INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Filtri analogici. Filtri analogici

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1 IGEGERIA E TECOLOGIE DEI SISTEMI DI COTROLLO Prof. Carlo Rossi DEIS - Università di Bologna Tel: crossi@deis.unibo.it Il filtro passa basso ideale Si vuole ricostruire un segnale utile che ha sovrapposto un segnale di rumore con spettro di frequenza separato (maggiore) Se si vuole ottenere il segnale di uscita della stessa forma del segnale di ingresso, le uniche operazioni ammesse sono un guadagno ed un ritardo y() t = k x( t δ ) Alle frequenze del segnale utile ciò corrisponde ad una funzione di trasferimento Y ( jω ) = X ( jω ) k e jω δ H ( jω ) = k e jω δ a cui corrisponde a( ω ) = 0log k b( ω ) = ω δ τ g ( ω ) = δ H ( jω ) k ω c ω b( ω ) ω c δ ω c ω Approssimazioni di un filtro ideale Il filtro ideale non può essere realizzato con costo finito Si ricercano delle FdT razionali che approssimano la risposta frequenziale ideale: aumentando l ordine del filtro l approssimazione può essere sempre migliorata L approssimazione si ricerca nella forma H ( jω ) = + A ( ω ) dove rappresenta l ordine del filtro e la funzione approssimante A ha la proprietà di assumere valori bassi tra 0 e la frequenza di cutoff e di aumentare rapidamente al di sopra 3

2 Approssimazioni di un filtro ideale Il comportamento desiderato per l ampiezza della risposta armonica del filtro è solitamente specificata in termini di tolleranze H ( jω ) banda passante deviazione in banda passante v p banda di transizione gaudagno ammesso in stop-band stop-band v s ω p ω s ω 4 Filtro di Butterworth In questo tipo di filtro, la funzione approssimante è scelta come ( ) ( ) ( ) A ω = ω ωc H jω = + ( ω ω ) c Le derivate dell ampiezza della risposta armonica sono nulle nell origine filtro massimamente piatto Tutti gli zeri sono all infinito ampiezza decrescente e convergente a zero all infinito Si utilizza per il progetto la pulsazione normalizzata Ω = ω ω c H ( jω) = + Ω 5 Caratteristica di ampiezza del filtro H ( jω ) v p v s Ω 6

3 FdT del filtro Per determinare la funzione di trasferimento, si introduce la variabile di Laplace normalizzata S=jΩ. Si ottiene ( ) ( ) H S = = + ( ) S S + ( ) Gli zeri del polinomio al denominatore sono sul cerchio unitario e sono dati da jπ ( v+ ) / S v = j e 0 v di cui a parte reale positiva e negativa. Raggruppandoli si ha H ( S ) = ( ) Hn( S ) H p ( S ) ( ) H p ( S ) = Hn( S ) H ( jω) = Hn( jω) 7 FdT del filtro La funzione di trasferimento (stabile) del filtro è dunque data da Hn( S ) = ordine dispari ( S S )( S S ) ( S S ) Hn( S ) = + A S A S A S A S A k S k + k ( + ) Esistono tabelle per i coefficienti A i e A i. Poli del filtro di butterworth 8 Sintesi del filtro Per determinare l ordine del filtro e la pulsazione di cutoff a partire dai parametri di tolleranza, si impone il passaggio per i due punti (ω p,v p ) e (ω s,v s ). Si ottiene log( v s v p ) = log( ωs ω p ) che va arrotondato all intero superiore. La pulsazione di cutoff si può determinare ancora imponendo il passaggio per il punto (ω p,v p ). ωc = ω p v p v p In questo caso il comportamento in stop-band sarà leggermente migliore 9

4 In Matlab (Signal Processing Toolbox) esistono le routine per il calcolo del filtro % sintesi del filtro di Butterworth % parametri di tolleranza; frequenze normalizzate tra % 0 ed. Rp ed Rs attenuazione in db (massima in % banda passante e minima in stop-band) Wp=0.8; Ws=0.9; Rp=5; Rs=0; % calcolo dell'ordine e della pulsazione di cutoff [,Wc]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s') % sintesi del filtro [B,A]=butter(,Wc,'s'); filter = tf(b,a); 0

5 3 Filtro di Chebyshev In questo tipo di filtro, la funzione approssimante è scelta come ( ) A Ω = ε T ( Ω) H ( jω) = + ε T ( Ω) Utilizzo dei polinomi di Chebishev del primo tipo di ordine n cos( n arccosω) 0 Ω Tn ( Ω) = cosh( n cosh Ω) Ω > n n Ω + Ω + Ω + Ω Tn ( Ω) = Utile la formula ricorrente Tn+ ( Ω) = ΩTn ( Ω) Tn ( Ω) 4 Polinomi di Chebyshev 5

6 Polinomi di Chebyshev 6 Polinomi di Chebyshev 7 Polinomi di Chebyshev 8

7 Ampiezza della risposta armonica ε = 0.5 n = 6 9 Caratteristiche dei polinomi Oscillazione tra - e + nell intervallo [0,] numero di massimi e minimi proporzionale all ordine del polinomio per Ω > funzione crescente tendente all infinito la pendenza della curva aumenta all aumentare dell ordine Il parametro ε influenza l ampiezza della oscillazione in banda passante all aumentare di ε aumenta il ripple in banda e la pendenza nella banda di transizione Chebyshev rispetto a Butterworth rilassa la richiesta di in banda passante per aumentare la pendenza nella banda di transizione caratteristica min-max: minimizza il massimo del ripple in banda passante; ciò porta a massimi tutti uguali a parità di ordine del filtro e di parametri di tolleranza, si ottengono transizioni più ripide rispetto a Butterworth 0 FdT del filtro Analogamente al caso del filtro di Butterworth, per determinare i poli del filtro si pone H ( S ) = + ε T ( j S ) e si ricercano gli zeri del polinomio a denominatore + ε T ( j S ) = 0 T ( j S ) = ± j ε Gli zeri del polinomio sono e sono disposti su una ellisse nel piano complesso.

8 FdT del filtro Similmente al caso di Butterworth, raggruppando gli zeri a parte reale negativa si ottiene la funzione di trasferimento nella forma Hn( S ) = ( S S )( S S ) ( S S ) Hn( S ) = V + A S A S A S A S A k S k + k ( + ) con il fattore V che normalizza il guadagno dato da V = + ε dispari pari Sintesi del filtro Le caratteristiche del filtro sono determinate da tre parametri: la pulsazione di cutoff, l ordine del filtro ed il parametro ε la frequenza di normalizzazione è presa uguale alla frequenza della banda passante: ciò garantisce il passaggio per il punto (ω p,v p ) l ordine del filtro si otiene imponendo il passaggio per il punto (ω s,v s ) cosh vs v p = cosh ( ωs ω p) ed arrotondando all intero superiore il parametro ε si ricava imponendo l attenuazione voluta in banda passante tenendo conto dell arrotondamento Ripple esatto in banda Migliore in stop-band ε = v p vp ε = vs cosh vs ( cosh ( ω ω ) s Ripple minore in banda Passaggio per (ω s,v s ) p 3 In Matlab (Signal Processing Toolbox) esistono le routine per il calcolo del filtro % sintesi del filtro di Chebyshev % parametri di tolleranza frequenze normalizzate % tra 0 ed. Rp ed Rs attenuazione in db (massima in % banda passante e minima in stop-band) Wp=0.85; Ws=0.9; Rp=3; Rs=0; % calcolo dell'ordine e della pulsazione di cutoff [,Wc]=chebord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s') % sintesi del filtro [B,A]=cheby(,Rp,Wc,'s'); filter = tf(b,a); 4

9 5 Attenzione al guadagno in continua Inserire il fattore di normalizzazione V 6 7

10 Filtro di Chebyshev inverso La logica è la stessa del filtro diretto, ma in questo caso si vuole un comportamento monotono in banda passante accettando ripple nella banda di attenuazione Si ottiene invertendo l asse della frequenza, che porta ad una risposta passa-alto, e successivamente sottraendo il risultato dall unità, che riporta il comportamento passa basso H ( jω) = H ( jω) = + ε T ( Ω) + ε T ( Ω) ε T ( Ω) H ( jω) = H ( jω) = + ( Ω) ε T + ε T ( Ω) 8 Ampiezza della risposta armonica ε = 0. n = 6 9 Ampiezza della risposta armonica Si nota come la convergenza a zero non è più monotona presenza di zeri nella FdT del filtro il numero M degli zeri è sempre pari ed uguale rispettivamente al numero dei poli per pari ed a -per dispari M S 0µ = ± j 0 µ cos π µ + / [ ( ) ] i poli del filtro inverso sono i reciproci del corrispondente filtro diretto 30

11 FdT del filtro La funzione di trasferimento del filtro è data da ( S S )( S S ) ( S S ) H ( S ) 0 0 M n = 0 ( S S )( S S ) ( S S ) + B S B S H ( S ) + k n = + A S A S A S A S A k S k + k ( + ) Poli su una ellisse Zeri sull asse immaginario 3 Sintesi del filtro I parametri di progetto hanno un significato diverso per il filtro inverso la frequenza di normalizzazione è presa uguale alla frequenza della stop-band: ciò garantisce il passaggio per il punto (ω s,v s ) l ordine del filtro rimane inalterato cosh vs v p = cosh ( ωs ω p) con arrotondando all intero superiore il parametro ε è legato al guadagno in stop-band v ε = s vs per la presenza dell arrotondamento, il comportamento in banda è leggermente migliore 3 In Matlab (Signal Processing Toolbox) esistono le routine per il calcolo del filtro inverso % sintesi del filtro di Chebyshev inverso % parametri di tolleranza frequenze normalizzate & tra 0 ed. Rp ed Rs attenuazione in db (massima in % banda passante e minima in stop-band) Wp=0.85; Ws=0.9; Rp=3; Rs=0; % calcolo dell'ordine e della pulsazione di cutoff [,Wc]=chebord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s') % sintesi del filtro [B,A]=cheby(,Rs,Wc,'s'); filter = tf(b,a); 33

12 34 Risposta discontinua per grado relativo nullo 35 36

13 Confronto Per un dato schema di tolleranza, i filtri diretto ed inverso richiedono lo stesso ordine Il filtro inverso è più complesso per la presenza degli zeri Si ha comportamento monotono in banda passante Il ritardo di gruppo ha un comportamento migliore 37 Altri filtri Si cita l esistenza di altri due tipi di filtri analogici Filtri ellittici a parità di ordine aumenta ancora la prendenza nella banda di transizione si ottiene ammettendo ripple sia in banda passante che in stopband Filtri di Bessel si basano sul principio di ottenere un ritardo di gruppo massimamente piatto in banda passante pendenza nella banda di transizione bassa in confronto agli altri filtri idonei per ritardare segnali Entrambi poco utilizzati in applicazioni di controllo 38 Trasformazioni frequenziali Si sono considerati solo filtri passa basso In effetti, il progetto di tutti gli altri tipi di filtro può essere riportato ad un progetto per un passa basso attraverso opportune trasformazioni frequenziali La sequenza è specifiche per il filtro trasformazione in specifiche equivalenti per il passa basso sintesi del passa basso trasformazione inversa per ottenere il fitro voluto La procedura utilizzata fornisce specifiche equivalenti per le frequenze normalizzate. Per ottenere il filtro originale, è necessario determinare anche come la frequenza di normalizzazione è determinata dalla trasformazione 39

14 Trasformazione passa-basso passa-alto H ( jω ) v p Schema di tolleranza per un filtro passa-alto v s ω ω ω ω s ω p = ω ω S S Trasformazione frequenziale Trasformazione inversa normalizzata 40 Trasformazione passa-basso passa-alto Per ottenere il filtro finale, è necessario tornare alle frequenze non normalizzate Per i filtri di Chebyshev, il prototipo passa basso è normalizzato rispetto alla pulsazione di banda passante ω p : tale pulsazione corrisponde alla pulsazione di banda passante del filtro passa alto ω Per i filtri di Butterworth, la normalizzazione è fatta rispetto alla pulsazione di cutoff a 3dB, che rimane la stessa el caso generale, basta imporre che la pulsazione a cui si vuole imporre il guadagno nel filtro passa corrisponda alla pulsazione a cui si è imposto nel prototipo passa basso 4 Trasformazione passa-basso passa-banda H ( jω ) v p v s ω ω ω 3 ω 4 Schema di tolleranza per un filtro passa-banda ω ωs ω p = ( ω4 ω) ( ω3 ω ) Trasformazione frequenziale Si noti la trasformazione adottata porta al disegno di filtri simmetrici con ampiezza delle bande di transizione ugale. ello schema di tolleranza, le quattro pulsazioni non possono essere indipendenti, ma devono soddisfare ω ω4 = ω ω3 4

15 Trasformazione passa-basso passa-banda La trasformazione inversa normalizzata risulta S ( S + S )/ B B è l ampiezza della banda passante normalizzata rispetto alla frequenza di centro banda B = ( ω3 ω )/ ωm ωm = ωω4 = ω ω3 La trasformazione inversa raddoppia l ordine del filtro 43 Trasformazione passa-basso elimina-banda H ( jω ) v p Schema di tolleranza per un filtro elimina-banda v s ω ω ω 3 ω 4 ω Del tutto analogo al caso passa banda. La trasformazione frequenziale è la stessa, mentre l altra è invertita ωs ω p = ( ω4 ω) ( ω3 ω ) S B /( S + S ) 44 Trasformazione passa-basso passa-banda La trasformazione inversa normalizzata risulta S ( S + S )/ B B è l ampiezza della banda passante normalizzata rispetto alla frequenza di centro banda B = ( ω3 ω )/ ωm ωm = ωω4 = ω ω3 La trasformazione inversa raddoppia l ordine del filtro 45

16 Le routine viste precedentemente in realtà calcolano direttamente il filtro a partire dalle pulsazioni assolute. nel caso di filtri passa o elimina banda, le pulsazioni di banda sono in realtà un vettore con gli estremi della banda relativa nel caso di filtro passa alto va specificata l opzione high' nel caso di filtro elimina banda va specificata l ozione 'stop' 46 IGEGERIA E TECOLOGIE DEI SISTEMI DI COTROLLO - fine Prof. Carlo Rossi DEIS - Università di Bologna Tel: crossi@deis.unibo.it