2.1. CONSIDERAZIONI GENERALI SULLA TEORIA DEL METODO AGLI ELEMENTI FINITI PER LA SIMULAZIONE DEI PROCESSI DI LAMIERA

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1 Politecico di Torio Sistemi di Produzioe... CONSIDERAZIONI GENERALI SULLA TEORIA DEL METODO AGLI ELEMENTI FINITI PER LA SIMULAZIONE DEI PROCESSI DI LAMIERA... Equazioe di govero Negli ultimi ai il metodo agli elemeti fiiti ha trovato il più largo uso ei settori dei processi di lavorazioe per deformazioe plastica perché è il più adatto allo studio dei processi ei loro dettagli quali previsioe delle tesioi e delle deformazioi idotte della deformazioe. Il ome deriva dal fatto che il corpo di cui si studia la deformazioe viee suddiviso i u certo umero di elemeti di dimesioi fiiti itercoessi attraverso i odi, che garatiscoo la cotiuità fisica del corpo. Per ogi elemeto viee calcolata la matrice di rigidezza, cioè ua matrice che mette i relazioe le forze applicate ai odi di ogi elemeto co gli spostameti dei stessi odi. Le varie matrici elemetari vegoo composte per formare la matrice di rigidezza complessiva del corpo discretizzato, rispettado le codizioi di compatibilità degli spostameti dei odi e di equilibrio degli stessi. L espressioe formale dell equazioe di govero per i corpi deformabili cotiui risultata del pricipio dei lavori virtuali è riportata i seguito: Mu& = F (3) ext F it ella (.) u& & è il vettore di accelerazioe per tutti i odi; F ext il vettore delle forze estere applicate; F it il vettore delle forze itere; M la matrice di masse diagoale. L equazioe di govero può essere itegrata utilizzado diversi tipi di formulazioe e diversi metodi d itegrazioe. I seguito sarao presetati solo alcui elemeti geerali che riguarda questi vari metodi, per poter dopo idetificare i pratica le differeze fra i diversi codici agli elemeti fiiti utilizzati el campo dello stampaggio di lamiera. Politecico di Torio Pagia di 4 Data ultima revisioe 0/04/0 Autore: Doel BASUC

2 Politecico di Torio Sistemi di Produzioe... Formulazioi Lagrage ed Eulero Il termie di formulazioe si riferisce al modo i quale soo scelte le variabili idipedeti per u problema. Fuzioe di questo modo può essere idetificata tre tipi di formulazioi. Formulazioe Lagrage I ua formulazioe Lagrage ogi particola del corpo studiato è caratterizzata dalle sue coordiate iiziali e il tempo come variabile idipedete, e le coordiate attuali soo scelti come variabile dipedete: ( x0, y0, z0 t) ( x0, y0, z0 t) ( x y, z t) x = x, y = y, (4) z = z, 0, 0 0 La prima cosegueza di ua formulazioe Lagrage, è che la derivata aturale per ua fuzioe o per ua quatità scalare è uguale co la derivata parziale. df f = (5) t I ua rappresetazioe Lagrage co elemeti fiiti, le variabili dipedeti idicherao la posizioe (i coordiati) dei odi della rete che si cofodoo co quelli dei puti fisici materiali. I questo caso la mesh si sposterà isieme co il materiale. La secoda cosegueza dalla formulazioe Lagrage, è che la coservazioe dell eergia e della massa sarà automatica, solo le equazioi di coservazioe del volume devoo essere risolte. Formulazioe Eulero La formulazioe di Eulero è opposta a quella di tipo Lagrage. Qui si scrive: ( x, y, z t) ( x, y, z t) ( x, y, z t) vx = vx, v = v (6) v y y, z = vz, df f I questo caso le variabili dipedeti soo le velocità, dove e la rete co gli t elemeti o si sposta, ma si spostao i puti materiali verso la rete stazioaria perché i coordiati soo variabili idipedeti e dove l equazioe di cotiuità è costruita per risolvere la coservazioe della massa. Formulazioe arbitraria Lagrage-Eulero Questo modo di formulazioe combia i due tipi di formulazioi presetate prima. I questo caso la rete co gli elemeti fiiti si sposta i accordo co il spostameto defiito di utilizzatore e il materiale fluisce sopra il spostameto della mesh. Politecico di Torio Pagia di 4 Data ultima revisioe 0/04/0 Autore: Doel BASUC

3 Politecico di Torio Sistemi di Produzioe..3. Modalità d itegrazioe L approccio d itegrazioe esplicita Per esemplificare questo metodo d itegrazioe si cosidera u sistema elastico oscillatorio che ha ua masse m ua costate k e ua forza estera F(t), figura 33.a, e ua asse di tempo discretizzata, figura 33.b. F(t) a K m t t - t -/ t t +/ t + tempo t b t +/ Fig. 33. Il sistema elastico cosiderato, e l asse di tempo L equazioe che esprime l equilibrio diamico del sistema elastico è u equazioe differeziale: d x m k x = + F() t (7) I questa equazioe si cosiderao coosciuti: x e (dx/) -/. Bisoga trovare x + e (dx/) +/. L equilibrio diamico al tempo t è espressa dalla prossima equazioe: d x m = F k x (8) Come la parte destra è coosciuta i questo caso si può applicare la differeza cetrale: Politecico di Torio Pagia 3 di 4 Data ultima revisioe 0/04/0 Autore: Doel BASUC

4 Politecico di Torio Sistemi di Produzioe d x (a) = m ( F ) k x (b) (c) dx dx d x = + t + / dx x + = x + t+ / + / (9) Le equazioi valide quado: m t < (0) k Dove m è la massa odale e k rigidità odale, oppure la forza ecessaria per otteere u uita di spostameto ella direzioe del grado di libertà cosiderato. Questo el caso i quale tutti i odi vicii soo fissi ella situazioe di ua struttura co più di u grado di libertà. Risulta che bisoga fare attezioe al modo i quale viee scelto t i tale modo da rispettare la codizioe (.8): t+ / = t+ t = t t + / t / () I coclusioe si può affermare che quest approccio è stabile ma i modo codizioato (dalla relazioe 0). L approccio d itegrazioe implicita Si cosidera lo stesso sistema elastico illustrato i figura 33.a, e u asse di tempo discretizzato come i figura 34. t - t t + Fig. 34. L asse di tempo discretizato per l itegrazioe implicita L equazioe differeziale che viee scritta è: Politecico di Torio Pagia 4 di 4 Data ultima revisioe 0/04/0 Autore: Doel BASUC

5 Politecico di Torio Sistemi di Produzioe d x m + kx = F () I questo caso si cooscoo: x e (dx/). Bisoga trovare: x + e (dx/) +. L equilibrio diamico al mometo t + è espresso dalla prossima equazioe: d x m + kx+ = F+ (3) + i cui x + o è coosciuto. Aziché cercare ua soluzioe diretta per x + e (d x/ ) + i questo caso si usao le prossime relazioi di sostituzioe: dx + d x = + ( x x )/ t + dx = + dx / t (4) I questo modo si ottiee: d x + = ( x x + x )/( t) + (5) che viee sostituito ella equazioe (3), otteedo: m t m t ( x x ) + k x+ = F+ (5) L equazioe (5) può essere risolta dallo spostameto scoosciuto al tempo t + m x + = + k (6) t Le altre variabili soo otteute i seguito utilizzado equazioi di tipo (4). Quest approccio d itegrazioe lavora idipedete dal valore di t. e quidi stabile seza essua codizioe. Il passo di tempo, t., i u aalisi implicita sarà da 00 fio a 000 volte maggiore da quello utilizzato i u aalisi esplicita. Comuque, l icremeto di tempo i u aalisi esplicita e piccolo, e approssimazioi per spostameti piccoli soo giustificate el corso di u icremeto. Questo o e valido i u aalisi implicita. Per risolvere il sistema di equazioi el metodo implicito bisoga fare iterazioi e imporre codizioi di covergeza, o ecessarie el metodo esplicito. Politecico di Torio Pagia 5 di 4 Data ultima revisioe 0/04/0 Autore: Doel BASUC

6 Politecico di Torio Sistemi di Produzioe.. DESCRIZIONE GENERALE DEI CODICI FEM... Elemeti geerali Dati i vataggi del metodo degli elemeti fiiti, a questa ora possoo essere trovati sul mercato u gra umero di codici commerciali. Questi metodi hao a base la stessa teoria degli elemeti fiiti ma presetoo diverse differeze tra loro. I primo luogo i codici agli elemeti fiiti possoo essere d uso geerale oppure specializzati. I codici d uso geerale hao la possibilità di aalizzare u gra umero di processi molto diversi come sarebbe: calcolo delle strutture el campo elastico, trasferimeto termico di calore, processi di lavorazioe plastica dei metalli, processi per materiali plastici, campi elettromagetici ecc. Esempi di codici agli elemeti fiiti d uso geerale soo: MARC, ABAQUS, NASTRAM, ANSYS et. al. Questi codici possoo lavorare i ambiete UNIX oppure WINDOWS. La maggior parte dei codici co buoe performace d uso geerale lavora sul supporto UNIX. La complessità dei processi aalizzati co gli elemeti fiiti ha fatto ecessario lo sviluppo d alcui codici specializzati per processi be defiiti. I questo modo le scelte per i codici soo aumetate, soo cresciute le velocità di lavoro e ache divetato più facile ad usare u codice specializzato ivece di uo d uso geerale. Come esempi di codici specializzati per processi di lavorazioe plastiche possoo essere dati: DEFORM, FORGE, MARC-Autoforge, AUTOFORM, PAM- STAMP, ecc. I secodo luogo i codici agli elemeti fiiti possoo usare ua formulazioe Lagrage oppure Euler. Per quato riguarda il metodo d itegrazioe questo può essere implicito o esplicito.... Gli elemeti dei codici agli elemeti fiiti La parte pricipale di u programma agli elemeti fiiti è il solutore, che usa u tipo di formulazioe ed u metodo d itegrazioe be defiito. Il solutore può compilare u file d iput scritto i u formato particolare. Nell ultimo tempo si cerca di usare u tipo di formato simile i tutti i codici. I ogi caso, soo differeze rilevati fra diversi codici trovati sul mercato. Possibile di scrivere direttamete co u editore di testo il file d iput ecessario per u processo da aalizzare. Quado il processo di aalizzare è molto complesso e molto grade diveta molto difficile quest operazioe di scrivere il file d iput per processare. Partedo da queste cosiderazioi, i veditori dei codici agli elemeti fiiti hao messo a puto dei programmi d utilità pratica, che aiutao l utete a costruire il file d iput seza essere ecessario a scriverlo i u editore di testo. Questi programmi soo chiamati preprocessors perché dao la possibilità all utete di lavorare iizialmete i dati del modello aalizzato. Politecico di Torio Pagia 6 di 4 Data ultima revisioe 0/04/0 Autore: Doel BASUC

7 Politecico di Torio Sistemi di Produzioe Il solutore, dopo che compila il file d iput, salva i risultati otteuti dall aalisi effettuata i u file co u formato particolare. Per vedere i risultati, il programma co gli elemeti fiiti mette a disposizioe u postprocessor che aiuta l utete a vedere ed aalizzare i risultati otteuti. Partedo dalle cosiderazioi fate fio adesso si può dire che la struttura geerale di u codice agli elemeti fiiti è composta da tre parti pricipali, figura 35. dati iiziali preprocessor + solutore + postprocessor risultati fiali Il codice FEM Fig. 35. Struttura del codice agli elemeti fiiti Come si vede dalla figura 35 i dati iiziali lavorati co l aiuto del preprocessor soo aalizzati co il solutore e dopo i risultati fiali vegoo visualizzati co il postprocessor. Questa è ua vista molto semplice sul modo i quale fuzioa u codice FEM...3. Diagramma di flusso per u processo di simulazioe Idipedetemete dal codice agli elemeti fiiti utilizzato, metodologia per u processo di simulazioe FEM è la stessa. La metodologia di lavoro co diversi programmi, può essere molto be descritta co u diagramma di flusso. Il diagramma di flusso per u processo di simulazioe cotiee u umero di sequeze che soo riportate i figura 36. Per i processi di simulazioe i primo luogo è ecessario cocettualizzare il processo, quidi defiire il modello di simulazioe per il caso reale. Per realizzare questa tappa bisoga cooscere i processi di lavorazioe e lo sviluppo del codice agli elemeti fiiti a disposizioe. Cooscedo i dati richiesti dal codice FEM si adatta il caso reale per otteere il modello di simulazioe, i tale modo che alla fie i risultati metterao i evideza il comportameto del processo reale. U esempio su questa tappa può essere fatto per u processo semplice di ricalcatura di uo spezzoe cilidrico, figura 37.a. Come si vede ella figura 37.a il processo di ricalcatura ha due asse di simmetria: e. Partedo da questa particolarità del processo può essere simulato solo u quarto della belletta. Cosiderado ache il fatto che, il processo è assialsimmetrico e il codice ha ella sua libreria u elemeto D assialsimmetrico può essere costruito il modello di simulazioe rappresetato i figura 37.b. Politecico di Torio Pagia 7 di 4 Data ultima revisioe 0/04/0 Autore: Doel BASUC

8 Politecico di Torio Sistemi di Produzioe La semplicità del modello fa possibile la rappresetazioe della mazzetta come u corpo rigido illustrato da ua liea ella figura 37.b. E ovvio che i questa fase di cocettualizare, da u processo reale si arriva a u modello da simulare molto semplice sulla base delle particolarità presetate del processo e del codice FEM. I mometo i quale si è stabilito come sarà rappresetato il processo reale el modello FEM si passa alla secoda tappa dove si costruisce il modello, i fatto il file d iput per il solutore. Per questo scopo si usa il preprocessore del programma. Cocettualizzare il processo Coosceza dei processi di lavorazioe e dei codici agli elemeti fiiti Costruire il modello Simulazioe del processo Aalizzare i risultati NO Soo i risultati validi? SI Soluzioi teciche per il processo di progettazioe e di lavorazioe Fig.36. Il diagramma di flusso per u processo di simulazioe Politecico di Torio Pagia 8 di 4 Data ultima revisioe 0/04/0 Autore: Doel BASUC

9 Politecico di Torio Sistemi di Produzioe mazzette corpo rigido belletta rettagolo co la mesh a b Fig. 37. Processo di ricalcatura e il modello per simulazioe FEM Il file d iput viee compilato dal solutore, e sarà salvato u file co tutti i risultati richiesti. Questi risultati possoo essere aalizzati usado il postprocessore del codice a disposizioe. L aalisi di questi risultati prima deve arrivare alla risposta affermativa oppure egativa che riguarda la validità dei valori trovati. I valori d output possoo o accotetare l utete da due puti di vista. Primo, si il file d iput ha avuto degli errori che riguardao i parametri del processo oppure proprio il modo di costruire il modello o è stato il più idicato, l utete basato su u esperieza di lavoro i quest area può idetificare gli sbagli e decidere di ritorare alla tappa cocerete la costruzioe del modello. Secodo, si i risultati o soo buoi dal puto di vista delle risposte cercate si ritora di uovo ella secoda tappa del diagramma di flusso. Quado la risposta alla domada coteuta el diagramma di flusso è affermativa i risultati trovati soo aalizzati. I risultati soo dopo utilizzati per dare soluzioi teciche per i processi di progettazioe e per quelli di lavorazioe. Politecico di Torio Pagia 9 di 4 Data ultima revisioe 0/04/0 Autore: Doel BASUC

10 Politecico di Torio Sistemi di Produzioe.3. APPLICAZIONI FEM NELLO STAMPAGGIO DI LAMIERA.3.. Possibilità per simulazioi FEM Le operazioi di stampaggio di lamiera possoo essere simulate usado codici FEM d uso geerale ma ache specializzati. La scelta di uo oppure di u altro codice dipede del tipo di aalisi che si itede svolgere, oche dalla complessità del processo e del prodotto fiale. I codici per lo stampaggio di lamiera possoo essere classificati secodo il tipo di itegrazioe (implicita o esplicita). Per idividuare le differeze fra questi metodi prediamo come esempio u processo semplice di imbutitura per ua coppa circolare, che viee riportato i figura 38, co tutti i compoeti che realizzao quest operazioe. puzoe premilamiera matrice (stampo+fuorifigura) Fig. 38. Processo d imbutitura per ua coppa circolare Questo processo può essere simulato i due variati: simulazioe icremetale (esplicita), simulazioe i u solo passo (implicita). La prima possibilità di simulazioe è riportata i figura 39.a. Utilizzado ua simulazioe icremetale, tutti i compoeti del processo devoo essere presi i cosiderazioe. I più, bisoga imporre le caratteristiche ciematiche, le forze e le velocità per il premilamiera e per il puzoe. Questo metodo permette la massima precisioe i simulazioe, ma richiede u costo i termii di risorse hardware e tempi di calcolo elevati. La secoda possibilità, più veloce cosiste el fare la simulazioe i u solo passo (implicita). Questo tipo di simulazioe cosete di determiare solo lo stadio fiale della lamiera, metre co la prima si possoo determiare passi itermedi. Pertato la secoda si può cosiderare come ua simulazioe semplificata del processo. La simulazioe implicita, ioltre può essere codotta co metodo diretto o iverso (figura 39.b e 39.c). Politecico di Torio Pagia 0 di 4 Data ultima revisioe 0/04/0 Autore: Doel BASUC

11 Politecico di Torio Sistemi di Produzioe puzoe premilamiera lamiera fuorifigura stampo a. simulazioe icremetale esplicita lamiera fuorifigura stampo b. simulazioe implicita diretta superficie iiziale della lamiera fuorifigura c. simulazioe implicita iversa stampo Fig. 39. Variate di simulazioe per i processi di stampaggio di lamiera I ua simulazioe diretta è ecessario cooscere la geometria dello stampo, la geometria e le caratteristiche della lamiera e la pressioe sul premilamiera. I ua simulazioe iversa è ecessario d avere solo la forma del pezzo stampato. Su questa forma è fatta ua rete co degli elemeti fiiti. I odi della rete soo proiettati sul piao della lamiera. Quest ultima è usata sovete per otteere ua prima visualizzazioe dei possibili problemi ei processi di stampaggio. Le simulazioi i u solo passo richiedoo tempi di calcolo molto ridotti i cofroto alla simulazioe icremetale. Politecico di Torio Pagia di 4 Data ultima revisioe 0/04/0 Autore: Doel BASUC

12 Politecico di Torio Sistemi di Produzioe.3.. Cosiderazioi sui risultati otteuti co la simulazioe umerica La simulazioe agli elemeti fiiti cosete di otteere u gra umero di risultati, che riguardao il processo aalizzato, come sarao ad esempio le deformazioi e le tesioi el materiale del pezzo stampato e le pressioi sulle superfici di cotatto. Tutti questi risultati possoo essere utili per il processo di virtual prototypig, che cosete di abbassare il tempo e i costi per il processo di progettazioe. Ioltre, la simulazioe agli elemeti fiiti può cosetire di ottimizzare i risultati per il processo reale di stampaggio, cambiado i parametri di lavoro egli itervalli co valori d'utilità pratica. Per dare delle soluzioi teciche, validi el processo reale, occorre iterpretare i risultati più sigificati otteuti co la simulazioe. Nel caso dello stampaggio di lamiera, i dati di processo, come il rapporto d imbutitura verso la stiratura del materiale, soo cotrollati dalla forza di pressioe sulla premilamiera e dalle codizioi d attrito ell iterfaccia di cotatto (premilamiera/lamiera, stampo/lamiera, fuorifigura/lamiera). Gradi forze d'attrito sulle iterfaci limitao lo scorrimeto su queste iterfacie e aumetao la trazioe radiale della lamiera. I alcui casi per limitare lo slittameto è utilizzato il rompigrize. Per otteere u imbutitura ottima è molto importate poter cotrollare lo scorrimeto della lamiera sotto il premilamiera. Quado lo scorrimeto è troppo basso il materiale sarà sottoposto a trazioi molto elevate, lamiera sarà stirata che può causare feomei di rottura. Nel caso i cui il materiale può scorrere facilmete tesioi circofereziali di compressioe sarebbero create. Queste tesioi di compressioe possoo causare delle grize el pezzo stampato. Per i pezzi semplici, com'è ache l'esempio presetato, u itervallo molto largo di codizioi d iterfaccia può essere abbastaza buoo da otteere dei risultati geerali validi. Per i pezzi tridimesioali complessi, le codizioi sull'iterfaccia di cotatto devoo essere teute i u itervallo molto stretto per otteere u prodotto buoo. La determiazioe di quest'itervallo, o è semplice. Questo ache perché ei pezzi complessi soo variazioi molto diverse d altezza d imbutitura che cambia le tesioi el materiale, facedo difficile di cotrollare i parametri di cotatto per tutto il pezzo stampato. Partedo da queste cosiderazioi risulta che per migliorare i dati otteuti i ua simulazioe per u processo di stampaggio, i parametri d'iput che possoo essere cambiati riguardao la pressioe sulla premilamiera e le codizioi d'attrito. Ioltre, per i pezzi complessi, si può variare la geometria della lamiera iiziale perché alcue volte si possoo effettuare traciature ella lamiera che cosetoo di cambiare il flusso di materiale verso le diverse zoe del pezzo stampato. U'opzioe molto utile ei processi di stampaggio di lamiera, è quella che permette di cofrotare lo stato di deformazioe egli elemeti della lamiera co lo stato di deformazioe permesso, descritto da ua curva limite di formabilità. Il diagramma limite di deformabilità, di solito, è determiata co prove sperimetali semplici d'imbutitura per ua coppa semisfera, prove Erickse oppure altre prove sperimetali. Nei casi i quali u diagramma sperimetale o è dispoibile è possibile di ricavarlo partedo dai dati di materiali esisteti. Il primo parametro di qual è bisogo e l'espoete d'icrudimeto trovato ell'equazioe che descrive il comportameto del materiale. Politecico di Torio Pagia di 4 Data ultima revisioe 0/04/0 Autore: Doel BASUC

13 Politecico di Torio Sistemi di Produzioe Per u materiale utilizzato i u modello d imbutitura si può ricavare il diagramma limite di deformabilità co dati calcolati e puti sperimetali. Il puto d itersezioe della curva co l asse delle deformazioi maggiori è determiato co la seguete relazioe: FLD0 = ( 3,3 + 4, t ) (7) 0, dove è il coefficiete d icrudimeto e t lo spessore della lamiera iiziale. Mettedo i valori corrispodeti per il materiale i discussioe si ottiee il valore cercato. Utilizzado alcui valori a disposizioe che riguardao il materiale si ottiee u diagramma limite che è illustrato i figura 40.. def.max curva limite pr. Erickse pt. sperim def.mi. Fig. 40. Il diagramma limite di formabilità per il materiale cosiderato I codici specializzati FEM permettoo di visualizzare gli elemeti dal pezzo stampato ei quali la deformazioe ha superato la curva limita, e ache la posizioe dei puti corrispodeti per gli elemeti sul diagramma di formabilità. I figura 4 è riportata il diagramma, ricavato per il materiale studiato, co tutti i puti corrispodeti per gli elemeti della lamiera alla fie della simulazioe. Politecico di Torio Pagia 3 di 4 Data ultima revisioe 0/04/0 Autore: Doel BASUC

14 Politecico di Torio Sistemi di Produzioe Fig. 4. Il diagramma limite e i puti corrispodeti per gli elemeti della lamiera I questo caso si osserva che tutti i puti che soo datti della combiazioe delle deformazioi miori e maggiori per ogi elemeto soo sotto la curva limite di formabilità. Ioltre la maggior parte degli elemeti preseta deformazioi maggiori di trazioe (stiratura) e deformazioi miori di compressioe. Politecico di Torio Pagia 4 di 4 Data ultima revisioe 0/04/0 Autore: Doel BASUC