Rette e piani nello spazio

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1 Rette e piani nello spazio Equazioni parametriche di una retta in R 3 : x(t) = x 0 + at r(t) : y(t) = y 0 + bt t R, parametro z(t) = z 0 + ct ovvero r(t) : X(t) = P 0 + vt, t R}, dove: P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) punto base, v = (a, b, c) vettore direzione, r(t) = (x(t), y(t), z(t)) generico punto sulla retta passante per P 0 e avente direzione v. Esempio: equazioni della retta passante per due punti dati A = (1, 2, 3) e B = (1, 1, 1): Scelgo A o B come punto base e B A oppure A B come direzione (il vettore differenza di due vettori giace sulla diagonale del parallelogramma che congiunge i due vertici A e B). Quindi: x(t) = x A + (x B x A )t = 1 + t r(t) : y(t) = y A + (y B y A )t = 2 t z(t) = z A + (z B z A )t = 3 2t. Posizione reciproca di due rette: Le due rette: r(t) = P 0 + vt, s(u) = Q 0 + wu sono PARALLELE v w λ 0 tale che v = λw; sono INCIDENTI P = r s}; - sono ORTOGONALI se, inoltre, v w v w = 0; sono SGHEMBE se non sono né incidenti né parallele. Esercizio. a. Dare le eq. parametriche della retta r passante per P = (1, 1, 1), ortogonale alla retta x(t) = 2 + t s(t) : y(t) = 2 + 2t z(t) = 2 + 3t 1

2 e parallela alla retta x(u) = 1 18u t(u) : y(u) = 6u z(u) = 2u. b. Stessa richiesta, ma t : x + 3y = 0}, retta nel piano xy. Soluzione. a. Ogni retta passante per P ha equazioni parametriche: x = 1 + as r(s) : y = 1 + bs z = 1 + cs Inoltre deve essere: r s (a, b, c) (1, 2, 3) a + 2b + 3c = 0 r t (a, b, c) ( 18, 6, 2) λ 0 tale che (a, b, c) = λ( 18, 6, 2). Si ottiene il sistema: a + 2b + 3c = 0 a = 18λ b = 6λ c = 2λ Sostituendo le ultime tre nella prima equazione si ha: 18λ + 2(6λ) + 3(2λ) = 0, identitá vera per ogni λ R: il sistema é vero λ. Scegliendo, ad esempio, λ = 1 2, abbiamo la soluzione (a, b, c) = ( 9, 3, 1), vettore direzione della retta cercata. b. La retta t ha equazioni: x = s t(s) : y = 1 3 s z = 0(perché sta nel piano xy) Procedendo come in a. si ottiene il sistema: a + 2b + 3c = 0 a = λ b = λ 3 c = 0λ da cui l equazione λ 2 3λ = 0, falsa per qualsiasi valore non nullo di λ. Il sistema é impossibile: non esiste alcuna retta r parallela a t e perpendicolare ad S. 2

3 Esercizio. a. Trovare le equazioni parametriche della retta incidente e perpendicolare ad entrambe le rette: x = 1 r(t) : y = 0 z = t x = u ; s(u) : y = 2u z = 2u Soluzione. Incidenza: prendo il generico punto P = (1, 0, τ) r e il generico punto Q = (σ, 2σ, 2σ) s. Considero la retta per P e Q: X(s) = P + (Q P )s: Ortogonalitá: da cui il sistema: t(s) : x = 1 + (σ 1)s y = 2σs z = τ + (2σ τ)s. t r Q P (0, 0, 1) t s Q P (1, 2, 2), 2σ τ = 0 (σ 1) + 4σ + 2(2σ τ) = 0 la cui soluzione é (τ, σ) = ( 2 5, 1 5 ). Perció: x = s t(s) : y = 2 5 s z = 2 5. b. Qual é la distanza tra r ed s? d(r, s) = il piú breve segmento che congiunge la due rette = tratto della retta congiungente ortogonale ad entrambe = d(p, Q). Poiché abbiamo: P = (1, 0, τ) = (1, 0, 2 5 ) Q = (σ, 2σ, 2σ) = ( 1 5, 2 5, 2 5 ), possiamo calcolare d(p, Q) = (1 1 5 )2 + ( 2 5 ) =

4 Equazioni parametriche di un piano in R 3 : Le equazioni parametriche di un piano Π = X = P + Qt + Rs}, ovvero: x(t, s) = x P + x Q t + x R s Π(t, s) : y(t, s) = y P + y Q t + y R s, t, s R, parametri z(t, s) = z P + z Q t + z R s rappresentano il generico punto X(t, s) che appartiene al piano contenente il punto P e individuato dalle due direzioni dei vettori Q ed R. Esempio. Equazioni parametriche del piano passante per tre punti dati A = (2, 1, 0), B = (3, 0, 0) e C = (0, 0, 1). Scelgo A (uno dei tre punti) come punto sul piano; le due direzioni che lo individuano saranno le differenze B A e C A. Le equazioni sono: X(t, s) = A + (B A)t + (C A)s, ovvero: x(t, s) = 2 + t 2s Π(t, s) : y(t, s) = 1 + t s z(t, s) = s. Equazione cartesiana di un piano: dove X N = P N, che equivale, in componenti, a ax + by + cz = d, X = (x, y, z) generico punto del piano; N = (a, b, c) vettore normale al piano; P punto dato del piano, tale che d = P N. Esempio. Equazione cartesiana del piano per i tre punti A, B, C di prima. Bisogna determinare i coefficienti a, b, c, d dell equazione: ax + by + cz = d imponendo il passaggio per i tre punti dati: 2a + b = d 3a = d c = d. Si ottiene la soluzione, dipendente da una delle quattro incognite: b = a c = 3a d = 3a, 4

5 da cui, scegliendo ad esempio a = 1, si ricavano i coefficienti dell equazione voluta: x + y + 3z = 3. Esercizio. Trovare l equazione cartesiana del piano assiale del segmento AB, con A = (1, 0, 1) e B = (2, 2, 0). Il piano assiale del segmento é quello che ne contiene gli assi, cioé le rette perpendicolari ad AB e passanti per M, punto medio del segmento. Quindi sará il piano contenente il punto M = ( 3 2, 1, 1 2 ) e ortogonale ad AB, dunque con vettore normale N = B A = (1, 2, 1). L equazione cartesiana X N = M N risulta: x + 2y z = = 3. Posizione reciproca di due piani: I due piani Π 1 : X N 1 = P 1 N 1, Π 2 : X N 2 = P 2 N 2 sono paralleli N 1 N 2 λ 0 tale che N 1 = λn 2 ; sono ortogonali N 1 N 2 N 1 N 2 = 0. Esercizio. Scrivere l equazione cartesiana del piano contenente la retta x = 2 t r : y = 3 + 6t z = 2 6t e ortogonale al piano Π : (x, y, z) R 3 : x + y + z = 0. Soluzione. Cerco un equazione della forma: ax + by + cz = d. Devo imporre le due proprietá: 1. ortogonalitá: (a, b, c) (1, 1, 1); 2. r Π: - primo modo: trovo due punti su r (dando arbitrariamente due valori al parametro) e impongo il passaggio del piano per quei due punti; 5

6 - secondo modo: impongo che il generico punto (2 t, 3+6t, 2 6t) r soddisfi l equazione del piano t R: a(2 t) + b(3 + 6t) + c(2 6t) = d t R. Procedendo con il secondo modo, si trova l uguaglianza tra polinomi nella variabile t: ( a + 6b 6c)t + (2a + 3b + 2c) = d, che, per il principio di identitá dei polinomi, risulta verificata indipendentemente dal valore di t se e soltanto se coincidono tutti i coefficienti dei termini di ugual grado, in questo caso quelli di grado uno e zero. Mettendo a sistema le due equazioni cosí ottenute con quella che traduce la condizione di ortogonalitá, abbiamo: a + b + c = 0 a + 6b 6c = 0 (coefficienti di primo grado) 2a + 3b + 2c = d (coefficienti di grado zero) Dal sistema si ottiene, ad esempio, la famiglia di soluzioni: 5 b = 7 c a = 12 7 c 5 d = 7 c Dando arbitrariamente un valore a c, per esempio scegliendo c = 7, si trova l equazione del piano cercato: 12x 5y 7z + 5 = 0. Sistemi lineari L equazione cartesiana di una retta é il sistema lineare corrispondente all intersezione di due piani: ax + by + cz = d r : a x + b y + c z = d Esercizio. Data la retta in forma cartesiana y x + 2z 1 = 0 r : 2y + x + z = 0 a. trovare le equazioni parametriche di r; b. determinare l equazione cartesiana del piano Π r passante per P = (1, 0, 2); c. calcolare la distanza tra il punto P e la retta r. 6

7 Soluzione. a. Risolvo il sistema rispetto ad una delle tre incognite, che diventerá il parametro. Come scelgo l incognita che rimarrá libera? Per esempio, usando il Metodo di riduzione a scala di Gauss; scrivo la matrice associata al sistema, disponendo su ogni colonna i coefficienti della stessa incognita, sempre nello stesso ordine x, y, z, e nell ultima colonna riporto i termini noti (ad ogni riga corrisponde un equazione del sistema): [ Operando sulle righe tramite le due operazioni consentite, che sono: - moltiplicazione della per uno scalare; - somma (algebrica) di due righe, ottengo (ad esempio sostituendo alla seconda riga la somma delle due): [ che é una matrice a scala, cioé una matrice in cui il primo coefficiente non nullo di ogni riga (pivot) ha sotto di sé soltanto elementi nulli. La variabile z, priva di pivot, rimane libera: posso sceglierla come parametro z = t ed ottenere le equazioni cercate, ritornando dalla matrice al sistema: x = t r : y = 1 3 t z = t b. Π r N direzione di r. Possiamo scegliere N = (1, 1, 1). L equazione del piano cercata, data da X N = P N, risulta: x y + z = 3. c. Se H = r Π, allora la distanza tra retta e punto coincide con la lunghezza del segmento P H. Per trovare il punto H imponiamo il passaggio della retta per il piano, sostituendo le componenti del generico punto r(t) nell equazione del piano: (t 2 3 ) (1 t) + t = 3, 3 che ha come soluzione t = 4 3. Quindi H = r( 4 3 ) = ( 2 3, 1, 4 3 ), e HP = ] ] 7

8 Esercizio. Trovare il punto Q simmetrico di P = (4, 0, 16) rispetto alla retta x + y 3z = 8 r : 3x y + 2z = 0. Soluzione 1. trovo il piano Π tale che P Π ed r Π, procedendo come nell esercizio precedente. Le equazioni parametriche di r sono: x = t r : y = 11t 16 z = 4t 8, pertanto posso scegliere come vettore normale al piano N = (1, 11, 4), ottenendo l equazione x + 11y + 4z = 68; 2. il punto H = Π r = M é il punto medio del segmento P Q. Procedendo come nell esercizio precedente, si trova che H = r(2) = (2, 6, 0). Poiché il punto Q cercato soddisfa le relazioni P +Q 2 = H, le sue componenti sono Q = (0, 12, 16). Esercizio. Verificare che le due rette r : 2x z = 0 y z = 0 sono sghembe. e s : x + y + z 1 = 0 3x + 2z = 0 Soluzione. Trovo le equazioni parametriche di entrambe le rette, usando per esempio l algoritmo di Gauss: [ ] r : Posso scegliere z = t come variabile libera, e ottengo r(t) = ( t 2, t, t). Analogamente: [ ] s : Scambiando le prime due colonne - che equivale a riscrivere le equazioni commutando i termini in x con quelli in y - trovo ancora z come variabile senza pivot, perció s(u) = ( 2 3 u, 1 u 3, u). 8

9 Le due rette sono sghembe se non sono né incidenti né parallele. Non sono incidenti: un eventuale intersezione sarebbe la soluzione del sistema r(t) = s(u): r s : t 2 = 2 3 u t = 1 u 3 t = u sistema lineare di tre equazioni nelle due incognite s, u. Con Gauss abbiamo: Procedendo, ad esempio, con le operazioni sulle righe: R 2 2R 1 al posto della seconda riga e R 3 R 2 al posto della terza, abbiamo: in cui le ultime due righe danno le due equazioni s = 1 e s = 3 4 : il sistema risulta impossibile. Pertanto le due rette non hanno punti in comune. Non sono nemmeno parallele, poiché, se lo fossero, dovrebbero essere paralleli i loro vettori direzione; ma il sistema non ammette alcuna soluzione. ( 1 2, 1, 1) = λ( 2 3, 1 3, 1) Esercizio. Trovare, se esiste, l intersezione dei tre piani: x + 2y z = 0 2x y + z = 3 x + 3y + z = 2 Soluzione. Risolviamo il sistema con l algoritmo di Gauss: Tramite oppportune operazioni sulle righe, si puó pervenire alla forma a scala: da cui la soluzione (x, y, z) = (1, 0, 1), che rappresenta l intersezione comune ai tre piani. 9

10 Esercizio. Per quali h R esiste l intersezione dei piani x + z = 2h y = h x + 2y + z = 0 e che cosa rappresenta geometricamente? Soluzione. Riduciamo a scala il sistema con l algoritmo di Gauss: h h Poiché si ha R 3 = R 1 + 2R 2, la matrice diventa: h h La variabile z, senza pivot, rimane libera, e puó essere scelta come parametro per rappresentare le infinite soluzioni del sistema, dipendenti ancora dal parametro h: x = 2h + t y = h z = t che rappresentano, per ogni valore di h R, le equazioni parametriche di una retta passante per il punto ( 2h, h, 0) e avente direzione (1, 0, 1). Esercizio. Stabilire se esiste l intersezione tra i piani x + y + 2z = 3 2x y + z = 0 x + 4y + 5z = 6 Soluzione. La matrice associata al sistema risulta: che puó essere ricondotta alla forma a scala:

11 che equivale al sistema impossibile: x + y + 2z = 3 y + z = 2 0z = 1 (equazione impossibile) Pertanto non esiste alcuna intersezione: i tre piani potrebbero intersecarsi a due a due (a meno che non siano paralleli: verificare che non lo sono!), ma non c é alcun punto comune a tutti e tre. 11

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