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1 La Sezione d urto Supponiamo di avere un fascio di particelle (protoni, elettroni, fotoni o qualsiasi altra particella) di ben definita energia che incide su un bersaglio (target). L intensità I di un fascio è definita come il numero di particelle che passano attraversano una sezione perpendicolare alla direzione del fascio nell unità di tempo. geometria di un apparato di conteggio

2 Le particelle emesse dal bersaglio entro un angolo solido infinitesimo dω attorno alla direzione ϑ,ϕ a seguito della reazione indotta dal fascio sono contate da un opportuno rivelatore. Il numero dn di particelle rivelate per unità di tempo è ovviamente proporzionale all intensità del fascio incidente, all angolo solido dω, al numero di centri diffusori del bersaglio per unità di volume n e allo spessore x del bersaglio stesso. dn I n x dω La costante di proporzionalità è indicata con σ(ϑ) o σ(ϑ,e) ed è chiamata sezione d urto differenziale: σ ( θ ) = dσ dω dn = I n x dσ dω dω

3 Il numero totale di particelle emesse per unità di tempo si ottiene integrando su tutto l angolo solido: N = 4π I n x dσ dω dω = I n x 4π dσ dω dω = I n x σ tot dove: σ tot = 4π dσ dω dω σ tot è chiamata sezione d urto totale (o semplicemente sezione d urto) della reazione: essa dipende ovviamente dal tipo di reazione e assai spesso dall energia del proiettile. La sezione d urto ha le dimensioni di un area e le unità di misura più usate sono il barn ed i suoi sottomultipli millibarn (mbarn) e microbarn (µbarn). 1 barn = cm 2.

4 Misura di sezioni d urto La misura delle sezioni d urto è importantissima in fisica nucleare, in quanto la sua conoscenza permette di risalire ai meccanismi dinamici della reazione e quindi alle interazioni nucleari. Proprio attraverso la misura delle sezioni d urto si ricavano quindi informazioni relative alle forze nucleari. La sezione d urto di un certo processo nucleare si deduce dalla misura del numero di eventi rivelati per unità di tempo da un appropriato rivelatore. Nota l intensità del fascio e le caratteristiche del bersaglio (essenzialmente il numero di centri diffusori indipendenti), è necessario conoscere l efficienza di rivelazione ε det che in genere consta di due fattori indipendenti: ε det = ε geom ε intr L efficienza geometrica del rivelatore ε geom è definita come la frazione di angolo solido totale (4π) coperta dal rivelatore.

5 Se la distanza d rivelatore-bersaglio è molto maggiore delle dimensioni del bersaglio, questo può essere considerato puntiforme e si ha: ε geom ΔΩ 4π = S 4πd 2, dove S rappresenta la sezione del rivelatore perpendicolare al bersaglio. Infatti, presa una sfera di raggio d e quindi di superficie 4πd 2, essa sottende un angolo solido pari a 4π rispetto al suo centro. Una porzione di sfera di superficie S sottenderà rispetto al centro un angolo solido proporzionalmente minore dato dalla seguente relazione: 4πd 2 4π = S ΔΩ, da cui appunto ΔΩ = S d 2 L efficienza intrinseca del rivelatore ε intr dipende dal tipo di particelle e dal materiale del rivelatore. Essa esprime la probabilità che una particella che incide nel volume sensibile del rivelatore venga da questo rivelata. Vedremo nel seguito, quando parleremo di interazione radiazione-materia e dei rivelatori, come è possibile valutarla nei casi più complicati di rivelazione di particelle neutre come fotoni e neutroni. Nel caso di particelle cariche invece essa praticamente vale: ε intr 1.

6 Supponiamo di far incidere un fascio di intensità I particelle al secondo su un bersaglio di spessore x contenente n centri diffusori (in genere nuclei, se siamo interessati a sezioni d urto di processi nucleari) per unità di volume e di rivelare i prodotti di reazione tramite un rivelatore di area S posizionato alla distanza d lungo la direzione ϑ,ϕ. Il numero R di eventi al secondo rivelati sarà dato da: R = I n x ε int r ( ) dω Se il numero di massa dei nuclei bersaglio è A e la densità del bersaglio è ρ, risulta: n = N Av A ρ. Pertanto si può scrivere: ΔΩ R = N Av A ρx I ε int r ΔΩ σ θ σ ( θ) dω Se σ(ϑ) è costante entro l angolo solido ΔΩ (condizione senz altro vera perché vogliamo misurare proprio σ(ϑ) ), possiamo scrivere: R = N Av A ρx I ε σ ( θ ) ΔΩ int r

7 da cui possiamo ricavare il valore della sezione d urto: σ ( θ) = RA N Av ρx I ε int r ΔΩ Nel caso particolare di sezione d urto isotropa, si avrà: σ tot = 4π dσ dω dω = dσ dω dω = 4π 4π dσ dω ossia: σ ( θ ) = dσ dω = σ tot 4π per ogni valore di ϑ. Le relazioni precedenti diventano: R = N Av A ρx I ε σ ( θ ) ΔΩ = N Av int r A ρx I ε σ int r tot σ tot = 4π R A N Av ρx I ΔΩ ε int r = ΔΩ 4π = N Av A ρx I σ tot ε int r ε geom R A N Av ρx I ε int r ε geom

8 Vediamo ora alcuni esempi. Esercizio 1 Calcolo dell angolo solido di un contatore quadrato di lato 5 cm posto a distanza di 50 cm dal bersaglio. Si ha: ΔΩ = 52 2 = 0.01 sterad. 50 Se il rivelatore ha invece forma circolare, sempre di raggio 5 cm e distanza 50 cm: ΔΩ = π = sterad.

9 Esercizio 2 Vediamo la reazione p Tl 210 Pb + n Troviamo il numero totale di neutroni emessi al secondo se la sezione d urto totale è σ tot = 50 µbarn, l intensità del fascio di protoni è I = protoni al secondo, ed il bersaglio ha uno spessore massico τ = ρ x = 100 mg/cm 2. Quando studieremo le interazioni delle radiazioni con la materia vedremo che gli spessori vengono misurati in g/cm 2 : si chiamano spessori massici e sono dati dal prodotto dello spessore lineare per la densità: τ = ρ x. Poiché siamo interessati al numero totale di neutroni emessi, l angolo solido da considerare sarà pari a 4π steradianti, equivalente a ε geom = 1. Inoltre prendiamo ovviamente ε intr = 1. Dalla formula: R = N Av A ρx I ε int r σ tot ΔΩ 4π = N Av A τ I σ tot sostituendo i valori numerici si ottiene: R = 0.7 neutroni/secondo = 42 neutroni/minuto

10 Esercizio 3 Studiamo ora la reazione γ + 12 C 11 B + p Supponiamo di avere un flusso di fotoni pari a Φ = 10 8 fotoni/cm 2 /s con una sezione del fascio pari ad a = 1 cm 2. Supponiamo di sapere che la sezione d urto del processo sia in prima approssimazione isotropa e valga σ(ϑ) = 1 µbarn/sterad. I protoni vengono contati da un rivelatore di raggio r = 5 cm posto alla distanza d = 100 cm dal bersaglio di 12 C che ha uno spessore x = 10-2 cm, una densità ρ = 2.2 g/cm 3, ed è di dimensioni maggiori del fascio. Si domanda quanti protoni vengono contati al secondo. R = N Av A ρx I ε σ ( θ ) ΔΩ int r

11 R = N Av A ρx I ε σ ( θ ) ΔΩ int r dove: A = 12 σ(ϑ) = cm 2 /sterad ΔΩ = πr2 d 2 = sterad I = Φ a = 10 8 fotoni/s ε intr = 1 sostituendo si ottiene: R = protoni al secondo = 3.1 protoni all ora. Nota: se le dimensioni del bersaglio fossero state minori delle dimensioni del fascio avremmo dovuto considerare la sezione del bersaglio e non quella del fascio per il calcolo dell intensità effettiva I. Infatti, ai fini delle interazioni, ha importanza solo la intersezione fascio-bersaglio: la parte di fascio e/o bersaglio che non si sovrappongono non ha alcun affetto.

12 Esercizio 4 Un fotone incidente su un bersaglio di idrogeno produce un mesone π + (di massa m = MeV/c 2 ) secondo la reazione: γ + p n + π + a) Trovare la soglia della reazione; b) Se il mesone ha una energia cinetica di 10 MeV ed è emesso a 90 rispetto alla direzione del fotone incidente, calcolare l energia del fotone; c) Calcolare l energia cinetica del neutrone e la sua direzione; d) Avendo a disposizione un fascio di intensità I = fotoni/secondo, un bersaglio di spessore τ = 0.8 g/cm 2, un rivelatori di pioni di dimensioni 15x15 cm 2 posto a distanza d = 150 cm dal bersaglio, valutare il numero di pioni rivelati al secondo se la sezione d urto del processo è σ tot = 0.1 µbarn/sterad.

13 γ + p n + π + P n p γ = E γ y p π z la cinematica della reazione γ + p n + π Q = m p m n - m π = -141 MeV T thr = ( m n + m ) 2 2 π m p 2m p = MeV

14 Per calcolare l energia del fotone scriviamo la reazione in termini di 4-vettori. ( ) p γ + p 2 p = ( p n + p ) 2 π Poichè il protone è in quiete e p n = p γ + p p p π, si ottiene: m p 2 + 2E γ m p = m n 2 + m π 2 + 2p π p n = m n 2 + m π 2 + 2p π ( ) p γ + p p p π Sviluppando i prodotti di 4-vettori, poiché l angolo tra il π ed il fotone è 90 il termine con il prodotto scalare scompare. m p 2 + 2E γ m p = m n 2 m π 2 + 2E π E γ + 2E π m p Dove E π = T π + m π = MeV

15 svolgendo i conti si ricava: E γ = m p 2 + m π 2 m n 2 2E π m p ( ) 2 E π m = MeV p la quantità di moto del pione è : p = T ( T + 2m ) π π π π = MeV e per la conservazione della quantità di moto sarà: p n = p π = MeV p n = p γ = E γ = 167 MeV p n = (p n 2 + p n 2 ) 2 = 175 MeV T n 2 p n 2m = 15.4 MeV n la direzione è data da: ϕ = atan(p n /p n ) = 17.9 Infine: R = N Av A ρx I ε σ ( θ ) ΔΩ int r = 36 s -1

16 Esercizio 5 Quando il nuclide 197 Au è bombardato con deutoni ha luogo la reazione: d Au p Au ( 2.7d) β 198 Hg La sezione d urto totale della reazione è σ tot = 1 mbarn L 198 Au è instabile e decade β - in 197 Hg con un tempo di dimezzamento di 2.7 giorni.

17 In prima approssimazione esso emette un unico spettro beta seguito da fotoni da MeV.

18 a) Trovare la soglia della reazione; b) Calcolare l energia massima dei beta emessi; c) Supponendo di avere un fascio di deutoni di intensità I = 10 7 s -1, un bersaglio di 197 Au di spessore τ = 10 mg/cm 2, valutare il conteggio di protoni che si ha su un rivelatore di superficie S = 10 cm 2 posto alla distanza d = 10 cm dal bersaglio; d) Valutare il numero di nuclei di 198 Au presenti nel bersaglio dopo un tempo di irraggiamento di 80 ore; e) Supponendo di contare la radiazione beta con un rivelatore che sottende un angolo ΔΩ = 1 sterad, valutare il rateo di conteggio atteso immediatamente dopo la fine dell irraggiamento. Soluzione:

19 a) Q = m d + m( 197 Au) m p m( 198 Au) = 4.28 MeV Le reazione è quindi endotermica e pertanto T thresh = 0 b) Poichè la transizione beta finisce sullo stato eccitato del 198 Hg: E β max = m( 198 Au) - [ m( 198 Hg) ] = MeV T β max = E β max m e = MeV c) Dalla geometria si ricava : ΔΩ = S/d 2 = 0.1 sterad R = N Av A ρx I ε int r σ tot ΔΩ 4π = s -1. c) Per valutare il numero di nuclei presenti nel bersaglio dopo un certo tempo bisogna fare il bilancio tra il processo di formazione ed il processo di decadimento.

20 dn( t) dt = r λ n( t) dove λ è la costante di decadimento beta del nucleo 198 Au che vale: λ = ln = s -1 r invece rappresenta la velocità di formazione del nucleo 198 Au, che dipende dalla sezione d urto, dalla intensità del fascio e dallo spessore massico del bersaglio. Si può quindi usare la stessa formula che fornisce il rateo di produzione R, avendo posto ΔΩ=4π e ε intr = 1: r = N Av A τ I σ tot = 0.3 s -1 Nel bersaglio si formano quindi 0.3 nuclei di 198 Au per secondo e se questo nucleo fosse stabile la sua quantità crescerebbe linearmente con il tempo.

21 Dobbiamo però tenere conto del processo di decadimento e risolvere l equazione differenziale: dn( t) dt = r λ n( t) dove n(t) indica il numero di nuclei di 198 Au presenti nel bersaglio al tempo t. Risolvendo l equazione differenziale e utilizzando la condizione iniziale: n(t=0) = 0, si ricava: n( t) = r ( λ 1 ) e λt La curva è un esponenziale crescente che tende al valore asintotico r/λ per t. In pratica, dopo un tempo t 3τ =3/λ non si ha più alcun incremento significativo della attività della sorgente essendo ormai prossimi alla regione asintotica. Sostituendo t = = s si ottiene:

22 ( ) 10 5 (1 0.42) n = e dopo 80 ore di irraggiamento sono presenti nel bersaglio nuclei di 198 Au. Da quando cessa l irraggiamento il bersaglio decade con la solita legge esponenziale: ( ) = n 0 e λt n t dove n 0 = e t è il tempo misurato a partire dalla fine dell irraggiamento. L attività del campione è data da: a ( t) = dn( t) dt = n 0 λ e λt e l attività iniziale è quindi: a 0 = n 0 λ = 0.18 s -1 Le particelle beta vengono emesse isotropicamente dal bersaglio e se si trascurano effetti di autoassorbimento delle radiazioni nel bersaglio stesso, in prima approssimazione il rateo di conteggio sul rivelatore di particelle beta è dato da: R = a ΔΩ 4π = s -1.

23 Esercizio 6 Protoni di energia cinetica 40 MeV vengono diffusi da nuclei di 12 C. Calcolare l energia cinetica del protone dopo l urto quando questo viene deviato di un angolo pari a 30 rispetto alla direzione di moto iniziale se: 1) il 12 C è lasciato nel suo stato fondamentale (urto elastico); 2) il 12 C dopo l urto è lasciato nello stato eccitato a 4.43 MeV (urto anelastico). Vediamo il primo caso. Si tratta di uno scattering elastico, quindi: a + X a + X La formula esatta è data dalla seguente espressione: T' a = m a T a cos θ ± T ( a m 2 x m 2 a sin 2 θ) m x + m a

24 In particolare, se a è un nucleone ed x un nucleo, si può scrivere: m a = m N e m x A m N T' N = T N cos θ ± T ( N A 2 sin 2 θ) A + 1 avendo sostituito A al rapporto m x /m a (in realtà A =12, mentre m x /m a = 12.01: stiamo così commettendo un errore del 7.5 per mille, del tutto trascurabile per gli scopi che ci prefiggiamo). Quadrando si ottiene: T' N = T N cos θ + A 2 sin 2 θ ( A + 1) 2 2 e sostituendo i valori numerici troviamo. T N = MeV

25 Poiche, trattandosi di uno scattering elastico, Q = 0, abbiamo che il nucleo 12 C rincula con una energia cinetica T A = = 0.88 MeV. Se vogliamo sapere in quale direzione esso rincula, possiamo usare la conservazione della quantità di moto e fare un calcolo non relativistico. Supponiamo che il protone si muova inizialmente lungo l asse z, e che la reazione avvenga nel piano xz. Se indichiamo con p la quantità di moto del protone e con P quella del nucleo 12 C, dovrà essere: p = p + P, che proiettata sugli assi x e z fornisce: p = p z + P z 0 = p x + P x P x = p x dove: p = 2m p T p = MeV/c 2 p z = p cosϑ = MeV/c 2 p x = p sinϑ = MeV/c 2 pertanto P x = -p x = MeV/c 2 P z = p - p z = MeV/c 2 L angolo ϕ di rinculo del nucleo risulta: ϕ = atan (P x /P z ) = Il segno meno indica che il nucleo di 12 C rincula nel semipiano xz opposto a quello del protone.

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28 Vediamo il secondo caso. Adesso lo scattering è anelastico, e quindi le reazione è del tipo: a + X a + Y dove X rappresenta il 12 C prima dell urto ed Y il 12 C dopo l urto. Le masse sono infatti diverse: la massa del 12 C dopo l urto è la sua massa a riposo aumentata dell energia di eccitazione di 4.43 MeV. Dobbiamo usare la formula completa: T b = m a m b T a cos θ ± m a m b T a cos 2 θ + m y + m b m y + m b ( ) m Q + ( m m ) T y y a a che per m b = m a diventa: T' a = m a T a cos θ ± m a 2 T a cos 2 θ + m y + m a ( ) m Q + ( m m ) T y y a a m y + m a

29 Q = m a + m x - m a - m y = ma + m x - m a - (m x ) = MeV Q ovviamente coincide con l energia del livello eccitato cambiata di segno: m a = MeV T a = 40 MeV m y = m( 12 C) Q = = MeV cosϑ = Sostituendo i valori numerici si trova: T a = T N = MeV In pratica questo valore è il valore calcolato per l urto elastico diminuito dell energia dello stato eccitato: questo è dovuto al fatto che i 4.43 MeV di energia di eccitazione sono trascurabili rispetto alla massa del 12 C.

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