = : que ulima relazione può eere eprea come condizione ulle componeni del veore d incidenza di P, pecificamene u δ G () xp u =. Analogamene, non ci ono archi di P uceni 56

2 da e quindi vale u δ + G () xp u =. Di convero, da ece un olo arco di P e quindi u δ + G () xp u =; in modo imile, in enra un olo arco di P e dunque u δ G () xp u =. Ogni alro nodo v N {, } può rovari nelle due condizioni alernaive: i) v non appariene al cammino, e dunque neun arco di P enra in v e neun arco di P ece da v, oppure ii) v appariene al cammino, e quindi eaamene un arco di P enra in v ed eaamene un arco di P ece da v. In ogni cao, il numero di archi enrani è uguale al numero di archi uceni e quindi arà x P uv = x P vu v N {, } (7.) uv δ G (v) vu δ + G (u) In Figura 7. ono morai un -cammino e il uo veore d incidenza. b a c P d f x P a b c bc ac cf da df d c f Figura 7.: Un cammino e il uo veore d incidenza Quindi, il veore d incidenza x P di un qualunque cammino P da a in G appariene al eguene poliedro denominao Q : x R A : x uv uv A (7.) x uv x vu = v N {, } (7.) uv δ G (v) vu δ + G (v) x u x u = u δ G () u δ + G () (7.4) x u x u = u δ G () u δ + G () (7.5) Ponendo x(f )= uv F x uv il poliedro Q può eere epreo nella forma compaa: x(δ G (v)) x(δ+ G (v)) = v N {, } x(δ G ()) x(δ+ G ()) = (7.6) x(δ G ()) x(δ+ G ()) = In figura 7. è morao un grafo e i vincoli che definicono il poliedro Q. La figura mee in evidenza come la marice dei coefficieni dei vincoli ia eaamene la marice d incidenza nodi-archi M aociaa al grafo G(N,A). Abbiamo quindi la eguene proprieà: Proprieá 7.. La marice dei vincoli del poliedro Q dei cammini di un grafo G è preciamene la marice d incidenza nodi-archi del grafo eo. 57

3 - x - x = - x + x = x - x - x = x + x - x = x, x, x, x, x Figura 7.: Grafo e marice dei vincoli aociaa In paricolare, la marice M è moraa in Figura 7.4, inieme al veore dei ermini noi b. Quindi il poliedro dei cammini può eere ricrio in forma ancora più compaa: Q = {x R A : Mx = b, x A } ove M, grazie alla proprieà 7.., è la marice d incidenza nodi-archi di G, menre b è un veore a N componeni: la componene aociaa al nodo è pari a +, la componene aociaa al nodo èparia - e ue le alre componeni ono nulle. Definizione 7.. Dao un veore x Q, diremo upporo di x l inieme di archi S(x) ={e A : x e > }, cioè l inieme di archi corripondeni alle componeni reamene poiive di x b M Figura 7.4: Marice d incidenza nodi-archi e veore dei ermini noi Un modo andard per rappreenare graficamene un veore x Q conie nell evidenziare in graeo gli archi del upporo di x crivendo accano a ciacun arco il valore della corripondene componene. In Figura 7.5 ono rappreenai, ripeivamene, i veori x =( =,=, =, =, = ), x =(,,,, ) e x =(/, /, /4, /4, /4), ui appareneni al poliedro Q dei cammini (per verificarlo baa oervare che i puni dai oddifano ui i vincoli che definicono il poliedro). Si oervi che menre x e x ono effeivamene veori d incidenza di cammini, x non lo è. Quindi, il poliedro Q coniene, olre ai veori d incidenza degli -cammini di G, anche alri puni (ineri e non). Nel eguio dimoraremo alcune proprieà del poliedro Q. Dal Teorema 6.. appiamo che il rango della marice M èparia N =n. Quindi, poiché i vincoli rappreenai da M ono n equazioni, uno qualunque di quei vincoli è ridondane (può eere oenuo come combinazione lineare delle alre n equazioni) e può eere eliminao dal iema enza modificare Q. Ad eempio, l ulima riga della marice in Fig. 7.4 può eere oenua ommando le 58

4 / /4 /4 / x x x /4 Figura 7.5: Veori appareni poliedro dei cammini. alre righe della marice pre-moliplicae per -; anche l ulima componene del veore dei ermini noi può eere oenua nello eo modo. Eendo il rango di M pari a n, dalla eoria della programmazione lineare appiamo che le oluzioni di bae del poliedro Q hanno al più n componeni poiive. Inolre, ponendo E = m, il numero di variabili fuori bae è eaamene pari a m n +. b n- m-n+ n- B F x B riga ridondane x F b n M Figura 7.6: Bai del poliedro Q. Il proimo eorema lega proprieà delle bai di Q a proprieà opologiche del grafo G. Teorema 7.. (Teorema delle oluzioni di bae di Q ) Un veore x Q è una Soluzione di Bae (SBA) e e olo e il uo upporo S(x )={e A : x e > } è una FORESTA di G(N,A) Dim. Solo e. Eendo x oluzione di bae i ha che ( ) ( ) x x = B B x = b (7.7) F m n+ ove B è una oomarice (n ) (n ) non ingolare di M e b è il corripondene ooveore dei ermini noi (privo quindi della componene ridondane). Quindi, per il Teorema 6.., gli archi T B corripondeni alle colonne di B definicono un albero ricoprene di G. Quindi S(x )=S(x B ) T B: in paricolare, e x è non degenere, ue le componeni in bae ono reamene poiive e S(x )=T B. Alrimeni, qualche componene di x arà nulla e S(x ) T B è oinieme di archi di un albero ricoprene, ovvero l inieme di archi di una forea. Se. Per comodià indicheremo con M la marice oenua da M rimuovendo la riga ridondane. Quindi M x = b.ses(x )è una forea e G(N,A) è un grafo conneo, allora eie un albero ricoprene T B di G ale che S(x ) T B. La oomarice B di M le cui colonne corripondono agli n archi di T B e le cui righe corripondono alle n righe di M è non ingolare (per il Teorema 6..). Senza perdia di generalià 59

5 upponiamo che S(x )={e,...,e p }, p n e upponiamo che T B = {e,...,e p,e p+,...e n }. Siano inolre x...,x n e m,...,m n, ripeivamene, le componeni della oluzione e le colonne della marice B corripondeni agli archi di T B : quindi B =(m...m n ). Siano infine x n,...,x m e m n,...,m m le rimaneni variabili e colonne di M, ripeivamene. Per coruzione, avremo x >,...,x p > (in quano corripondono agli archi nel upporo S(x )): ue le alre variabili ono nulle e dunque in paricolare x n =...= x m =. Quindi i ha: M x = m x + m x m n x n + m n x n m m x m = m x + m x m n x n ovvero, rappreenando la omma in forma di prodoo mariciale M x = Bx B,ovex B è il veore delle prime n componeni di x. Eendo M x = b abbiamo che Bx B = b ed eendo B una marice non ingolare x B = B b e quindi x è una oluzione di bae. La Figura 7.7 mora alcuni veori di Q diinguendo fra oluzioni di bae e non. / / / /4 /4 / / /4 non di bae di bae non di bae Figura 7.7: Soluzioni di Bae e non di Bae del poliedro Q. Il proimo eorema mora come le oluzioni di bae di Q idenifichino ui e oli i cammini del grafo G. Teorema 7..4 (Teorema dei cammini ebaidiq ) Un veore x Q è una Soluzione di Bae (SBA) e e olo e è il veore d incidenza di un cammino orienao P da a Dim. Solo e. Moriamo innanziuo che e x è una oluzione di bae allora la forea H =(W, S(x )) (dove W è l inieme di nodi eremi degli archi in S(x )) è un cammino. Moreremo che H èunalbero che coniene eaamene due foglie e e quindi, dal Teorema.4., H è un cammino.. H non coniene nodi iolai. Infai ogni nodo è eremo di un arco di H. Quindi ogni componene connea di H è un albero che coniene almeno due nodi e quindi coniene almeno due foglie. Se r èil numero di componeni connee di H, le foglie di H aranno almeno r.. e ono le ole foglie di H. Infai, upponiamo che eia un nodo v N {, } ale che d H (v) =. Allora eie eaamene un arco di S(x ) incidene in v e upponiamo enza perdia di generalià che l arco ia un arco enrane wv. Queo implica che x wv >. Ma allora, per il vincolo 7., deve eere vu δ + H (v) x vu > : deve quindi eiere almeno un arco vz ucene da v ale che x vz >. Ma allora anche vz S(x ) conraddicendo il fao che v è una foglia di H.. Eendo H una forea con due ole foglie e enza nodi iolai, H coniene una ola componene e quindi H è un albero. Dal Teorema.4. egue che H è un cammino. Quindi S(x )è l inieme degli archi di un cammino P = { = v,e,v,e,v,..., v p,e p,v p+ = } di eremi e. Dobbiamo ora dimorare che il cammino èun-cammino, cioè un cammino orienao che va da a. 6

6 Cominciamo col morare che l ulimo arco e p di P è un arco enrane, ovvero e p =(v p,). Infai, upponiamo che e p = (, v p ); queo implica che (, v p ) S(x ), ovvero che x,v p >. Poiché in incide un olo arco di P,arà quindi u δ + G () x u = x,v p > e u δ G () x u =. Ciò implica che u δ G () x u u δ + G () x u < violando quindi il vincolo 7.4. Quindi arà e p =(v p,)ex v p, >. Inolre, per oddifare il vincolo 7.4, dovrà eere x v p, =. Se v p = allora P coniene olo l arco,, e il eorema è dimorao. Alrimeni moriamo che l arco e p èunarcoenraneinv p,ecioè e p =(v p,v p ). Si oervi che in v p incidono eaamene due archi di P. Uno dei due archi è l arco (v p,) che è un arco ucene da v p. Quindi arà v p,u δ + G (vp) x v p,u =. Da 7., eendo v p,u δ + G (vp) x v p,u = u,v p δ G (vp) x u,v p arà u,v p δ G (vp) x u,v p = e quindi il econdo arco incidene in v p deve neceariamene apparenere alla ella enrane in v p. Ma queo implica che e p =(v p,v p )ex p,p =. L argomeno uilizzao per dimorare che l arco e p è orienao da v p a v p può eere uilizzao induivamene per dimorare che anche gli alri archi del cammino hanno l orienameno opporuno.? v h- e h- v h e h V h+ v p e p Figura 7.8: Orienameno degli archi ul cammino di eremi e. Supponiamo quindi che per gli archi e h,e h+,...,e p ia e h =(v h,v h+ ), e h+ =(v h+,v h+ ),..., e p = (v p,)(cioè iano ui orienai nel vero giuo ) con x e h = x v h,v h+ =,..., x e p =, e upponiamo che l arco e h ia ale che e h =(v h,v h ), cioè appariene alla ella ucene di v h. Poiché anche l arco e h =(v h,v h+ ) appariene alla ella ucene da v h, ed inolre e h e e h ono gli unici archi della ella di v h nel upporo della oluzione, i ha da (7.): x v h,u x u,v h = x v h,v h x v h,h+ = v h,u δ + G (v h) v h,u δ G (v h) Coneguenemene, x v h,h = x v h,h+ = violando la non negaivià delle variabili. Quindi il econdo arco incidene in v h deve neceariamene apparenere alla ella enrane in v h e quindi e h =(v h,v h ). Si ha da (7.): x v h,u x u,v h = x v h,h x v h,h+ = v h,u δ + G (v h) v h,u δ G (v h) e quindi, x v h,h = x v h,v h+ = Se. Dicende direamene dal Teorema delle oluzioni di bae di Q (7..). Infai, un cammino di G è una forea di G. I eoremi precedeni ci permeono di definire una meodologia per il calcolo dei cammini di coo minimo in un grafo orienao baaa ulla programmazione lineare. Specificamene: Se x P è il veore d incidenza di un cammino P, allora il coo c(p )dip può eere epreo come c(p )= c uv = c uv x P uv = c T x P. uv A(P ) uv A 6

7 ove A(P )è l inieme di archi di P. Trovare un cammino orienao P di coo minimo è equivalene a rovare il veore d incidenza x di un cammino avene coo c T x minimo; per il Teorema 7..4 queo è equivalene a rovare una oluzione di bae (quindi un verice) del poliedro Q = {x R A : Mx = b, x A } avene coo minimo; ma queo è equivalene a riolvere il eguene problema di programmazione lineare: (CM) min c T x Mx = b (7.8) x A o, equivalenemene, {min c T x : x Q }. Il veore b dei ermini noi è un veore a n = N componeni; le prime due componeni b e b ono aociae, ripeivamene, al nodo ealnodo, eihab T =(,,,...,) Un meodo andard per riolvere problemi di programmazione lineare è il meodo del impleo. Tuavia, per problemi di cammini minimo, eiono meodi più efficieni che fruano le caraeriiche paricolari del poliedro dei cammini. 7. L algorimo di Dijkra per il problema del cammino minimo. Una clae di algorimi frua le proprieà della coppia di problemi di programmazione lineare dea primale-duale. In paricolare, dao il problema di PL 7.8, è poibile coruire il problema duale inroducendo un veore di variabili y R N le cui componeni ono aociae ai vincoli del primale e quindi ai nodi N del grafo. Le prime due componeni di y aranno aociae, ripeivamene, al nodo e al nodo, menre le alre ono aociae agli alri nodi. Il problema duale i criverà quindi (DCM) max b T y M T y c (7.9) - b T M T u v uv - Figura 7.9: Generico problema duale. Si oervi che eendo i vincoli del primale vincoli d uguaglianza, le variabili duali non ono vincolae in egno. I vincoli del duale ono aociai alle variabili primali, e cioè avremo un vincolo per ogni arco di G. In paricolare, il problema duale (DCM) può eere ricrio come egue: 6

8 max y y (7.) (DCM) y v y u c uv per ogni uv A La Figura 7.9 può aiuare a comprendere la naura del generico problema duale del cammino minimo. La Figura 7., invece, mora la marice dei cofficieni M T del problema duale aociao al grafo nell eempio di Figura 7.: ale marice è la rapoa di quella moraa in Figura 7.4, oenuo emplicemene raponendo la marice M Figura 7.: Coninuazione eempio di Figura 7.4. Si oervi che, eendo il rango di A pari a n, una qualunque riga del primale può eere eliminaa perché ridondane. Queo è equivalene, nel problema duale, a porre a zero la corripondene variabile. Si ceglie di porre quindi y =. Abbiamo quindi definio una coppia primale-duale. Dao un problema (P) di PL, è noo che (P) può rovari in una delle egueni condizioni (ripeo all eienza e al valore delle oluzioni): (i) (P )non ammee oluzioni, (ii) P è illimiao, (iii) P ammee almeno una oluzione oima u un verice. Poiché, per l Aunzione, il grafo G coniene almeno un cammino, il problema primale ammee almeno una oluzione. Dalla eoria della dualià appiamo che e il problema primale è illimiao inferiormene, il problema duale arà inammiibile. Vogliamo quindi ripondere alla eguene domanda: Può la regione ammiibile del problema duale (DCM) riulare vuoa? Per ripondere a quea domanda enunciamo innanziuo un lemma, noo come principio di oimalià, la cui dimorazione banale può eere omea. Lemma 7.. Sia G(N,A) un grafo privo di cicli negaivi e ia P u = {, (, v ),v,...,(v p,v p ),v p = u} un cammino minimo da a u. AlloraP i = {, (, v ),v,...,(v i,v i ),v i } è un cammino minimo da a i, peri =,...,p. Teorema 7.. (Teorema dei cicli negaivi) Il Problema Duale ammee oluzioni (il Problema Primale non è illimiao) e e olo e il grafo G(N,A) non ha cicli orienai di coo oale negaivo. Dim. Se. Moriamo innanziuo che e G non coniene cicli orienai (di coo) negaivi allora (DCM) ammee oluzioni. La dimorazione è oenua morando come, in aenza di cicli negiivi, ia empre poibile (almeno eoricamene) coruire una oluzione y duale ammiibile. Per l Aunzione, eie almeno un cammino u per ogni u N. SiaP u il (un) cammino di lunghezza minima da da u, per ogni u. Coruiamo una oluzione duale ponendo y u = c(p u ) per ogni u N, ovvero l u-eima componene di y è pari al coo del cammino di coo minimo da a u. Moriamo che y è una oluzione ammiibile per (DCM) e cioè y v y u c uv per ogni arco uv A. Supponiamo di no; eie allora un arco uv A ale che y v y u >c uv ; per come abbiamo definio y,ciò implica che c(p v ) c(p u ) >c uv ecioè c(p v ) >c(p u )+c uv. Eiono due poibilià. 6

9 v P * v u P * u P Figura 7.:. Il nodo v non appariene a P u : allora poiamo coruire un cammino da a v concaenando il cammino P u all arco uv. Queo cammino ha coo pari a c(p u )+c uv <c(p v ) conraddicendo l ipoei che P v foe il cammino di coo minimo da a v.. Il nodo v appariene a P u : quindi P u = {,...,v,...,u}. Per il principio di oimalià, il oocammino P v di P u che va da a v è oimo e quindi c(p v)=c(p v ). Conideriamo ora il oocammino P u di P u che va da v a u. La concaenazione di P u con l arco uv è un ciclo orienao. Inolre, eendo c(p v)=c(p v ) >c(p u )+c uv = c(p v )+c(p u)+c uv ne egue che >c(p u)+c uv e il ciclo orienao P u (u, v) ha coo negaivo, conraddizione. P * v v C P u Figura 7.: Solo e. Moriamo che e eie una oluzione y duale ammiibile, allora G(N,A) non coniene cicli negaivi. Sia quindi y una oluzione duale ammiibile e upponiamo per aurdo che ci ia un ciclo orienao C = {, (, ),, (, ),...k, (k,k),k,(k, ), } di coo negaivo (per emplicià di noazione il nodo v i è indicao con il uo indice i). Poiché y è una oluzione duale, deve eere: y y c y y c. y y k c k (7.) Sommando ue le diequazioni i oiene facilmene uv C c uv = c(c); ma c(c) < per ipoei, conraddizione. Quindi, l aenza di cicli orienai di coo negaivo aicura l eienza di una oluzione duale ammiibile e quindi di una oluzione primale oima. Da ora in poi faremo la eguene Aunzione (G, c conervaivi). veore di coo c). Il grafo G(N, A) non coniene cicli di coo negaivo (ripeo al 64

10 . 7. Condizioni di caro complemenare nei cammini minimi. Abbiamo vio che è poibile aociare a un problema di cammino minimo una coppia primale-duale di problemi di programmazione lineare. Dalla eoria della dualià appiamo che x è una oluzione oima del problema primale (CM) 7.8, e y è una oluzione oima del problema duale (DCM) 7., e e olo e valgono le condizioni di caro complemenare: x uv(c uv y v + y u) = per ogni uv A (7.) ovvero, indicando con uv = c uv y v + y u lalack del vincolo duale aociao ad uv A, e vale x uv uv = per ogni uv A. Se x è il veore d incidenza di un cammino, le ue componeni poono aumere olo valore o valore, e la condizione x uv > è equivalene a x uv. Quindi, la condizione di complemenarià 7. implica che x è il veore d incidenza di un cammino minimo P e e olo e eie una oluzione duale y (con aociao veore di lack ) ale che uv = ogni vola che x uv =. Avremo quindi: yv = yu + c uv per ogni uv A ale che x uv = (7.) Si oervi che la condizione x uv = implica che l arco uv appariene al cammino minimo P. Il cammino P = {, (, ),, (, ),, (,),} è un cammino minimo per il grafo in Figura 7.. Per verificare l oimalià dip è ufficiene morare una oluzione duale che oddifa le condizioni di complemenarià 7. con il veore d incidenza di P. y = y = y = y = Figura 7.: Una oluzione duale oima In effei, è facile morare che la oluzione in figura è ammiibile per il duale (DCM) e oddifa le condizioni di complemenarià. Infai y = y + c =,y = y + c =ey = y + c =. Analogamene a quano deo per una oluzione primale, per verificare l oimalià di una oluzione duale è ufficiene morare un cammino il cui veore d incidenza oddifi le condizioni di complemenarià. Definizione 7.. Daa una oluzione duale y diremo grafo ridoo (ripeo ad y )ilgrafog(y )(N,F ), ove F = {uv A : y v = y u + c uv } In alri ermini, il grafo ridoo G(y )dig(n,a) ripeo alla oluzione duale y è il grafo ricoprene di G(N,A) oenuo coniderando olo gli archi corripondeni a vincoli duali oddifai all uguaglianza da y,ecioèarchiuv A la cui lack duale uv è nulla, ovveroia archi uv A per i quali vale y v y u = c uv. In Figura 7.4 ono morae due oluzioni duali ammiibili e i corripondeni grafi ridoi. Riepilogando, abbiamo che, per ogni arco uv A, 65

11 y = y = y = y = y = y = y = y = Figura 7.4: Due oluzioni duali e i corripondeni grafi ridoi. Se uv =, allora uv G(y ). Se uv >, allora uv / G(y ). Per quano i è deo prima, una oluzione duale y è oima e e olo e eie un -cammino il cui veore d incidenza oddifa le condizioni di complemenarià cony. Il proimo eorema caraerizza l eienza di un iffao cammino. Teorema 7.. (Teorema del cammino nel grafo ridoo) Un cammino orienao P da a in G(N,A) ha coo minimo e e olo e eie una oluzione duale y con la proprieà chep è un cammino orienao da a nel grafo ridoo G(y ). Dim. Sia P un -cammino in G(N,A) eiax P il uo veore di incidenza. x P è oimo e e olo e eie una oluzione duale y ale che x P uv(c uv y v + y u) = per ogni uv A. Ovvero e e olo e eie una oluzione duale y ale che y v = y u + c uv per ogni uv P (x P uv = ). Ma queo èveroeeoloep èun-cammino in G(y ). Il eorema 7.. uggerice un poibile algorimo generico per la oluzione del problema del cammino minimo.. Scegli una oluzione duale y e coruici il grafo ridoo G(y ). Cerca un qualiai -cammino in G(y ).. Se un -cammino eie in G(y ), ale cammino è oimo. Se non eie, aggiorna opporunamene y e orna al pao. Nauralmene biogna preciare come aggiornare la oluzione duale in modo da aicurarci che, prima o poi, il grafo G(y ) includerà un-cammino. Il proimo eorema fornice un crierio di aggiornameno della oluzione duale in modo da accrecere in G(y ) l inieme W dei nodi u N per cui eie un u-cammino in G(y ) fino a quando W includerà ilnodo. Teorema 7.. Teorema di accrecimeno Sia W l inieme dei nodi raggiungibili da in G(y ) eia = min{ pq = c pq y q + y p : pq δ + G (W )}: allora il veore { y v = y v per ogni v W y v = y v + per ogni v N W (7.4) è una oluzione duale. 66

12 G(y ) k A-F W h δ G+ (W ) F Figura 7.5: Teorema di accrecimeno Dim. Si oervi che, eendo y una oluzione duale (ammiibile) i avrà y q y p c pq e quindi pq per ogni pq A. Sarà quindi. Supponiamo ora per aurdo che la nuova oluzione y non ia una oluzione duale. Allora eierà un arco hk per cui y k y h >c hk. Eendo y una oluzione duale ammiibile, i ha y k y h c hk: day k y h >c hk e dicende che y k <y k. Ma queo vuol dire che y k è divero da y k e quindi è ao modificao: dunque, k N W e y k = y k +. Se anche y h è divero da y h i ha che y h = y h + e quindi conraddicendo l ipoei iniziale. Quindi deve eere y h = y h. Queo implica che h W. Quindi, h W e k N W implicano che hk δ + G (W ). Ma allora y k y k = =min{c pq y q + y p : pq δ + G (W )} c hk y k + y h e quindi y k c hk + y h c hk + y h, ovvero y k y h c hk, conraddizione. Nell eempio di Figura 7.6.a) è morao un grafo, la oluzione duale e il grafo ridoo aociao (gli archi del grafo ridoo ono a rao coninuo). L inieme dei nodi raggiungibili da nel grafo ridoo è W = {, }. Il aglio δ + G (W )è formao dagli archi {(, ), (, ), (,)}. W y = y = y = W y = y = y = y = y = Figura 7.6: Un eempio del eorema di accrecimeno Per calcolare = min{ pq = c pq y q + y p : pq δ + G (W )} valuiamo quindi le egueni quanià: c y + y = += c y + y = += (7.5) c y y = += e quindi =. Aggiorniamo le variabili duali aociae ai nodi in N W. L aggiornameno produce quindi y = y +=ey = y + = (le alre variabili reano al valore precedene). Nel grafo di Figura 7.6.b) i oerva come l inieme W dei nodi raggiungibili da nel grafo ridoo aociao alla nuova oluzione duale coniene reamene l inieme precedene. In effei, quea proprieàè empre verificaa dalle nuove oluzioni duali aggiornae econdo il Teorema 7.., come enunciao dal eguene: 67

13 Teorema 7..4 Secondo eorema di accrecimeno Sia W l inieme dei nodi raggiungibili da in G(y ), e upponimo che / W.SiaW l inieme dei nodi raggiungibili da in G(y ) ove y è la nuova oluzione duale oenua ponendo { y v = y v per ogni v W y v = y v + per ogni v N W (7.6) ove = min{ pq = c pq y q + y p : pq δ + G (W )}. AlloraW W. Dim. Dimoriamo innanziuo che W W. Si oervi che neun arco uv di G(y ) appariene a δ + G (W ). Alrimeni, u W e quindi eie un u-cammino P u in G(y ); poiché uv G(y ) anche l v-cammino P u (u, v) appariene a G(y ) e quindi v W.Mauv δ G (W ) implica v N W, una conraddizione. Quindi uv / δ + G (W ) per ogni arco uv G (y). Sia dunque z W un qualunque nodo raggiungibile da in G(y )eiap z un z-cammino in G(y ). Tui i nodi del cammino ono conenui in W e quindi y v = y v e y u = y u per ogni uv P z. Ne conegue che il cammino P z è anche un cammino di G(y ) e quindi z W. Queo dimora che W W. Dimoriamo ora che W W. Sia pq = c pq y q + y p per ogni pq A la lack del vincolo duale pq eial = {uv δ + G (W ): uv = }, cioè l inieme degli archi di δ + G (W ) la cui lack duale ia uguale a. Per ogni uv L i ha uv / G (y) (eendo uv δ + G (W )), quindi uv > e di coneguenze >. Eendo u W e v N W,ihay v = y v + e y u = y u. Eendo c uv y v + y u = avremo c uv = y v + y u =(y v + ) y u = y v y u e uv L èunarcodig(y ). Quindi, per ogni arco uv L, v è raggiungibile da in G(y )(v W ) menre non lo èing(y )(v / W ). Quindi W W {v : uv L} e W W. 7.4 Specificià dell algorimo di Dijkra W () G(y () ) W () G(y () ) W () G(y () ) L () L () Figura 7.7: Algorimo per la ricerca del cammino minimo. I eoremi di accrecimeno 7.. e 7..4 ono alla bae di un procedimeno per il calcolo del cammino minimo. L idea è quella di coruire una equenza di oluzioni duali y (),y (),y (),, e i corripondeni iniemi di nodi raggiugibili W (),W (),W (), da in G(y (i) ), i =,,,... Un poibile chema di oluzione è dunque il eguene: All inizio Scegli una oluzione duale iniziale y (). Tale oluzione ceramene eie perché G non coniene cicli negaivi (Aunzione, Teorema 7..). Deermina W () eponii =. A ogni pao: Se W (i), ogni cammino in G(y (i) )è oimo (Teorema 7..). Alrimeni: 68

14 - individua L (i) = {uv δ + G (W (i) ) degli archi del aglio con minimo valore di lack (i) c uv y v (i) + y u (i) }; - definici la nuova oluzione duale y (i+) e deermina W (i+) ; - poni i = i + e va al pao i. uv = La Figura 7.7 illura un applicazione dell algorimo abbozzao nello chema precedene. chemaizzazione più accuraa è daa in Figura 7.8. Una ALGORITMO PRIMALE-DUALE PER IL CAMMINO MINIMO Pao. Scegli y () e deermina W (). Poni i = Pao i. Se W (i), ogni cammino da a in G(y (i) ) oimo; Alrimeni genera y (i+) e deermina W (i+) ponendo: =min{c hk y (i) k + y(i) h : hk δ(g(w (i) )}. y v (i+) = y v (i) per ogni v W (i) y v (i+) = y v (i) + per ogni v N W (i) W (i+) = {inieme di nodi raggiungibili da in G(y i+ )} Poni i = i + Fine Pao i Figura 7.8: L algorimo primale-duale per il cammino minimo Una poibile implemenazione di ale chema è il coiddeo Algorimo di Dijkra, coì chiamao dal nome del uo ideaore, l olandee Edger Wybe Dijkra, che lo inrodue nel 954. Per aicurari che il grafo G(N,A) non conenga cicli di coo negaivo (conervaivià deicoi) l algorimo di Dijkra richiede che il veore c dei coi oddifi una condizione più fore, e cioè c uv per ogni uv A. Quea proprieà permee anche di calcolare agevolmene una oluzione duale iniziale y (). Infai è facile vedere che il veore nullo y () = n è ammiibile eendo y v () y u () = c uv per ogni uv A. In alre parole, l agorimo di Dijkra è eenzialmene l algorimo di Figura 7.8 qualora applicao a un ianza con coi degli archi non negaivi e inizializzao con una oluzione duale pari al veore nullo Applicazione dell algorimo di Dijkra. Si conideri l eempio di Figura 7.9 Ponendo y uv () = per ogni uv A i ha che G(y () ) non coniene archi e quindi l unico nodo raggiungibile da è eo: quindi W () = {} e δ + G (W () )={(, v ), (, v )}; il calcolo di è morao in Figura 7.9. Eendo = i incremenano di un unià le variabili corripondeni ai nodi in N W (),ecioèle variabili duali y,y,y,y 4,y. I nuovi valori ono morai in Figura 7.. Il nuovo inieme W () = {, v } e δ G (W () )={(, v ), (v,v )}; il calcolo di è morao in Figura 7.. Gli aggiornameni delle variabili e i nuovi iniemi di nodi e archi e il calcolo di ono morai in Figura 7.. In paricolare, W () = {, v,v } e δ + G (W () )={(, v ), (v,v ), (v, )}. La erza ierazione dell algorimo è illuraa in Figura 7.. In paricolare, W (4) = {, v,v, } e δ + G (W () )={(, v ), (v,v ), (v, )}. 69

15 y() = W () y () = v y () = y () = v v 5 4 y () = y () = 4 -y () +y() = -y () +y() = = L= {v } Figura 7.9: Inizializzazione algorimo di Dijkra. y() = W () y () = v y () = y () = v v 5 y () = 4 y () 4 = -y () + y() =9 -y () +y() = = L= {v v } Figura 7.: Prima ierazione algorimo di Dijkra. W () y () = y() = v y () =4 y () =4 v v 5 y () =4 4 y () =4 4 -y () +y() =6 4-y () +y() =4 4 5-y () +y() =5 =4 L= {v } Figura 7.: Seconda ierazione algorimo di Dijkra. y(4) = y (4) = v y (4) =4 W (4) y (4) =8 v v 5 4 y (4) =8 y (4) 4 =8 -y (4) +y(4) = 5-y (4) +y(4) = -y (4) +y(4) = 4 = L= {v v, v } Figura 7.: Terza ierazione algorimo di Dijkra. 7

16 La quara e ulima ierazione dell algorimo è illuraa in Figura 7.. In paricolare, W (5) = {, v,v,,v,} e W (5). Un qualunque cammino nel grafo ridoo è un cammino minimo. In queo cao, eie un unico cammino minimo {, v,v,v v,v,v,,, }. Si oervi inolre che, per ogni u, il coo del cammino minimo da a u è proprio pari a y u (5). Quea proprieàè illuraa nel proimo eorema. y (5) = v y (5) = v y (5) =4 W (5) v 4 5 y (5) =9 y (5) =8 4 Figura 7.: Ulima ierazione algorimo di Dijkra. Teorema 7.4. Teorema di oimalià del grafo ridoo. Se y R N èunaoluzionedualeperil problema (CM) aociao al grafo G(N,A) e W l inieme dei nodi raggiungibili da in G(y), alloraper ogni u W, y u è il coo del cammino minimo da ad u in G(N,A). Dim. Conideriamo un u-cammino P u = {, v,v,...,v k,v k u, u} in G(y); poiché ogni arco di P u appariene a G(y) deve eere: y v y = c,v y v y v = c v,v. y u y vk = c vk,u (7.7) Sommando ue le equazioni, e enendo cono che y =, i oiene y u = uv P u c uv = c(p u ). D alronde, preo un qualunque u-cammino P u = {, u,u,...,u k,u k u, u} in G(N,A), per l ammiibilià della oluzione duale deve eere: y u y c,u y u y u c u,u. y u y uk c uk,u (7.8) da cui, ommando le diuguaglianze, i oiene y u c(p u). Quindi c(p u )=y u c(p u) per ogni u-cammino P u in G(N,A) ep u è un cammino minimo Schema e compleià dell algorimo di Dijkra Tenendo cono delle aunzioni (conervaivià dei coi), l algorimo di Dijkra può eere ineizzao come in Figura 7.4. Eaminiamo ora i ingoli pai dell algorimo per deerminare la compleià. Inano oerviamo che l inero blocco Repea... Unil viene ripeuo al più N vole. Infai, a ogni ierazione viene aggiuno almeno un nodo all inieme W. Quindi, in al piú N ierazioni, il nodo verrà inerio in W. L iruzione al Pao : = min{c uv y v + y u : uv δ + G (W )} eamina la ella ucene δ+ G (W ) dall inieme W ; 7

17 ALGORITMO DI DIJKSTRA. Inizializzazione W = {}; y = N. Repea. = min{c uv y v + y u : uv δ + G (W )}. L = {uv δ + G (W ):cuv yv + yu = } 4. v N W poni y v := y v + 5. W = {inieme di nodi raggiungibili da in G(y)} 6. Unil W Figura 7.4: Algorimo di Dijkra (954) richiede quindi al maimo l analii di A archi. La ea analii vale per il Pao. Per il Pao 4, l algorimo deve candire i nodi in N W, quindi al più N nodi. Infine, al Pao 5 i applica un algorimo di viia al grafo G(y), che richiede al maimo un numero di pai proporzionale a A. Quindi, all inerno del blocco, verranno eeguii O( A + N ) pai. Siccome il blocco viene eeguio al più N vole, il numero compleivo di ierazioni dell algorimo di Dijkra arà O( N ( A + N )) che può eere ricrio come O(n m) Arborecenza dei cammini minimi Dao un grafo orienao G(N,A), un nodo peciale N per cui eie almeno un u-cammino per ogni u N, e dao un veore di coo non negaivo c A,ilproblema dell arborecenza dei cammini minimi conie nel rovare un arborecenza ricoprene H(N,T) di radice con la proprieà che, per ogni u N, il cammino orienao da a u in H èunu-cammino di coo minimo in G(N,A). G(N,A) v v v 4 v v 4 v H v v v v H v 5 v v 5 4 v 5 Figura 7.5: Un grafo orienao e due arborecenze minime radicae in. Per rappreenare opporunamene un arborecenza H(N,T) i noi in primo luogo che ogni nodo v N divero da ha eaamene un arco enrane uv T. Se uv è l arco enrane in v, ilnodou è deo padre di v. Un arborecenza viene in genere rappreenana aravero il veore dei padri. Ad eempio, le due arborecenze in Figura 7.5 vengono rappreenae mediane i veori: 7

18 Padre(H )= v v v v v v 5, Padre(H )= v v v v v 5 (7.9) Vediamo adeo come l algorimo di Dijkra poa eere opporunamene modificao per il calcolo dell arborecenza minima di un grafo orienao. Sia dunque y la oluzione correne a un generico pao dell algorimo, e ia G(y)(W, F ) il corripondene grafo ridoo, ove W = W (y) è l inieme dei nodi raggiungibili da in G(y) (edf è l inieme degli archi del grafo G(y)). Per come W è definio, eie un cammino orienao P v da a v W in G(y) e quindi eie in G(y) un arborecenza H(W, T ) ricoprene di radice. Ora, per il Teorema 7.4., ogni v-cammino P v in G(y) èunv-cammino minimo in G(N,A). Di coneguenza, e W = N, ogni arborecenza P v ricoprene di G(y) è anche ricoprene di G ed inolre gli v-cammini ull arborecenza (eendo cammini di G(y)) ono cammini di coo minimo in G e H è un arborecenza minima. Quindi, modificando opporunamene il e di erminazione dell algorimo di Dijkra, cioè arreandolo olo quando W = N (e non emplicemene quando W ), allora poiamo facilmene coruire un arborecenza H dei cammini minimi di radice in G uilizzando olo gli archi del grafo ridoo. Lo chema dell algorimo modificao per il calcolo dell arborecenza è morao in Fig ALGORITMO DIJKSTRA MODIFICATO (calcolo dell arborecenza) -. Inizializzazione Padre[v] := per ogni v N. W = {}; y = N. Repea. = min{c uv y v + y u : uv δ + G (W )}. L = {uv δ + G (W ):cuv yv + yu = } 4. v N W poni y v := y v + 5. W = {inieme di nodi raggiungibili da in G(y)} 6. Coruici in G(y) un arborecenza radicaa in 7. Coruici il veore PADRE aociao all arborecenza 8. Unil W = N - Figura 7.6: Algorimo di Dijkra modificao Si oervi che la coruzione dell arborecenza (e del veore PADRE aociao) poono eere realizzai mediane algorimi di viia (quindi in un numero di pai proporzionale a A ). La compleià dell algorimo modificao è quindi ancora O(nm) 7