SOLUZIONI GARA DI MATEMATICA ON-LINE (9/10/2017)

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1 SOLUZIONI GARA DI MATEMATICA ON-LINE (9/10/017) 1. INSONNIA [04] L operzione richiest equivle sommre 01 volte 017 messo in colonn e spostto sempre di un csell come in figur. Nell prte finle del numero vremo 7 come cifr delle unità, come cifr delle decine e delle centini, 0 come cifr delle miglii ed un riporto di 1. Nell prte centrle vremo sempre somm e quindi vremo sempre 1 con un riporto di 1. Nell prte inizile del numero vremo d un certo punto , senz riporti, 0 e. Il numero srà quindi L somm delle cifre è cifre BUONGIORNO LUPO ALBERTO [] Se l vsc h cpcità c il rubinetto dell cqu cld h un portt di 6 c, quello dell cqu fredd di c c e lo scrico di. L vsc si riempirà in un tempo t che deve verificre l equzione 1 c c c c t t t che semplifict per c divent t 4 4 cioè t min 60sec sec.. IL GRANAIO [1] Semplifichimo il problem sclndo tutti i vlori di 1 ed eliminndo il primo piolo che viene clpestto d tutti e tre i personggi. Così fcendo il primo clpest i pioli pri, il secondo i multipli di e il terzo i multipli di 4 Tutti e tre clpestno i multipli di 1 che sono 6:1. Il primo e il secondo clpestno 6: 6 10 pioli, il primo e il terzo ne clpestno 6: 4 1 e il secondo con il terzo ne clpestno 6:1. Il totle dei pioli clpestti solmente d due personggi è (10 ) (1 ) ( ) IL NUOVO CODICE [97] Il nuovo codice è il risultto di n. Or le potenze quinte mntengono tutte l ultim cifr e quindi il numero n deve vere 7 come cifr delle unità. Siccome 10 h sei cifre l unic soluzione possibile è che h proprio sette cifre.. CALCOLO ENIGMATICO [71] Sostituimo b 9 nell prim equzione: 9 (9 ) che possimo riscrivere 9 9, cioè, dividendo per Riscrivendo l ultim equzione ottenimo 9, cioè 9, d cui : DISTRARRE MOSÈ [070] Cerchimo e b tli che 017 b. Siccome possimo procedere per tenttivi ritroso fino trovre i qudrti cercti. Si osserv che Cerchimo c e d tli che 017 c d ( c d)( c d). Siccome 017 è un numero primo, deve cd 1 ccdere che l cui soluzione è c 1009 e d 100. c d 017 L somm richiest vle

2 7. LO SCOPONE SCIENTIFICO [197] P("niente denri") SIAMO ALLE SOLITE [1] M +0 B E A Se EAM ˆ, MEA ˆ 0 e quindi EMA ˆ 10 (0 ) 10. Gli ngoli ll bse del tringolo isoscele MEB misurno 10 (10 ) 1 e quindi l ngolo BEA ˆ 0 ( 1 ) DISEGNI MODERNI [96] Osservimo che per come sono costruiti tutti i perimetri con indice dispri sono perimetri di rettngoli e 1 che pi pi. L stess cos ccde per i perimetri con indice pri che sono perimetri di rombi p1 p p... ( p1 p p...) ( p p4 p6...) p1 p1 p1... p p p... = p1 p 1... p1 p Or p1 (96 ) 4 cm mentre p cm. p p cm. Il risultto cercto è L ENIGMA DELLO SCORSO ANNO [14] Siccome 016 è divisibile per 4, nche il termine c lo deve essere e quindi c. L equzione divent 4 1b cioè b 04. Or 04 è divisibile per e quindi nche deve esserlo. Si y. L equzione divent y b 04 cioè Osservimo che possibili. L soluzione del problem è y b , quindi 1 1. Inoltre, fissto n l somm y b n h n 1 coppie 11 (16 i 1) (167 i ) i i1 i1 i1

3 11. ALGEBRA A TRADIMENTO [0] y b b y Sottrimo dll prim l second e dll second l terz: c c y b b ( b)( b b ) ( b) che possimo nche scrivere fttorizzndo. b c b c ( b c)( b bc c ) ( b c) Dll ipotesi b e b c gudgnimo l possibilità di semplificre le due equzioni dividendo l prim per b e l second per b c: b b Confrontndo le ottenute nelle due equzioni si ottiene b b b bc c b bc c che possimo nche riscrivere come c bc b che fttorizzt divent ( c)( c) b( c) d cui ottenimo c b semplificndo per c visto che c. L soluzione è b c KRUG E GLI SCACCHI [4] Osservimo che con due mosse si riesce percorrere l digonle dell sccchier vvicinndosi di tre cselle ll met (figur sinistr). In questo modo, però non si riesce rggiungere l csell oppost in qunto (00 1) 1mod Possimo però modificre l prte finle del percorso in modo d gudgnre due cselle in orizzontle e due in verticle per rggiungere l csell d ngolo. In totle mosse. utilizzimo IL CAMPO DI CAROTE [000] Costruendo l circonferenz circoscritt l tringolo, si not che l bisettrice dell ngolo retto, formndo due corde di ugule lunghezz, deve pssre sempre per il centro del qudrto costruito sull ipotenus. Il qudrto risult sempre diviso in due prti uguli di re A 000 m 14. VITA DA LUPO [7] Mrt h visto un Test sull monet estrtt e quindi l monet scelt può essere un delle 1 monete regolri oppure un delle che h inserito lei vist d un delle due fcce. 1 P( T C) P("l monet h un test e un croce") L probbilità che esc un croce è quindi P( C) P( T C). 4

4 1. IL NUOVO RECINTO [11] Considerimo solo un terzo dell figur e risolvimo il problem in mnier generle. Sino e b i lti dell esgono e e gli ngoli che i lti formno con i rispettivi rggi. Siccome gli ngoli interni dell esgono risultno essere tutti uguli d, ccde che 10. Per il primo teorem dei tringoli rettngoli pplicto ciscun tringolo ccde che cos e b cos d cui ottenimo cos e b cos. Or: cos(10 ) cos. Applicndo l formul di sottrzione del coseno divent: cos10cos sen10sen cos. b Siccome 1 4, sostituendo le informzioni nell equzione sen 1 cos precedente, ottenimo: 1 4 b che semplifict divent 4 b. Elevndo l qudrto ottenimo (4 ) 4b 4b, cioè 1 4 4b 4b b b b b. Nel nostro cso: , PROBLEMI IN FAMIGLIA [] Dividimo il problem in 4 csi: y= y=4 y 0 y 0 y 0 y 0 y=+4 y 4 y 4 y 4 y 4 y=-4 Cioè y y y y y=-4 y 4 y 4 y 4 y 4 Grficmente l equzione corrisponde d un prllelogrmm di bse 4 e ltezz l cui re vle A 4.

5 17. TORRI IN PERICOLO [69] Osservimo che posizionte due torri sull stess rig, non potremo più mettere nessun pezzo né sull rig né sulle due colonne in qunto un pezzo srebbe minccito d ltri due, contro i vincoli del problem. Procedendo posizionre due torri su un rig e poi due torri su un colonn, vremo utilizzte righe e tre colonne per 4 pezzi (vedi esempio lto). L sccchier ci permette di rrivre con quest strtegi fino riempire 016 righe e 016 colonne. Rest un sol csell dove possimo mettere un sol torre. In totle vremo torri. 1. COMPITI PER CASA [1] A B D O F E Si l ngolo ADE ˆ. Osservndo che i tringoli BOD e BOA sono isosceli si può scrivere DOE ˆ equzione che port trovre FIDANZAMENTO MATEMATICO [10] pq 1 Sostituimo p q nell second equzione ed ottenimo pq. Esplicitimo l p in funzione dell q : p q pq 1 pq p q 1 p( q ) q 1 q1 ( q ) p dove nell ultimo pssggio bbimo eseguito l divisione tr il q q q numertore e il denomintore dell frzione trovt. Affinché p si intero, deve ccdere che nche lo si, cos che ccde solo per q 7, q q 1 q e q. Scrtti gli ultimi due csi, ottenimo le due possibili soluzioni q 7 p e quell simmetric. Il vlore cercto è ATTENTI AL CANE [06] Immginimo di ver fissto un vertice del tringolo. I restnti vertici... rimngono divisi dll sse di simmetri del poligono pssnte per quel vertice in due prti, 11 ll su destr e ltrettnti ll su sinistr. Sceglimo il k -esimo vertice destr (1k 11) e trccimo l sse di simmetri del poligono pssnte per questo vertice (vedi figur lto). Tr le due ssi di simmetri ci sono k vertici possibile per formre un tringolo 11 k 111 cutngolo. Per ogni fissto vertice bbimo quindi k 66 possibili k1 tringoli L soluzione del problem è dove bbimo dovuto dividere per in qunto l vrire del primo vertice ogni tringolo viene contto volte. k