Università di Foggia - Facoltà di Economia. Prova scritta di Matematica Generale - Vecchio Ordinamento - 04 giugno 2002

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1 Università di Foggia - Facoltà di Economia Prova scritta di Matematica Generale - Vecchio Ordinamento - 04 giugno 00 Cognome e nome Numero di matricola Per lo svolgimento di questa prova è concesso un tempo massimo di tre ore. Discutere, al variare di α R, l integrabilità di: + x 1 x α x dx. 3 Calcolarlo per α = 3. La funzione integranda è continua in [3, + ] e infinitesima di ordine α 1 per x + quindi integrabile in [3, + [ per α >. Se α = 3 si ha: + x 1 x 3 x dx. Dalla scomposizione 3 x 1 x 3 x = A x + B x C x 1 si ottiene A = 1, B = 3 e C = 1. Applicando i risulati ottenuti si ha: k x 1 lim k + 3 x 3 x dx = ln ln Determinare, al variare del parametro λ R, il numero delle soluzioni (reali) dell equazione: x log x = λ. e determinare un approssimazione della soluzione dell equazione per λ = 1, nell intervallo [ 3, 5 ] con un errore ε < Dal grafico delle funzioni f(x) = x log x e g(x) = λ risulta che il numero di soluzioni dell equazione f(x) = g(x) dipende da λ secondo la seguente tabella:

2 λ numero di soluzioni λ > 4 1 e λ = 4 e 0 < λ < 4 3 e λ = 0 λ < 0 0 Se λ = 1, sia h(x) = f(x) g(x), applichiamo il metodo delle bisezioni all intervallo [ 3, 5 ], essendo h( 3)h( 5) < 0. E possibile costruire due successione (a n) n N e (b n ) n N di numeri reali che approssimano rispettivamente per difetto e per eccesso la radice reale x 0. Sia c n = (a n + b n )/. Poiché si richiede una precisione di ɛ = 1 occorre determinare n in modo tale che 10 x 0 c n < c n a n = a n + b n pertanto si può scegliere n = 3. a n = b n a n = b a ɛ da cui n+1 n+1 b a ɛ quindi x = n a n b n c n h(a n ) h(b n ) h(c n ) < 0 > 0 < < 0 > 0 > < 0 > 0 > è una radice approssimata con la precisione di ε.

3 Studiare la seguente funzione: x f(x) = e 5x x 5x+6 Insieme di definizione: D = R f(x) > 0 x D f(x) = f(x) < Intervalli in cui il grafico di f è al di sopra dell asse delle x: ], + [ Punti comuni al grafico ed agli assi coordinati: (0, e 6 ) Intervalli in cui il grafico di f è al di sotto dell asse delle x: Limiti significativi per f: lim x ± f(x) = 0 Equazione degli asintoti del grafico di f: y = 0 asintoto orizzontale dx e sx. f (x) = xe 6+x se x ], 3[ e f (x) = (10 x)e x +10x 6 se x ], [ ]3, + [ f (x) > 0 x ], [ ], 3[ ]3, 5[ f (x) = 0 x = f (x) < 0 x ]5, + [ Punti angolosi o cuspidali per il grafico di f: x =, 3 punti angolosi Intervalli in cui f è strettamente crescente: ], 5[ Intervalli in cui f è strettamente descrescente: ]5, + [ Punti di minimo o di massimo relativo per f: x = 5 massimo Punti di minimo o di massimo assoluti per f: x = 5 massimo f (x) = (1 + x )e 6+x se x ], 3[ e f (x) = (x 0x + 49)e x +10x 6 se x ], [ ]3, + [ f (x) > 0 x ], [ ], 3[ ]3, 10 [ ] 10+, + [ f (x) = 0 x = 10± f (x) < 0 xin] 10, 10+ [ Intervalli in cui il grafico di f volge la concavità verso l alto: ], [ ; ], 3[ ; ]3, 10 [ ;] 10+, + [... Intervalli in cui il grafico di f volge la concavità verso il basso: ] 10, 10+ [ Punti di flesso per f: 10± f è biunivoca (iniettiva)?: No Indicare l insieme dei valori di f: ]0, e 19 ]

4 5 Tracciare il grafico della funzione f Siano A = B = Calcolare A 1 B. Essendo det(a) 0 la matrice A è invertibile e A 1 = La matrice B = B B è: B = da cui risulta: A 1 B = 8 1 4

5 Studiare, al variare di x R il carattere delle serie: (x + 1) n n n + 1. Si noti che: (x + 1) n n n + 1 (x + 1)n n quindi la serie converge se x+1 < 1 ossia se 3 < x < 1. Se x < 3 la serie è indeterminata e se x > 1 la serie diverge positivamente. Se x = 1 la serie diventa: 1 n + 1. Essendo il termine generico infinitesimo di ordine α = 1 la serie diverge positivamente. Se x = 3 la serie diventa: ( 1) n n + 1. Essendo il termine generico positivo, decrescente e infinitesimo, la serie verifica le condizioni del teorema di Leibnitz, quindi converge. Un impresa può produrre due tipi di prodotti A e B. Per il prodotto di tipo A si stima un ricavo unitario di 1, 50 Euro e spese unitarie espresse dalla relazione 1, + 0, 005x. Per il prodotto di tipo B si stima un ricavo unitario di 1, 60 Euro e spese unitarie espresse dalla relazione 0, 1 + 0, 001x. Quale tipo di prodotto conviene produrre? Conviene comunque produrre? Il problema da risolvere è: max x 0 π(x). dove π(x) = R(x) Cx) (R(x) ricavi e C(x) costi). Per il prodotto A si ha π A (x) = 1, 50x (1, +0, 005x)x e per il prodotto π B (x) = 1, 60x (0, 1 + 0, 001x)x. Si tratta di due funzioni concave, quindi la condizione del primo ordine π (x) = 0 è necessaria e sufficiente per la ricerca del punto di massimo. Risolvendo le equazioni π A (x) = 0 e π B (x) = 0 si ottiene x A = 30 e x B = 750. Valutando la funzione profitto in tali punti si ha π B (x B ) > π A (x A ), quindi conviene produrre il prodotto di tipo B. Conviene produrre fino a quando π B (x) > 0 ossia per 0 < x < 1500.

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