ANALISI DI GALLERIE SUPERFICIALI CON UN METODO AGLI ELEMENTI FINITI NON CONVENZIONALE

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1 ANALISI DI GALLERIE SUPERFICIALI CON UN METODO AGLI ELEMENTI FINITI NON CONVENZIONALE Callari C. Università di Roma Tor Vergata, Dipartimento di Ingegneria Civile XXI Convegno Nazionale di Geotecnica, L Aquila, settembre 2002 SOMMARIO Si presentano i risultati ottenuti dall applicazione di un nuovo metodo agli elementi finiti all analisi di gallerie superficiali. Principale obiettivo della ricerca è valutare gli effetti della localizzazione delle deformazioni sulla stabilità della galleria e sugli spostamenti indotti in superficie. Nello studio sono considerati i casi di scavo in terreni asciutti e saturi. I vantaggi derivanti dall impiego del nuovo metodo agli elementi finiti sono evidenziati dal confronto con i risultati della formulazione convenzionale. 1 INTRODUZIONE Numerosi studi sperimentali hanno evidenziato come le deformazioni indotte dallo scavo di gallerie superficiali tendano a concentrarsi in bande di esiguo spessore (Mair, 1979; Hansmire e Cording, 1985; Sterpi, 1999). La propagazione di queste bande di taglio dalla galleria verso la superficie può condurre alla formazione di meccanismi di collasso della volta o del fronte di scavo. Pertanto, l analisi di stabilità di gallerie poco profonde e, in ambiente urbano, la previsione degli spostamenti in superficie richiedono formulazioni numeriche (agli elementi finiti, alle differenze finite, ecc.) capaci di simulare efficacemente la concentrazione delle deformazioni. Purtroppo, i metodi numerici convenzionali mostrano notevoli difficoltà nel cogliere i fenomeni di localizzazione. E inoltre noto che gli stati deformativi localizzati eventualmente ottenuti con tali formulazioni standard dipendono in misura non trascurabile dalla discretizzazione adottata. Con riferimento alle gallerie superficiali, è opinione di alcuni ricercatori che tali limiti dei metodi numerici convenzionali possano almeno in parte spiegare perchè le curve di subsidenza ottenute dal calcolo siano spesso più estese ed appiattite di quelle osservate in sito (Adachi et al., 1985; Ribacchi, 1993; Gioda e Locatelli, 1999). Analisi numeriche della localizzazione delle deformazioni indotta dallo scavo di gallerie in mezzi asciutti sono presentate in (Sterpi, 1999; Callari, 2002). Uno studio di tale fenomeno nel caso di scavo in ammasso saturo è sviluppato in (Callari, 2002b). In particolare, in questi ultimi due lavori si applica il nuovo metodo agli elementi finiti con discontinuità forti. Con tale metodo si propone di modellare la banda di taglio, vista l esiguità del suo spessore, come una superficie di discontinuità negli spostamenti (Simo et al., 1993). L analisi di queste discontinuità forti e la corrispondente formulazione agli elementi finiti enhanced è sviluppata per il problema puramente meccanico in (Armero e Garikipati, 1995; Callari e Lupoi, 2001). Un estensione di tale metodo al caso accoppiato di mezzo poro-elastoplastico saturo è riportata in (Armero e Callari, 1999; Callari e Armero, 2001). In questi lavori si dimostra come il metodo alle discontinuità forti sia capace di cogliere efficacemente i fenomeni di localizzazione e di fornire una soluzione indipendente dalla discretizzazione adottata. Si sottolinea, inoltre, come l approccio alle discontinuità forti

2 dove ρ w è la densità del fluido, k il tensore di permeabilità, p il campo delle pressioni neutre e g il vettore di accelerazione gravitazionale. Nel presente lavoro si assumono come positivi gli sforzi di trazione e le pressioni neutre di compressione. Il bilancio della massa fluida è espresso nella forma: Ṁ = div q w (2) Figura 1. Cinematica delle discontinuità forti sia sviluppato nell ambito dei modelli dell elasto-plasticità classica, comunemente adottati nella pratica ingegneristica. L impiego del metodo non richiede quindi la valutazione di parametri non standard (come, ad esempio, la cosiddetta lunghezza caratteristica ). Nel presente lavoro si riassumono i principali risultati ottenuti nelle applicazioni di questo nuovo metodo agli elementi finiti all analisi della localizzazione indotta dallo scavo di gallerie superficiali in terreno asciutto (Callari, 2002) e saturo (Callari, 2002b). Con tale ricerca si vogliono valutare i vantaggi derivanti dall impiego del metodo alle discontinuità forti, mediante confronto con i risultati della formulazione convenzionale. Un altro obiettivo è studiare l influenza della velocità di avanzamento dello scavo sulla stabilità della galleria e sugli spostamenti indotti in superficie. Nel seguito, si riassumono quegli aspetti della trattazione delle discontinuità forti in mezzi porosi elastoplastici (Par. 2) e della corrispondente formulazione agli elementi finiti (Par. 3) che sono utili alla comprensione delle analisi numeriche di gallerie superficiali commentate nel Par DISCONTINUITA FORTI IN MEZZI POROSI ELASTO-PLASTICI Studi sperimentali su mezzi porosi saturi hanno evidenziato come, in presenza di localizzazione, il concentrarsi della dilatanza lungo sottili bande determini un abbassamento delle pressioni neutre (cioè un incremento degli sforzi efficaci) ed il conseguente flusso del fluido verso tali bande (Han e Vardoulakis, 1991; Viggiani et al., 1994). Questa interazione tra lo scheletro solido ed il fluido interstiziale ha un influenza determinante sulla propagazione della rottura e quindi sulla formazione di eventuali meccanismi di collasso. L analisi teorica e la simulazione numerica di questi fenomeni è affrontata in (Armero e Callari, 1999; Callari e Armero, 2001), dove si studia la presenza di discontinuità forti in mezzi porosi elasto-plastici saturi. Nel seguito si riassumono i principali risultati di tale ricerca. Nel mezzo poroso saturo Ω si indicano rispettivamente con u e q w i campi di spostamento e di flusso del fluido a grande scala, cioè definiti nell intero dominio e soddisfacenti le condizioni di regolarità standard. In particolare il flusso a grande scala è fornito dalla legge di Darcy: q w = ρ w k( p ρ w g) (1) dove M è il contenuto fluido a grande scala, cioè la variazione della massa fluida (rispetto al valore iniziale) per volume iniziale unitario del mezzo poroso (Biot, 1941). 2.1 Soluzioni discontinue in un mezzo poroso In questo paragrafo si introducono campi di spostamento e di flusso a piccola scala, cioè definiti in un intorno Ω x del punto x Ω (Fig. 1); questi campi presentano una discontinuità in corrispondenza di una superficie Γ x di normale n in x: u µ = u + ζ Ψ Γx q wµ = q w + υ Ψ Γx in Ω x con Ψ Γx = H Γx N Γx (3) dove H Γx è la funzione di Heaviside definita su Γ x, e N Γx è una generica funzione regolare. Si osservi che i vettori ζ e υ coincidono rispettivamente con i salti negli spostamenti e nel flusso in corrispondenza di Γ x, cioè: [[u µ ]] = ζ e [[q wµ ]] = υ. Secondo la teoria delle distribuzioni, i campi di deformazione e del contenuto fluido corrispondenti alle (3), sono rispettivamente: ε µ := s u µ = ε + (ζ n) s δ Γx }{{} } {{ } regolare distrib. singolare Ṁ µ := divq wµ = M }{{} regolare υ n δ Γx } {{ } distrib. singolare dove δ Γx è la distribuzione delta di Dirac definita su Γ x e: (4) ε := ε(u) + Ψ Γx s ζ (ζ N Γx ) s M := Ṁ Ψ Γ x υ : 1 + υ N Γx (5) con Ṁ = Ṁ(q w) fornito dalla (2). Si osservi che la (5) 2 rappresenta il bilancio della massa fluida nel continuo Ω x Γ x. Invece, il bilancio di massa fluida localizzato nella discontinuità Γ x è fornito dalla seconda parte della (4) 2, cioè M = υ n, dove M rappresenta il contenuto fluido per area unitaria della superficie Γ x. Infine, si sottolinea come con questo approccio il campo delle pressioni neutre rimanga continuo. 2.2 Discontinuità forti in un modello poro-elastoplastico dilatante I campi discontinui considerati nel paragrafo precedente sono introdotti in un modello di mezzo elasto-plastico poroso saturo con decomposizione additiva delle deformazioni e del contenuto fluido (Biot, 1941; Coussy, 1995): ε µ = ε e µ + ε p µ M µ = M e µ + M p µ (6) In forma incrementale, le equazioni costitutive sono: σ = σ b ṗ 1 con σ = C sk ε e µ (7)

3 HORIZ. DISPLACEMENT -1.96E E E E E E E E+00 Current View Min = -1.96E-03 X =-5.89E-03 Y = 1.35E-01 Figura 2. Funzione discontinua Ψ Γe per l interpolazione di spostamenti e flusso del fluido ṗ = Q ] e [Ṁ ρ µ ρ wo b ε e µ : 1 wo dove σ è il tensore di sforzo efficace di Biot, C sk il tensore costitutivo elastico in condizioni drenate, Q il modulo di Biot e b il coefficiente di Biot. Viene preso in considerazione il caso di softening isotropo caratterizzato dalla variabile interna cinematica α µ e dalla variabile tensionale coniugata i. Nel caso associato, l evoluzione delle variabili plastiche ε p µ, α µ e Mµ p è fornito dalle equazioni: ε p µ = γ σf sk α µ = γ i f sk Ṁ p µ = ρ wo b ε p µv (9) dove la funzione di snervamento f sk (σ, i) è definita in termini di sforzi efficaci e ε p µv := ε p µ : 1 è la deformazione plastica volumetrica. Il parametro di coerenza γ è determinato mediante le condizioni di carico/scarico di Kuhn-Tucker. La trattazione presentata in (Armero e Callari, 1999; Callari e Armero, 2001) dimostra come i campi discontinui degli spostamenti e del flusso (3) siano coerenti con la teoria classica dei mezzi poro-elastoplastici saturi sopra richiamata. In particolare si dimostra come la perdita di ellitticità del tensore elastico perfettamente plastico drenato costituisca una condizione necessaria per la localizzazione delle deformazioni. Inoltre, si osserva come la legge di softening vada reinterpretata; essa, infatti, non è più definita nel continuo Ω Γ (legame tensione-deformazione), ma localmente sulla discontinuità Γ (legame fra sforzo e salto negli spostamenti). Si ricavano, quindi, le relazioni fra stato tensionale, salto negli spostamenti e salto nel flusso in corrispondenza della discontinuità. Queste relazioni generali sono applicate in (Callari e Lupoi, 2001) al caso particolare di un modello elastoplastico associato, considerato nelle analisi numeriche presentate più avanti e definito dalla seguente funzione di snervamento di Drucker-Prager: f sk (σ, i) = s + β 1 3 σ : 1 + (8) 2 3 i (10) dove s = dev(σ ) è la parte deviatorica del tensore degli sforzi efficaci e il coefficiente β è un parametro del modello. In stato di deformazione piano e indicando con t la tangente a Γ x, la dilatanza localizzata può essere definita come: Φ := ζ n / ζ t, dove ζ n := ζ n e ζ t := ζ t sono rispettivamente le componenti normale e tangenziale del salto negli spostamenti (Fig. 1). Per il modello considerato, le espressioni della dilatanza localizzata e della giacitura della Max = 0.00E+00 X = 4.00E-02 Y = 0.00E+00 Time = 2.91E E+02 Figura 3. Simulazione di una prova di compressione piana drenata con il FEM alle discontinuità forti accoppiato. Reticolo deformato di elementi con distribuzione degli spostamenti orizzontali (Callari e Armero, 2001) discontinuità sono: 2 β Φ = 2 1 2β 2 /3 θ = 1 2 arctan [ sign( ζ ] t ) Φ (11) dove θ è l angolo fra n e la direzione della tensione principale massima nel piano e 1 (Fig. 1). Se si indicano con σ 1, σ 2 le tensioni principali nel piano (σ 1 σ 2) e con s 3 la tensione deviatorica principale normale al piano, la condizione di localizzazione assume la forma: s r = 2 1 β 2 /6 con r = σ 1 σ 2 2 (12) oppure la forma equivalente: s 3 + (1/3) β = 0. Inoltre, se si indica con H il modulo di softening localizzato, la relazione costitutiva definita sulla discontinuità fra gli incrementi dello sforzo e del salto negli spostamenti è: τ Γx sign( ζ t ) + Φ σ Γ x = H 3 2β 2 ζ t (13) dove τ Γx := t Γ x t e σ Γ x := t Γ x n sono rispettivamente le componenti tangenziale e normale del vettore tensione t Γ x = σ n Γx agente su Γ x. Infine, il contenuto fluido localizzato è espresso dalla: M µ := υ n = ρ wo b Φ ζ t (14) Quest ultima equazione dimostra che la presenza di una singolarità nel contenuto fluido è causata dalla localizzazione della dilatanza sulla superficie Γ x. E noto che in stato piano di deformazione, la seguente espressione del coefficiente di Drucker-Prager β = [(6 sin 2 ϕ)/(3 + sin 2 ϕ)] 1/2 in termini dell angolo di attrito ϕ conduce alla stessa previsione di dilatanza nel continuo che caratterizza il modello di Mohr-Coulomb. La sostituzione di questa espressione nelle equazioni (11) fornisce: Φ = tan ϕ e θ = ±(π/4 ϕ/2), come era da aspettarsi. Si osservi, in particolare, come la relazione costitutiva di post-localizzazione (13) assuma una forma di tipo Mohr- Coulomb per effetto della Φ = tan ϕ.

4 (a) Figura 4. Simulazione di una prova di compressione piana drenata con FEM alle discontinuità forti accoppiato. Risultati ottenuti con le mesh di e elementi: reazioni verticali (a) e pressioni neutre in funzione dello spostamento verticale imposto (Callari e Armero, 2001) 3 FORMULAZIONE AGLI ELEMENTI FINITI La trattazione richiamata nel precedente paragrafo è implementata in un nuovo metodo agli elementi finiti in (Callari e Armero, 2001; Callari e Lupoi, 2001), identificando l intorno Ω x con l elemento Ω e,loc dove si è determinata la localizzazione delle deformazioni. In particolare, la funzione Ψ Γx in (3) viene approssimata mediante l interpolazione discontinua rappresentata in Figura 2. I campi di spostamento e di flusso a grande scala sono invece rispettivamente approssimati da interpolazioni isoparametriche degli spostamenti nodali d e e delle pressioni neutre nodali p e, mediante le rispettive funzioni di forma N u e (x) e N p e(x). Pertanto, se si indica con z e = [ζ ne ; ζ te ] T il vettore delle componenti del salto negli spostamenti, i corrispondenti campi enhanced di deformazione e di flusso sono rispettivamente: ε e = B u e d e G e z e + P e z e δ Γ } {{ } } {{ } conforme enhanced q wµ = ρ wo k (B p ep e ρ wo g) + υ e Ψ Γe } {{ } } {{ } conforme enhanced (15) dove B u e := N u e (x), B p e := N p e(x) sono i tipici operatori conformi e G e = [(n n (i) ) s /h (i) ; (t n (i) ) s /h (i) ], P e = [n n ; (t n) s ] sono gli operatori enhanced. Si sottolinea che in questa formulazione non si introduce nessuna regolarizzazione dei campi discontinui (spostamenti e flusso). Figura 5. Simulazione di una prova di compressione piana drenata con FEM accoppiato convenzionale. Risultati ottenuti con le mesh di e elementi: reazioni verticali in funzione dello spostamento verticale imposto (Callari e Armero, 2001) In estrema sintesi, il metodo proposto prevede la soluzione del sistema costituito dalle formulazioni deboli delle equazioni di equilibrio e di bilancio della massa fluida, sia nel continuo Ω Γ che sulla discontinuità Γ. Questo sistema di equazioni non lineari viene risolto mediante un algoritmo di Newton-Raphson, effettuando l integrazione nel tempo con uno schema di Eulero all indietro. La soluzione dell equazione di equilibrio sulla discontinuità fornisce il salto negli spostamenti z e. Questa variabile locale enhanced è quindi eliminata mediante una procedura di condensazione statica. Il modello elasto-plastico del continuo Ω Γ è integrato con un algoritmo implicito return-mapping. Un algoritmo implicito non convenzionale è utilizzato per l integrazione dell equazione costitutiva (13) definita sulla discontinuità. Si sottolinea che al reticolo di elementi finiti non viene a priori fornita alcuna informazione circa la posizione della superficie di localizzazione. L innesco e la propagazione della discontinuità è invece regolata durante il calcolo da una procedura che utilizza la condizione di localizzazione (12) e l espressione (11) 2 della giacitura della discontinuità. Per verificare l efficacia del metodo proposto, sono stati esaminati numerosi esempi numerici rappresentativi. In Fig. 3 si riportano i risultati della simulazione di una prova di compressione piana nella quale si permette il drenaggio alle basi del provino. La prova è simulata utilizzando due diverse discretizzazioni del provino, in 112 (Fig. 3) e in 448 elementi. Le corrispondenti soluzioni sono praticamente coincidenti sia in termini di reazioni verticali (Fig. 4a) che di pressioni neutre (Fig. 4b), dimostrando l obiettività del metodo proposto. Inoltre, nonostante la grossolana discretizzazione mostrata in Fig. 3, si verifica l efficacia del metodo enhanced alle discontinuità forti nel cogliere la localizzazione delle deformazioni. Invece, la simulazione della stessa prova effettuata con il metodo agli elementi finiti convenzionale conduce ad una soluzione fortemente dipendente dalla discretizzazione adottata, sia in termini di reazioni verticali (Fig. 5) che di pressioni neutre. Il metodo convenzionale mostra inoltre notevoli difficoltà nel cogliere il fenomeno di localizzazione (Callari e Armero, 2001).

5 Tabella 1. Parametri adottati nelle simulazioni numeriche dello scavo in terreno saturo densità terreno saturo ρ kg/m 3 modulo di Young drenato E sk kp a coefficiente di Poisson drenato ν sk 0.35 coefficiente di Drucker-Prager β 0.56 tensione di snervamento iniziale σ y kp a modulo di softening localizzato H 1 kp a/m modulo di softening nel continuo H 0 kp a coefficiente di Biot b 1.0 modulo di Biot Q kp a permeabilità k h m/s densità del fluido ρ wo kg/m 3 10 m p=0 VERT.DISP(m) -7.37E E E E E E E E-01 Current View Min = -7.37E-01 X = 0.00E+00 Y = 2.78E+01 Max = 1.67E-01 X = 1.83E+00 Y = 2.10E+01 Time = 2.59E+06 Figura 7. Analisi dello scavo in terreno saturo con FEM alle discontinuità forti. Particolari del reticolo deformato con distribuzioni degli spostamenti verticali. Risultati ottenuti per la velocità di scarico v λ2 ( v a2 = 1.00 m/giorno) al termine della fase di scavo (λ = 1.00) 10 m f(t) p(t) g p=p 0 20 m impervious 100 m Figura 6. Scavo di una galleria in terreno saturo. Schema piano del problema con indicazione dei carichi e delle condizioni al contorno, incluse le forze f(t) e le pressioni neutre p(t) di scavo applicate sul contorno del cavo 4 ANALISI NUMERICHE Il nuovo metodo agli elementi finiti richiamato nel paragrafo precedente è stato applicato all analisi della localizzazione indotta dallo scavo di gallerie superficiali in terreno asciutto (Callari, 2002) e saturo (Callari, 2002b). Nel presente paragrafo si commentano alcuni risultati relativi alla simulazione numerica dello scavo a sezione piena di una galleria circolare non rivestita. Tale simulazione può essere effettuata in stato piano di deformazione estendendo al caso di terreno saturo un noto approccio semplificato (Panet e Guellec, 1974), che prevede lo scarico delle cosiddette forze di scavo applicate sul contorno della galleria: f(t) := [1 λ(t)]f 0 (16) dove le f 0 sono le azioni di superficie che equilibrano lo stato tensionale preesistente allo scavo e il carico gravitazionale ρg (Fig. 6). Il coefficiente di scarico λ(t) [0; 1] descrive l evoluzione delle forze di scavo dall istante t 0 (per t < t 0 è λ(t) = 0) all istante t u corrispondente al totale scarico del contorno del cavo (per t t u è λ(t) = 1). Per simulare efficacemente gli effetti tridimensionali dello scavo, si devono imporre anche adeguate condizioni di drenaggio. In particolare, nel caso qui considerato di galleria non rivestita scavata a pressione atmosferica, sul contorno del cavo sono applicate, in aggiunta alle (16), le seguenti pressioni neutre di scavo (Figura 6): p(t) := [1 α(t)] p 0 (17) dove p 0 è il campo delle pressioni neutre preesistente allo scavo e il coefficiente α(t) [0; 1] descrive l evoluzione (a) Figura 8. Analisi dello scavo in terreno saturo con FEM alle discontinuità forti. Campi di spostamento e elementi con localizzazione: a) velocità di scavo v λ1 ( v a1 = 5.00 m/giorno), dopo il termine della fase di scarico (t/t u = 1.25); b) velocità di scavo v λ4 ( v a4 = 0.01 m/giorno), durante la fase di scarico (λ = 0.80). Gli spostamenti sono normalizzati rispetto al valore massimo delle condizioni di drenaggio dall istante iniziale t p0 (per t < t p0 è α(t) = 0) all istante t pu corrispondente all annullamento delle pressioni neutre sul contorno del cavo (per t t pu è α(t) = 1). Analogamente a quanto ipotizzato per le forze di scavo (Panet e Guellec, 1974), le pressioni neutre di scavo (17) sono introdotte come condizioni di drenaggio fittizie equivalenti, cioè capaci di riprodurre nello schema piano le stesse componenti del campo di flusso che caratterizzano la reale procedura di scavo tridimensionale. Con questo approccio, gli intervalli di tempo T u := t u t 0 e T p := t pu t p0 caratterizzano la presenza, nella sezione considerata, di effetti dell avanzamento del fronte di scavo, rispettivamente in termini di spostamenti e di moto del fluido. Per spiegare i motivi che hanno condotto all introduzione delle pressioni neutre di scavo, si ricorda che le analisi in deformazione piana di cavità con contorno permeabile scavate sotto falda sono tipicamente eseguite adottando un approccio limite. In particolare, nel caso di ammasso molto permeabile si prende normalmente in considerazione il metodo disaccoppiato alle tensioni efficaci (Lembo-

6 (a) (a) Figura 10. Analisi dello scavo in terreno asciutto. Campi di spostamento per λ = 0.83: a) FEM alle discontinuità forti (sono evidenziati gli elementi con localizzazione); b) FEM convenzionale. Gli spostamenti sono normalizzati rispetto al valore massimo Figura 9. Analisi dello scavo in terreno saturo con FEM alle discontinuità forti. Pressioni neutre nel punto P in prossimità del cavo (a) e spostamenti verticali in calotta in funzione del coefficiente di scarico λ. Risultati ottenuti per diverse velocità di scavo Fazio e Ribacchi, 1984). Invece, nel caso di terreno poco permeabile si assume tipicamente che la risposta allo scavo sia non drenata, cioè che lo scarico totale della galleria sia istantaneo (T u = 0). Dopo quest analisi disaccoppiata, le condizioni di drenaggio sono anch esse istantaneamente applicate sul contorno del cavo (T p = 0) e il decorso della risposta dell ammasso è studiato con un metodo accoppiato (Cividini et al., 1985). Tuttavia, questi approcci non permettono di valutare l influenza della velocità di avanzamento del fronte sulla risposta dell ammasso allo scavo. Pertanto, le analisi descritte nel seguito sono svolte utilizzando la procedura espressa dalle equazioni (16) e (17), ponendo t p0 = t 0 = 0 e adottando le seguenti evoluzioni nel tempo dei coefficienti di scarico e di drenaggio: t per 0 t T t u per 0 t T p λ(t) = T u α(t) = T p 1 per t > T u 1 per t > T p (18) I tempi di scarico e di drenaggio sono rispettivamente calcolati mediante le relazioni approssimate: T u = 3D/ v a e T p = D/ v a = T u /3, dove D e v a sono rispettivamente il diametro della galleria e la velocità media di avanzamento del fronte. Le analisi sono eseguite utilizzando un reticolo di 720 elementi finiti quadratici (Fig. 7). Come si è osservato Figura 11. Analisi dello scavo con FEM alle discontinuità forti. Spostamenti verticali in calotta in funzione del coefficiente di scarico λ. Confronto fra i casi di ammasso asciutto e saturo nel Par. 3, nessuna informazione viene a priori fornita alla mesh circa l orientamento di eventuali superfici di discontinuità degli spostamenti e del flusso. I parametri dell ammasso saturo sono riportati in Tab. 1. L angolo di attrito ϕ = 24 e una coesione drenata di circa 30 kp a possono essere relazionati al coefficiente β e alla tensione iniziale di snervamento σ y. Nelle simulazioni numeriche si assume che la superficie libera della falda, coincidente con il piano di campagna, non sia influenzata dallo scavo della galleria. Il coefficiente iniziale di tensione orizzontale è k 0 = Per studiare gli effetti della velocità di avanzamento del fronte sulla risposta allo scavo, le analisi sono ripetute per diversi valori della velocità di scarico v λ := 1/T u. Alcuni di questi valori sono riportati in Fig. 9, insieme alle corrispondenti velocità medie di avanzamento. L influenza di tali velocità è evidente in Fig. 9a. In particolare, nel caso di scavo particolarmente lento (v λ4 ), le pressioni neutre nell intorno del cavo raggiungono uno stato praticamente stazionario non appena le condizioni finali di drenaggio vengono imposte sul contorno della galleria (α = 1, λ = 1/3). Al crescere della velocità di scavo, si notano invece significativi effetti dell accoppiamento idro-meccanico, in forma di sovappressioni neutre negative causate dalla risposta dila-

7 VERT.DISP(m) -5.64E E E E E E E E-01 Current View Min = -5.64E-01 X = 2.38E+00 Y = 2.73E+01 Max = 2.31E-01 X = 1.72E+00 Y = 2.12E+01 Time = 6.48E+05 Figura 12. Analisi dello scavo in terreno saturo con elementi finiti convenzionali. Particolare del reticolo deformato con distribuzione degli spostamenti verticali. Velocità di scavo v λ4 ( v a4 = 0.01 m/giorno) durante la fase di scarico (λ = 0.80) (a) Figura 14. Scavo in terreno saturo. Confronto fra gli spostamenti verticali in superficie forniti dal FEM convenzionale e dal FEM alle discontinuità forti. Risultati corrispondenti alle velocità di scarico v λ2 (a) e v λ4. Gli spostamenti sono normalizzati rispetto al valore massimo Figura 13. Analisi dello scavo in terreno saturo. Spostamenti verticali in asse galleria (calotta e superficie) in funzione del coefficiente di scarico λ (velocità di scarico v λ4 ). Confronto fra il FEM convenzionale e il FEM discontinuità forti tante dello scheletro solido. In Fig. 9b, coerentemente con la risposta in termini di pressioni neutre, si osservano considerevoli effetti della velocità di avanzamento sulla stabilità del cavo. In particolare, per le velocità di scarico più basse (v λ3 e v λ4 ), gli spostamenti calcolati in calotta evidenziano che il collasso della galleria si verifica prima del termine della procedura di scavo, cioè per λ < 1. In corrispondenza delle velocità di scavo più elevate (v λ1 e v λ2 ), si ottiene invece uno stato stabile del cavo al termine della fase di scarico. Nelle curve riportate in Fig. 9, sono indicati gli istanti corrispondenti alla prima ed all ultima localizzazione osservata negli elementi. Nonostante si sia volutamente presa in considerazione una discretizzazione relativamente grossolana, il metodo enhanced con discontinuità forti si dimostra capace di cogliere efficacemente l innesco del fenomeno di localizzazione e la sua propagazione dalla galleria fino alla superficie (Fig. 7 e Fig. 8). Per le velocità di avanzamento più elevate, si osserva lo sviluppo di pressioni neutre negative nella zona interessata dalla superficie di localizzazione, dove si concentra la dilatanza. L influenza della velocità di avanzamento sull orientamento della superficie di localizzazione sembra trascurabile, come mostrato dal confronto riportato in Fig. 8, dove si evidenziano gli elementi con lo- calizzazione ottenuti per le due velocità di scarico estreme fra quelle prese in considerazione (v λ1 e v λ4 ). La risposta dell ammasso saturo allo scavo viene adesso confrontata con i risultati ottenuti per il caso di terreno asciutto in (Callari, 2002). In tale lavoro si adotta una formulazione disaccoppiata del metodo agli elementi finiti con discontinuità forti per analizzare un problema con la stessa geometria e gli stessi parametri in condizioni drenate qui considerati. La densità del terreno asciutto è coincidente con la densità del terreno saturo riportata in Tab. 1. Rispetto al caso di scavo in terreno asciutto, la galleria scavata molto lentamente (v λ4 ) perviene al collasso per un valore più piccolo del coefficiente di scarico (Fig. 11). Per tale velocità si evidenzia, quindi, la negativa influenza sulla stabilità del cavo esercitata dall azione di trascinamento del moto di filtrazione. Invece, il decremento delle pressioni neutre mostrato in Fig. 9b in corrispondenza della più alta velocità di scavo (v λ1 ) ha un effetto stabilizzante sul terreno adiacente la galleria. Inoltre, si osservano apprezzabili differenze nell orientamento delle superfici di scivolamento ottenute nei casi di scavo in ammasso saturo (Fig. 8) e asciutto (Fig. 10a). I risultati ottenuti con il metodo alle discontinuità forti sono nel seguito confrontati con la risposta ottenuta con la formulazione convenzionale del metodo degli elementi finiti. Nei calcoli svolti con quest ultima formulazione, si pone H = 200 kp a per il classico modulo di softening definito nel continuo, in modo da ottenere approssimativa-

8 mente gli stessi valori di λ a collasso forniti dal metodo alle discontinuità forti (Fig. 13). Le configurazioni deformate del reticolo di elementi finiti mostrano come la formulazione convenzionale non sia capace di riprodurre neppure l innesco del fenomeno di localizzazione in corrispondenza del contorno del cavo (per i casi di terreno asciutto e saturo, si vedano rispettivamente le figure 10b e 12). Di conseguenza, rispetto al metodo alle discontinuità forti, la formulazione convenzionale fornisce una risposta decisamente più rigida allo scavo, come mostrato nel confronto riportato in Fig. 13. Nel confronto con i risultati forniti dal metodo alle discontinuità forti, le distribuzioni normalizzate dei cedimenti in superficie calcolate con la formulazione convenzionale sono più estese (Fig. 14, risultati simili sono ottenuti nel caso di terreno asciutto). In particolare, tale differenza nella forma delle conche di subsidenza fornite dai due metodi aumenta al decrescere della velocità di avanzamento. Come si è ricordato nel Par. 1, la forma delle distribuzioni dei cedimenti in superficie fornite dai metodi numerici convenzionali sono spesso più estese di quelle osservate in sito. Il confronto riportato in Fig. 14 conferma come l incapacità di questi metodi classici nel simulare i fenomeni di localizzazione possa costituire una delle principali cause di questi insoddisfacenti risultati. 5 CONCLUSIONI E FUTURI SVILUPPI I fenomeni di localizzazione indotti dallo scavo di gallerie superficiali, evidenziati in numerosi studi sperimentali, possono essere efficacemente simulati con una formulazione alle discontinuità forti del metodo degli elementi finiti. I risultati forniti da questo nuovo metodo, per i casi di ammasso asciutto e saturo, sono stati confrontati con la risposta fornita dalla formulazione convenzionale, evidenziando le difficoltà di quest ultima nel riprodurre la localizzazione delle deformazioni. Questo confronto, in cui si è adottato lo stesso semplice modello elasto-plastico per entrambe le formulazioni, ha inoltre mostrato come si possano ottenere miglioramenti nelle previsioni di subsidenza con l adozione del metodo alle discontinuità forti. Nei futuri sviluppi della presente ricerca si prenderà in considerazione l adozione di più avanzati modelli della risposta dilatante dello scheltro solido ed il diretto confronto dei risultati numerici con dati sperimentali disponibili in letteratura. Inoltre, lo sviluppo di pressioni neutre negative osservato nei risultati numerici qui presentati indica l opportunità di tenere conto della possibile cavitazione del fluido e del raggiungimento di condizioni di saturazione parziale nell intorno del cavo. Ringraziamenti. I metodi agli elementi finiti adottati nel presente lavoro sono stati implementati nel codice FEAP, per gentile concessione del Professor R.L. Taylor della UC Berkeley. La ricerca è finanziata nell ambito dei Progetti di ricerca di Ateneo 2002 (ex 60 %) dell Università di Roma Tor Vergata. Bibliografia Adachi T., Tamura T., Yashima A., 1985, Behaviour and simulation of sandy ground tunnel, Proc. 11 th ICSMFE, San Francisco, Armero F., Callari C., 1999, An Analysis of Strong Discontinuities in a Saturated Poro-Plastic Solid, Int. J. Numer. Meth. Eng. 46, 10, Armero F., Garikipati K., 1995, Recent advances in the analysis and numerical simulation of strain localization in inelastic solids In Proc. 4 th Comp. Plast. 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The resulting enhanced finite-element formulation is able to capture localization and avoids the pathological mesh-size dependence observed in classical implementations of continuum elasto-plastic models with strain softening. The objective of the present research is to evaluate the influence of strain localization on tunnel stability and on induced ground surface displacements. The effects of the excavation rate on the saturated soil response are also investigated. The strongdiscontinuity formulation shows to be able to capture the onset of localization and its propagation from the tunnel up to the ground surface. These results are contrasted with the response obtained by a standard formulation of the finite element method.

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