Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a Scritto del quinto appello, 3 luglio 2017 Testi 1

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1 nlisi Mtemti I per Ingegneri Gestionle, Sritto el quinto ppello, 3 luglio 7 Testi Prim prte, gruppo.. Dire per quli R l funzione f() := sin( 3 ) + 3 è resente su tutto R.. Disporre le seguenti funzioni nel giusto orine rispetto ll relzione per + : 4 sin ( e ) } {{ } e log Trovre l prte priniple per ell funzione f() := Un punto P si muove on l legge orri P (t) := (os t, t 3 3πt ). Trovre tutti i tempi t in ui l elerzione i P è null (e se non ne esiste nessuno, speifirlo). 5. Clolre l erivt ell funzione f() := + t log( + / ) è finito. 7. Trovre l soluzione ell equzione ifferenzile ẋ = ( + ) t e t he soisf () =. 8. Disegnre l insieme ei punti (, y) nel pino rtesino le ui oorinte polri α, r soisfno π 4 α π 4 ; r. Prim prte, gruppo.. Dire per quli R l funzione f() := sin(3 3 ) + 3 è resente su tutto R.. Disporre le seguenti funzioni nel giusto orine rispetto ll relzione per + : 3 log 3 + e log. 3. Trovre l prte priniple per ell funzione f() := log( ) Un punto P si muove on l legge orri P (t) := (t 3 3t, os(πt)). Trovre tutti i tempi t in ui l elerzione i P è null (e se non ne esiste nessuno, speifirlo). 5. Clolre l erivt ell funzione f() := t 4. sin(/ ) 3 + è finito. 7. Trovre l soluzione ell equzione ifferenzile ẋ = ( + ) 4t e t he soisf () =. 8. Disegnre l insieme ei punti (, y) nel pino rtesino le ui oorinte polri α, r soisfno π 4 α 3π 4 ; r.

2 nlisi Mtemti I per Ingegneri Gestionle, Sritto el quinto ppello, 3 luglio 7 Testi Prim prte, gruppo 3.. Dire per quli R l funzione f() := sin(3 5 ) + 5 è resente su tutto R.. Disporre le seguenti funzioni nel giusto orine rispetto ll relzione per + : log log log. + log 3. Trovre l prte priniple per ell funzione f() := Un punto P si muove on l legge orri P (t) := (os(t), 4t 3 3πt ). Trovre tutti i tempi t in ui l elerzione i P è null (e se non ne esiste nessuno, speifirlo). 5. Clolre l erivt ell funzione f() := + t (e / ) è finito. 7. Trovre l soluzione ell equzione ifferenzile ẋ = ( + ) t e t he soisf () =. 8. Disegnre l insieme ei punti (, y) nel pino rtesino le ui oorinte polri α, r soisfno π 4 α π 4 ; r. Prim prte, gruppo 4.. Dire per quli R l funzione f() := sin(4 5 ) + 5 è resente su tutto R.. Disporre le seguenti funzioni nel giusto orine rispetto ll relzione per + : log( log ) log(log( )) } {{ } log(log ). log 3. Trovre l prte priniple per ell funzione f() := log( 4 ) Un punto P si muove on l legge orri P (t) := (t 3 t, sin(πt)). Trovre tutti i tempi t in ui l elerzione i P è null (e se non ne esiste nessuno, speifirlo). 5. Clolre l erivt ell funzione f() := t 6. 4 (e / ) + è finito. 7. Trovre l soluzione ell equzione ifferenzile ẋ = ( + ) 4t e t he soisf () =. 8. Disegnre l insieme ei punti (, y) nel pino rtesino le ui oorinte polri α, r soisfno π 4 α 3π 4 ; r.

3 nlisi Mtemti I per Ingegneri Gestionle, Sritto el quinto ppello, 3 luglio 7 Testi 3 Seon prte.. ) Dire se l isequzione log è soisftt per ogni > oppure no. ) Dire per quli R l isequzione log è soisftt per ogni >.. Determinre l vrire i > il omportmento ell integrle improprio π ( + os ). 3. Clolre il volume el solio V ottenuto feno ruotre un ironferenz i rggio r ttorno un rett T tngente ll ironferenz stess.

4 4 nlisi Mtemti I per Ingegneri Gestionle, Sritto el quinto ppello, 3 luglio 7 Soluzioni Prim prte, gruppo.. I vlori i erti sono quelli per ui l erivt f () := 3 ( os( 3 ) + ) è positiv per ogni R, vle ire.. L orine orretto è. 3. f() 4 per. 4. L elerzione è (t) := ( os t, t 6π); l seon omponente si nnull solo per t = π/, ove si nnull nhe l prim, e quini (t) = per t = π/. 5. f () = () 4. e quini è finito per <. 7. Si trtt i un equzione vriili seprili; l soluzione è (t) = tn ( (t )e t + ). 8. y Prim prte, gruppo.. I vlori i erti sono quelli per ui l erivt f () := 3 ( 3 os(3 3 ) + ) è positiv per ogni R, vle ire 3.. L orine orretto è. 3. f() 4 per. 4. L elerzione è (t) := (6t 6, os(πt)); l prim omponente si nnull solo per t =, ove però non si nnull l seon, e quini non esiste lun t per ui (t) =. 5. f () = (3) 4. +/ e quini è finito per > Si trtt i un equzione vriili seprili; l soluzione è (t) = tn ( e t ). 8. y

5 nlisi Mtemti I per Ingegneri Gestionle, Sritto el quinto ppello, 3 luglio 7 Soluzioni 5 Prim prte, gruppo 3.. I vlori i erti sono quelli per ui l erivt f () := 5 4( 3 os(3 5 ) + ) è positiv per ogni R, vle ire 3.. L orine orretto è. 3. f() 4 per. 4. L elerzione è (t) := ( 4 os(t), 4 t 6π); l seon omponente si nnull solo per t = π/4, ove si nnull nhe l prim, e quini (t) = per t = π/4. 5. f () = + + () 6. e quini è finito per <. 3 ( 7. Si trtt i un equzione vriili seprili; l soluzione è (t) = tn (t )e t + π ) y Prim prte, gruppo 4.. I vlori i erti sono quelli per ui l erivt f () := 5 4( 4 os(4 5 ) + ) è positiv per ogni R, vle ire 4.. L orine orretto è. 3. f() 8 per. 4. L elerzione è (t) := (6t, sin(πt)); l prim omponente si nnull solo per t = /3, ove però non si nnull l seon, e quini non esiste lun t per ui (t) =. 5. f () = (3) 6. e quini è finito per > Si trtt i un equzione vriili seprili; l soluzione è (t) = tn ( e t e ). 8. y

6 6 nlisi Mtemti I per Ingegneri Gestionle, Sritto el quinto ppello, 3 luglio 7 Soluzioni Seon prte.. Prtimo irettmente l punto ), i ui ) è un so prtiolre. Come prim os risrivo l isequzione ome log per ogni >, () e poneno f() := log ottengo he quest onizione equivle inf > f(). Per lolre l estremo inferiore ei vlori i f(), osservo he quest funzione è efinit e ontinu per ogni >, e stuino il segno ell erivt prim f () = = ottengo he f() erese per e rese per. Quini = è il punto i minimo ssoluto i f, e inf > f() = min f() = f() = 5, > ui segue he l () vle per 5. In prtiolre vle per = 4, e quini l rispost ll omn ) è ffermtiv.. L funzione integrn ( + os ) è efinit, ontinu e positiv nell intervllo (, π) m non è efinit gli estremi, e quini l integrle he oimo stuire è improprio in ±π, e mmette solo ue possiili omportmenti: è finito oppure vle +. Siome l funzione integrn è pri, ottengo inoltre π ( + os ) = ( + os ). Stuio l integrle ll estr ell ugule, he è improprio in, pplino il mio i vriile y = + π in moo rionurmi un integrle improprio in : ( + os ) = π ( + os(y π)) = ( os y) y. (nel terzo pssggio ho usto l ientità os(y π) = os y, mentre nel qurto ho usto il ftto he os y y / per y e il prinipio el onfronto sintotio). Metteno insieme le formule preeenti ottengo infine he l integrle i prtenz si omport ome y, e in prtiolre è finito per < /, e è + ltrimenti. 3. Per lolre il volume el solio V, integro le ree elle sezioni i questo solio ortogonli ll rett T. Per l preisione, fisso l sse elle in moo he oini on l rett T e he si il punto in ui T è tngente ll ironferenz i prtenz. C r r (r ) / rett T = sse r e r i sezione V Inio quini on P il pino ortogonle T he pss per, e osservo he l sezione V := V P è un oron irolre on rggio esterno r e e rggio interno r i ti r e = r + r, r i = r r.

7 nlisi Mtemti I per Ingegneri Gestionle, Sritto el quinto ppello, 3 luglio 7 Soluzioni 7 Pertnto l re i V è t re(v ) = πr e πr i = 4πr r e il volume i V è to r r volume(v ) = re(v ) = 4πr r = π r 3. r r (Nell ultimo pssggio ho usto he l integrle orrispone ll re ell semiironferenz i rggio r, e quini vle πr /.) Commenti Prim prte, eserizio. Diversi ei presenti hnno risposto inino ei vlori i he ipenono ; m l rispost ll omn se un funzione è resente o meno su tutto il ominio non ipene. Si trtt i un errore grve. Prim prte, eserizio 8. Pur trttnosi i un eserizio molto file, molti ei presenti hnno to risposte grvemente errte (os he ttriuiso un srs omprensione el signifito geometrio elle oorinte polri).