DISPENSA DI PROGETTO DEL TELAIO

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1 DISPENSA DI PROGETTO DEL TELAIO Capitolo 7 Analisi Dinaia Analitia e Nueria 7. - Introduzione La gran parte delle strutture reali è soggetta a eitazioni vibratorie. Gli senari appliativi sono i più vasti: da vibrazioni indotte da arihi aerodinaii su strutture ivili oe ponti o edifii, alle vibrazioni indotte da otore e strada sulla soa di una autoobile, a abienti vibrazionali oplessi oe quelli a ui è soggetta la struttura di un satellite al lanio. Il oportaento di un sistea eanio in ondizioni vibrazionali può essere effiaeente siulato, a partire dal alolo delle frequenze proprie e dei odi propri di vibrare, traite siulazioni di dinaia strutturale oe la FRF (risposta in frequenza), l analisi shok e rando. L analisi di base nel apo dello studio delle vibrazioni è la riera delle risonanze (analisi odale), he tendenzialente debbono essere tenute a suffiiente distanza dalle frequenze portanti delle eitazioni periodihe he agisono sul oponente o sul sistea di interesse. L analisi FEM perette di individuare sia le frequenze di risonanza he le fore odali ad esse assoiate, e pertanto onsente di apire oe eventualente intervenire a livello progettuale per spostare (innalzare o abbassare) le frequenze proprie del sistea stesso. Una volta opreso il oportaento dinaio di base della struttura traite l analisi odale, è possibile siulare la risposta dinaia rispetto a eitazioni sinusoidali (FRF, sine analysis), eitazioni rando o shok, analisi più oplesse e oputazionalente più intensive (si parla di dinaia avanzata ), he rihiedono la sheatizzazione dello sorzaento della struttura in esae. Gli sopi prinipali dell analisi dinaia vibrazionale sono: evitare he le eitazioni adano in viinanza di risonanze della struttura;

2 valutare il fattore di aplifiazione della struttura (Q fator) e gli stress assii rispetto a arihi variabili in odo noto in frequenza; valutare risposte RMS di aelerazione e stress PSD nel aso di analisi rando; valutare stress di pio e equivalenti in analisi di risposta shok SRS; effettuare studi di fatia vibrazionale; effettuare studi di onfort vibro-austio (ad esepio di NVH nel settore dei trasporti) Teoria dell analisi odali: la eania delle vibrazioni Per eglio oprendere i prinipi he perettono di eseguire siulazioni nuerihe per il oportaento dinaio dei sistei e delle strutture, è neessario riprendere la teoria analitia standard della Meania delle Vibrazioni he perette di srivere le equazioni dalle quali partire per trovare la soluzione di oto del sistea. In partiolare, il aso più seplie e quindi di pria appliazione dal punto di vista analitio risulta quello dell analisi del oportaento libero e forzato di sistei eanii lineari aratterizzati da un solo grado di libertà. Le equazioni he regolano la dinaia di tali sistei sono equazioni differenziali lineari, a oeffiienti ostanti di seondo ordine, ovvero si ha he i terini dell equazione ontengono solo la funzione inognita e le due derivate elevate ad esponente. Nel aso in ui il sistea non sia sottoposto a forzanti (f(t)), si analizzerà il oportaento libero. Qualora invee vi siano forzanti (f(t) ), si parlerà di oportaento forzato. Nell abito del oportaento forzato di un sistea è neessario fare una ulteriore distinzione. In effetti la risposta forzata di un qualsiasi sistea lineare è ostituita dalla soa di due funzioni he rappresentano l una il osiddetto transitorio e l altra il oportaento a regie. Il transitorio è quella parte del oportaento del sistea he tende ad estinguersi on il passare del tepo in funzione dello sorzaento del sistea. Il oportaento a regie del sistea è vieversa quella parte del oportaento he non si estingue (ed anzi riane inalterata se la forzante è periodia) finhé la forzante non essa oppure varia il suo ontributo. Per quanto riguarda le azioni forzanti, i si riferirà sepre a forzanti di tipo aronio in quanto tutte le funzioni di interesse tenio (forzanti periodihe e transitorie) possono essere espresse in terini di soatorie o integrali di funzioni aronihe. Poihé inoltre le equazioni sono eslusivaente lineari, è possibile sfruttare il prinipio di sovrapposizione degli effetti, per ui lo studio eslusivo di tale tipo di funzione forzante non risulta riduttivo. Nel aso di una forzante non aronia, si sopone quindi la forzante stessa nelle sue oponenti aronihe (f, f,.., f i ) e si trovano le soluzioni delle equazioni del sistea sottoposto alle singole oponenti aronihe (x, x,.., x i ); la soluzione generale è la soa delle soluzioni del sistea sottoposto alle singole oponenti aronihe xx +x +..+x i.

3 7.3 - Equazioni di oto per sistei lineari Le equazioni di oto dei sistei vibranti on uno o più gradi di libertà disendono direttaente dalle Equazioni Cardinali della Dinaia. Tuttavia una fora assai più oune di queste, è quella nota ouneente oe Legge di Newton, he disende direttaente dalle Equazioni Cardinali, appliando il Prinipio di D Alabert: F a Dove F rappresenta la risultante delle forze (esterne) appliate al orpo in analisi, la sua assa, a la sua aelerazione assoluta (rispetto a un riferiento inerziale). Questa risulta essere una equazione vettoriale nello spazio artesiano a 3 diensioni (F ed a sono vettori). Ovviaente, se per sepliità al fine dell analisi ateatia si onsidera il oto in una unia direzione rettilinea, se si prende l asse x del sistea di riferiento parallelo alla traiettoria di un qualunque punto del orpo, allora lo studio del oto del sistea può essere effettuato traite la risoluzione dell unia equazione salare: F x a x Poihé inoltre la aelerazione assoluta del orpo a x altro non è he la derivata seonda della sua posizione x rispetto al tepo, e onsiderando tra le forze esterne solo quelle he hanno oponenti lungo la direzione x, la preedente può essere risritta nella più onsueta fora: F x & Nella suddetta forula (solo foralente identia alla forula F a presentata in preedenza), a prio ebro il terine F rappresenta la risultante delle forze esterne aventi sul sistea in direzione x. Poihé si è preesso he l equazione differenziale he onsentirà lo studio del oto del sistea dovrà risultare lineare (nella funzione inognita x(t)), all interno del terine F poteo trovare eslusivaente: Funzioni di qualunque tipo a dipendenti eslusivaente dal tepo F(t), he hiaereo forzanti; Forze elastihe; Forze sorzanti. Delle forzanti si è già parlato: possono esservi (e quindi si studia il oto forzato del sistea), oppure no (e si studia quindi il oto libero). Pur essendo teoriaente di fora qualsiasi (deterinistihe o aleatorie, periodihe o aperiodihe, transitorie, e ) sfruttando i risultati dell Analisi Aronia e le proprietà derivanti dalla linearità delle equazioni, i si liiterà allo studio di forzanti aronihe del tipo ff e i ω t

4 7.4 - Forze elastihe Le forze elastihe sono forze onservative he tendono ad opporsi alle ause he le deterinano. E per tale otivo he vengono anhe dette forze di rihiao. Si parlerà di forza elastia oe di una forza he ha un odulo proporzionale (traite la ostante di elastiità generalente indiata on k) allo spostaento del orpo rispetto alla sua posizione di equilibrio. Il verso della forza (e quindi il suo segno), sarà quello he ontribuirà a far ritornare il orpo nella sua posizione di equilibrio. Indiando on x l asse lungo ui avviene il oto, se si india on x la posizione di equilibrio (statio) del orpo, la forza elastia varrà quindi: F el (t)-k(x(t)-x ) F el x x(t) x F el x(t) x x Tuttavia, se si prende la posizione di equilibrio (statio) oe origine del sistea di riferiento, allora x, e quindi si ottiene la più lassia fora: F el -kx Va tuttavia riarato he in questo aso (diversaente da quanto sritto in preedenza), la variabile x(t) rappresenta lo spostaento del orpo rispetto alla posizione di equilibrio, e non più seplieente la posizione del orpo rispetto ad un riferiento qualsiasi. Il aso più oune di forza elastia è quello della forza sviluppata da una olla a spirale (a patto he non sia né troppo opressa né troppo allungata). E proprio da questo oponente he trae origine il sibolo grafio onvenzionale per tale tipo di forze. A B Da quanto detto in preedenza risulta hiaro he la forza sviluppata da un tale eleento è proporzionale traite la ostante di elastiità k (N/) alla distanza tra gli estrei indiati on le lettere A e B. Soltanto nel aso in ui on s si intenda la deforazione della olla rispetto alle sue ondizioni a riposo, è sepre possibile indiare la forza elastia di una olla traite:

5 F el -k s E infine utile riordare he una forza elastia è anhe onservativa: per deforare la olla è neessario opiere lavoro (fornire energia) he viene auulato oe energia potenziale (di deforazione). Tale energia può essere trasforata in energia inetia (durante il oto) e viene restituita integralente se si riporta la olla alla sua lunghezza di riposo in ondizioni di veloità nulla Forze sorzanti: lo sorzaento visoso A differenza delle forze elastihe, le forze sorzanti sono forze dissipative, he onsuano energia. E proprio a ausa dell inevitabile presenza di forze di questo tipo he un orpo, una volta posto in oviento e lasiato uoversi senza ulteriori apporti energetii, è inesorabilente destinato a ferarsi dopo un tepo più o eno lungo. Se gli spostaenti sono di tipo aronio si osserva he, in orrispondenza del assio (o inio) spostaento la forza sorzante è nulla; la forza sorzante assia (in odulo), si ha invee quando gli spostaenti sono nulli. Le forze sorzanti sono aratterizzate dal fatto di essere in quadratura on gli spostaenti del sistea. Faendo riferiento alla notazione vettoriale, le forze sorzanti sono sepre sfasate di 9 (π/) rispetto alle forze elastihe. L unia forza sorzante he verrà presa in onsiderazione (e he perette di soddisfare l ipotesi di linearità dell equazione di oto) è lo sorzaento visoso. Si definise forza di sorzaento visoso, una forza il ui odulo è direttaente proporzionale (traite la ostante detta oeffiiente di sorzaento visoso Ns/) alla veloità di deforazione. Le forze di sorzaento visoso odellano assai bene le forze he agisono su un orpo he si uove on veloità relativaente basse all interno di un fluido. Un eleento a ui è ben appliabile tale odello è uno sorzatore oleodinaio, oe quello presente nelle sospensioni autoobilistihe. Da tale eleento trae origine il sibolo onvenzionale di una forza di tale tipo. x A B Poihé anhe tale forza tende ad opporsi alla variazione della veloità di deforazione, ed in analogia a quanto già detto per la forza elastia, se si india on s la distanza tra gli ohielli A e B dello sorzatore, la forza di sorzaento visoso vale quindi: F s vis - s& Se l ohiello A è fisso, e se si india on x la posizione dell ohiello B, la forza he lo sorzatore applia al orpo adiaente in orrispondenza dell ohiello B vale: F s vis - x&

6 Si osservi inoltre he a parità di apiezza di spostaenti (a parità di x ), la forza sorzante auenta linearente on la pulsazione degli spostaenti stessi. Se quindi il sistea opie vibrazioni aratterizzate da frequenze olto basse (spostaenti quasi-statii), a volte può anhe essere aettabile trasurare tali forze. Se vieversa gli spostaenti sono aratterizzati da frequenze piuttosto elevate, non onsiderare tali forze può portare ad errori del tutto inaettabili Sistei a Grado di Libertà I sistei vibranti ad un gradi di libertà sono ovviaente i asi più seplii per quanto riguarda la trattazione analitia. Ovviaente, per i vasi a più gradi di libertà, i prinipi alla base della teoria della eania delle vibrazioni riangono gli stessi, a seplieente oorrerà passare da una fora analitia ostituita da una singola equazione differenziale del oto ad una fora atriiale più oplessa, he nel aso di un elevato nuero di gradi di libertà, può essere risolta sfruttando eslusivaente gli struenti del alolo nuerio. Nei asi di analisi dinaia FEM i software sfruttano proprio i prinipi della eania delle vibrazioni appliati su ognuno dei nodi e quindi ognuno degli eleenti he ostituisono il odello, asseblando opportune atrii di assa, di sorzaento, e di rigudezza, e risolvendo il problea on etodi nuerii. La veloità del alolatore perette ovviaente di gestire sistei atriiali di diensioni anhe parehio elevate. In ogni aso, il fatto iportante è he i prinipi della teoria della vibraziione riangono i edesii per ui l analisi FEM seplieente prende questa teoria e la applia sui odelli ad eleenti finiti, ottenendo i sistei atriiali he, risolti, fornisono le soluzioni del problea. Per la teoria analitia fareo quindi riferiento prinipalente ai sistei a un grado di libertà, sapendo he per i sistei a più gradi di libertà sarà seplieente senessario passare alla fora atriiale delle equazioni, stando attenti a riwspettare opportune etodologie di passaggio per ostruire, per esepio, la atrie di assa del odello ad eleenti finiti. In sostanza, la più generihe equazione di oto a ui un sistea on un solo grado di libertà potrebbe essere riondotto è del tipo: & x kx x& + f (t) Dallo studio delle soluzioni delle equazioni differenziali lineari possono essere deterinati il oportaento libero (se f(t)) o quello forzato (se f(t) ) di un qualsiasi sistea on un solo grado di libertà. Un sistea di tale tipo può essere sheatizzato attraverso il seguente disegno:

7 x k Un orpo rigido di assa è ollegato a un basaento fisso traite una olla di ostante di rigidezza k e uno sorzatore visoso di ostante. Il orpo rigido può solo opiere traslazioni nella direzione vertiale per ui, per desriverne il oto, si seglie di utilizzare un sistea di riferiento inerziale onoassiale x, rivolto verso l alto, e on origine in orrispondenza del barientro del orpo nella posizione di equilibrio del sistea, supposta nota. In questo aso, poihé non sono presenti forzanti e uno degli estrei sia dello sorzatore he della olla sono fissi (al basaento), l equazione he regola le vibrazioni del sistea è: & x kx & x + x& + kx x& Osservazione: è hiaro he la soluzione x(t) soddisfa l equazione differenziale, il he giustifia il fatto, noto a tutti, he un orpo non sottoposto ad aluna forzante può rianere fero nella sua posizione di equilibrio. Tuttavia vedreo he questa non è l unia soluzione possibile, in quanto non è detto he all istante iniziale (per t) il orpo si trovi nella posizione di equilibrio (x) e on veloità nulla ( x& ). Se infatti la posizione iniziale oppure la veloità sono non nulle, è evidente he il sistea si uoverà, tendendo peraltro a ritornare sepre nella sua posizione di equilibrio Analisi del oto libero Per onosere oe si possa uovere un sistea on GdL in assenza di forzanti, è suffiiente risolvere la seplie equazione differenziale ordinaria, del seondo ordine, oogenea. & x + x& + kx E noto he se una funzione x(t) è effettivaente una soluzione dell equazione differenziale, questa, introdotta nell equazione stessa insiee alle sue derivate, deve dar luogo ad una identità. Dalle teoria delle equazioni differenziali ordinarie lineari e oogenee, risulta he tutte soluzioni dell equazione oogenea sono una obinazione lineare seondo due ostanti arbitrarie reali (he hiaereo A e B), delle due funzioni

8 quindi x λ t e e x e λ t x( t) λt λ t Ae + Be, in ui λ e λ sono le due soluzioni dell equazione aratteristia: λ + λ + k Sfruttando le ben note forule risolutive si ha he: λ, ± 4k A questo punto si presentano tre possibilità in funzione del valore del radiando ( -4k). Prio aso: -4k (Sistea Critio) Questo aso, assai diffiile da realizzarsi nella pratia, è utile da analizzare solo per via del suo arattere di onfine. In tale aso si ha he vi sono due radii reali oinidenti (una unia radie reale doppia), peraltro negative, he valgono: La soluzione generale è quindi: x( t) λ Ae λ t + Bte λt on A e B ostanti arbitrarie (he saranno deterinate solo traite le ondizioni iniziali). Poihé λ è negativa la soluzione è una funzione onotona deresente (essendo soa di due funzioni esponenziali negative). Si può quindi onludere he il oto libero di un sistea on sorzaento visoso per ui 4k è un transitorio aperiodio: il sistea tende a ritornare nella sua posizione di equilibrio senza aluna osillazione. La ostante di sorzaento visoso he deterina, a parità di assa e rigidezza, una soluzione di tale tipo viene detta ostante di sorzaento ritio del sistea. Seondo aso: -4k> (Sistea Sovrasorzato) In questo aso, he si verifia quando lo sorzaento del sistea è elevato, ovvero aggiore dello sorzaento ritio, si ha he l equazione aratteristia aette due soluzioni reali negative in quanto risulta sepre: In questo aso quindi la soluzione generale è: > 4k λt λt x( t) Ae + Be

9 on A e B ostanti arbitrarie. Poihé entrabe le funzione esponenziali sono negative, la soluzione totale è anora una volta una funzione onotona deresente. Anhe in questo aso si può onludere he il oto libero di un sistea on sorzaento visoso per ui >4k è un transitorio aperiodio: il sistea quindi tende a ritornare nella sua posizione di equilibrio senza aluna osillazione. Terzo aso: -4k< Questo terzo aso si verifia quindi quando lo sorzaento del sistea è liitato, ovvero inferiore dello sorzaento ritio, si ha he l equazione aratteristia non aette soluzioni reali. Tuttavia, introduendo i nueri oplessi, e in partiolare l unità iaginaria i, è possibile srivere ) (4 ) (4 ) (4 4 k i k k k espressione in ui il radiando risulta positivo, ed è quindi possibile alolarne la radie quadrata. In questo aso quindi le soluzioni dell equazione aratteristia risultano:, 4 4 k i k ± ± λ e la soluzione generale è: t k i t k i t t Be Ae Be Ae t x ) ( λ λ on A e B ostanti arbitrarie. La soluzione, on faili passaggi, può quindi essere risritta oe: + + t k i t k i t t t Be Ae e Be Ae t x 4 4 ) ( λ λ La parte dell ultio ebro tra parentesi quadre, sfruttando forulazioni siili alle Forule di Eulero (in ui si riade direttaente se AB), può essere inoltre risritta nella seguente fora: + + ϕ t k X Be Ae t k i t k i sin in ui le due ostanti X e ϕ dipendono eslusivaente dalle due ostanti arbitrarie A e B, e quindi sono arbitrarie anh esse. Naturalente tali ostanti potranno essere deterinate on la onosenza delle ondizioni iniziali (posizione e veloità della assa nell istante t). A questo punto la soluzione generale dell equazione differenziale può essere espressa nella sua fora definitiva:

10 x( t) X t e 4 sin k t + ϕ in ui, si può notare, sono soparsi i nueri oplessi, utilizzati solo oe struento per la risoluzione dell equazione differenziale: il oto in effetti deve essere realizzato da una funzione reale. 8 6 Posizione () Tepo (s) Dalla fora ateatia della soluzione si possono quindi trarre le seguenti onlusioni: Il oto libero è un oto osillatorio sorzato; t L apiezza delle osillazioni, deterinata dal terine X e, è deresente on il tepo in dipendenza dalla assa e dallo sorzaento del sistea. Poihé l apiezza tende a zero on il tepo, si evine he il sistea opie osillazioni sorzate (he diinuisono di apiezza on il tepo) nell intorno della posizione di equilibrio; Mentre l apiezza e la fase delle osillazioni dipendono dalle ondizioni iniziali, la pulsazione del oto libero è una ostante dipendente uniaente dalle aratteristihe del sistea. Essa prende il noe di pulsazione propria del sistea. Si osservi appena he è evidente he la soluzione per ui X (derivante dal aso in ui AB) soddisfa l equazione; questa soluzione, detta soluzione banale, i onfera il fatto, di oune esperienza, he un sistea non sottoposto a forze può rianere fero Paraetri vibrazionali adiensionali

11 Per paraetri adiansionali si intendono quei paraetri ottenuti on partiolari forulazioni partendo dalle aratteristihe note del sistea, he perettono di risrivere le soluzioni analitihe delle equazioni di oto in fore eglio interpretabili e quindi più oode per una valutazione ritia. Queste sono date da: k. la pulsazione naturale, indiata on ω n, e he assue il valore ω n ;. il fattore di sorzaento visoso, indiato on ξ, he assue il valore di ξ. k La pulsazione naturale è un nuero (dotato di diensioni fisihe) dipendente eslusivaente dalla assa e dalla rigidezza del sistea. Se proprio si vuole attribuire a questo nuero un signifiato fisio, si può dire he la pulsazione propria di un sistea è pari alla pulsazione propria (e anhe alla pulsazione di risonanza, he verrà introdotta nel seguito) di un sistea siile a quello preso in esae, a privo di sorzaento (). Il fattore di sorzaento visoso, oe risulta evidente dalla stessa definizione, è un nuero puro he india il rapporto tra lo sorzaento effettivaente presente nel sistea, e quello ritio. Se si riorda il signifiato dello sorzaento ritio, si evine he solo sistei aratterizzati da un fattore di sorzaento visoso inore di, sono aratterizzati da un oportaento libero di tipo osillante. Introduendo tali paraetri, la soluzione del oto libero del sistea può essere risritta oe: x( t) X e quindi la pulsazione propria varrà: ξω t e sin ( ωn ξ t + ϕ ) n ω p k 4k 4k ωn ξ Dereento logaritio La onosenza dello sorzaento è sepre il fattore più ritio per la odellazione di un sistea eanio: entre per la isura (o la stia) della assa e della rigidezza esistono più tenihe, e di elevata preisione, spesso l identifiazione del valore dello sorzaento on un errore assio del % (inaettabile per asse e rigidezza) ostituise un risultato più he soddisfaente. Traite l analisi del oportaento libero del sistea, note he siano la sua assa e la rigidezza, è possibile ottenere ounque una buona stia di tale valore. Si onsiderino due assii relativi onseutivi della soluzione del oto libero. Tali assii si avranno in orrispondenza degli istanti in ui il seno raggiunge il suo valore assio, ovvero il valore unitario. Se si suppone he il prio assio si avrà in orrispondenza dell istante t, allora il seondo assio si avrà in orrispondenza del tepo:

12 t t + T t + π ω p t + ω n π ξ in ui T è il periodo dell osillazione libera. L apiezza della osillazione in tali istanti varrà allora: x ( ) ξωnt x t X e ξω nt ξω n (t+ T) ξω nt ξω nt ( t ) X e X e X e e Effettuando il logarito naturale del rapporto di tali due apiezze si ottiene dunque: x( t) X e ln ln ( ) x t X e ξωnt ξω t ξω T n e n ln e ξω T n ln ξω T π πξ n ( e ) ξω nt ξω n ω n ξ ξ Il logarito del rapporto delle apiezze delle vibrazioni in orrispondenza di due assii suessivi (appunto detto dereento logaritio) è quindi dipendente eslusivaente dal fattore di sorzaento visoso. Noto quindi il valore del dereento (da prove sperientali), è possibile riavare il fattore di sorzaento visoso on la preisione desiderata attraverso tenihe di alolo nuerio. Una volta alolato di fattore di sorzaento visoso ξ, noti i valori della assa e della rigidezza, è possibile riavare il valore della ostante di sorzaento visoso Posizione () Moto forzato Tepo (s) Un sistea on un solo grado di libertà on sorzaento visoso su ui agise una forzante di tipo aronio può essere sheatizzato attraverso il seguente disegno:

13 x F(t) k Un orpo rigido di assa è ollegato a un basaento fisso traite una olla di ostante di rigidezza k e uno sorzatore visoso di ostante. Il orpo rigido può solo opiere traslazioni nella direzione vertiale e si seglie di utilizzare un sistea di riferiento inerziale onoassiale x, rivolto verso l alto, e on origine in orrispondenza del barientro del orpo nella posizione di equilibrio del sistea. In questo aso è presente una forzante aronia he supporreo di pulsazione generia Ω e apiezza generia F. A seonda he si vogliano utilizzare i nueri oplessi (la notazione esponenziale) oppure i si voglia liitare ai nueri reali, la forzante può essere espressa nelle due fore seguenti: F(t)F os(ω t) F(t)F e i Ω t In ogni aso, poihé il basaento è fisso, l equazione he regola le vibrazioni del sistea è: Ovvero & x kx x& + F (t) & x + x& + kx F (t) E noto ounque he tutte le soluzioni di una equazione differenziale opleta si ottengono soando a tutte le soluzioni dell equazione oogenea assoiata, una qualsiasi soluzione della equazione opleta. Per quanto onerne l equazione oogenea assoiata, ovvero: & x + x& + kx le sue soluzioni sono già state studiate in preedenza, laddove si è rierato il oportaento libero del sistea. In tale oasione si è visto he le vibrazioni he soddisfano la preedente equazione sono sorzate; queste quindi (ad eezione del aso in ui non vi sia aluno sorzaento), in un tepo più o eno lungo tendono ad annullarsi. E proprio per tale otivo he tale parte della soluzione del sistea forzato viene hiaata soluzione di transitorio, o più seplieente transitorio.

14 Da quanto detto in preedenza si ha he nei prii istanti del oto del sistea,le vibrazioni sono ottenibili oe soa del transitorio e della soluzione partiolare. Con il passare del tepo il transitorio tende ad estinguersi, e quindi dopo un erto periodo (in dipendenza dallo sorzaento) le vibrazioni forzate sono ostituite eslusivaente dalla soluzione partiolare. Tale soluzione perarrà inalterata, senza estinguersi, finhé non intervengano variazioni della forzante. Per tali otivi la soluzione partiolare dell equazione di oto ostituise il oportaento a regie del sistea Transitorio Regie Risposta opleta Da adesso in poi quando si parlerà di oportaento forzato, si farà ipliito riferiento al solo al oportaento a regie. Se per la risoluzione dell equazione differenziale si sfrutta la tenia dei nueri oplessi e la linearità del sistea, è faile verifiare he se la forzante è del tipo F(t)F e i Ω t, allora neessariaente per verifiare identiaente l equazione differenziale la soluzione dovrà essere del tipo x(t)x e i Ω t. Ciò signifia he le vibrazioni della assa dovranno avere la stessa pulsazione della forzante. In ogni aso, se x(t)x e iωt è effettivaente la soluzione del sistea, risultano anhe: x(t) & iωx & x&( t) ω X e iωt e Introduendo le preedenti nell equazione differenziale si ottiene: iωt o anhe: iωt iωt iωt ω X e + iωx e + kx e F iωt [ ω + iω + k)x F ] e ( e iωt Poihé la preedente deve essere verifiata in ogni istante (visto anhe he una funzione esponenziale non può ai annullarsi), allora dovrà essere: ( ω + iω + k)x F ovvero anhe: F ( k ω ) + iω X

15 Si ottiene quindi he il odulo delle osillazioni è direttaente proporzionale al odulo della forzante (oe i si doveva già aspettare vista la linearità del sistea); la ostante di proporzionalità sarà data dal odulo della funzione fratta (oplessa) a seondo ebro. Anhe la fase tra le osillazioni e la forzante sarà ottenibile oe la fase della stessa funzione oplessa. Sfruttandole proprietà dei nueri oplessi si ha quindi he il odulo dell apiezza è alolabile oe: X F ( k ω ) + iω F ( k ω ) + iω F ( k ω ) + iω F ( k ω ) + ( ω) Mentre il valore della fase risulta essere dato dall espressione: fase( X fase ) fase F (k ω fase ) + iω ( F ) + fase (k ω ) + iω ω ( k ω ) ( F ) + fase() fase ( k ω ) + iω ) fase( F ) artan Riettanza Da quanto visto sopra si è potuto diostrare he, note le aratteristihe del sistea (, k e ), e note anhe quelle della forza aronia (F e ω), è possibile trovare apiezza e fase delle vibrazioni forzate (nella fase di oportaento a regie) traite la seguente relazione: X F (k ω ) + iω Dividendo entrabi i ebri per F è possibile ottenere una funzione oplessa della variabile reale ω he riveste una notevole iportanza nello studio dei sistei vibranti. Tale funzione, he rientra nella ategoria più generale delle Funzioni di Risposta in Frequenza (FRFs - Frequeny Response Funtions) o anhe delle Funzioni di Trasferiento (TFs - Transfer Funtions), viene generalente indiata on il sibolo α(ω) e prende il noe di Riettanza del sistea: X α( ω) ( ω) F ( k ω ) + iω

16 Il signifiato fisio della riettanza appare subito ovvio, infatti se si pensa di iporre al sistea vibrante una forzante aronia, di pulsazione generia ω e di odulo unitario (F ), il odulo e la fase delle vibrazioni he ne onseguono nella fase di regie sono rappresentate dalla riettanza stessa. L utilità della riettanza è anora più evidente in quanto, sfruttando anhe le proprietà di linearità, se sul sistea agise una forza aronia di apiezza F e di pulsazione ω note, la riettanza i onsente di trovare iediataente la soluzione a regie del sistea, senza risolvere aluna equazione differenziale. L apiezza delle vibrazioni risultanti sarà pari a F volte l apiezza della funzione di riettanza alolata in ω. Il odulo della riettanza orrisponde infatti all apiezza delle vibrazioni se la forzante fosse unitaria, poihé quindi la forza effettivaente agente sul sistea è F volte quella unitaria, anhe le vibrazioni he ne onseguono sono F volte quelle alolate traite la Riettanza. La fase delle vibrazioni inoltre sarà seplieente la fase della funzione di riettanza alolata in ω. E tutto iò qualunque siano F e ω. Inoltre, sfruttando in aniera più opleta le proprietà di linearità del sistea, se la forzante F(t) è di tipo generio (non neessariaente aronia), indiando on F (ω) la sua Trasforata di Fourier (o eglio, il suo ontenuto in frequenza), allora si ha he effettuando seplieente il prodotto tra la riettanza e il ontenuto in frequenza della forzante, si ottiene direttaente il ontenuto in frequenza delle vibrazioni risultanti. In parole povere: X ( ω) α ( ω) F ( ω Questa seplie operazione è in generale più he suffiiente ad un ingegnere per verifiare la onfaenza della risposta di un sistea eanio alle speifihe di progetto. Se però interessasse la deterinazione esatta dell andaento teporale delle vibrazioni del sistea sottoposto alla forza generia F(t), una volta ottenuto il ontenuto in frequenza opleto delle vibrazioni (in terini di odulo e fase, visto he X (ω) è una funzione oplessa), è suffiiente effettuare l AntiTrasforata di Fourier per ottenere il risultato desiderato (ovvero opiere il passaggio dal doinio delle frequenze al doinio del tepo): ) X ( ω ) F (AntiTrasforata di Fourier) x( t) Della riettanza è possibile dare una forulazione he oinvolge i paraetri diensionali già preedenteente introdotti. Dividendo nueratore e denoinatore per lo stesso nuero k, si ottiene infatti on faili passaggi algebrii: α( ω) X F ( ω) k ω k + i ω k k ω ωn ω + iξ ωn. In pratia quindi la risposta del sistea dipende dalla rigidezza, dal fattore di sorzaento visoso, e dal rapporto tra la pulsazione della forzante e la pulsazione naturale (ω/ω n ).

17 Rappresentazione della Riettanza Ben più iportante he fornire una forulazione analitia della riettanza, è il fornirne una adeguata (e soprattutto hiara) rappresentazione grafia. Poihé, oe si è già detto, la riettanza è una funzione oplessa della variabile reale ω, se si vuole darne una rappresentazione espliita (in grafii in ui opare espliitaente la variabile indipendente ω) sono neessari aleno due grafii. In partiolare, per ottenere una possibile rappresentazione espliita si potrebbero plottare in due grafii separati (e agari sovrapposti) la parte reale e quella iaginaria della riettanza al variare di ω. 4 x -4 x -4 3 Parte reale - Parte iaginaria Pulsazione (rad/s) -6 - Pulsazione (rad/s) Tale rappresentazione è però assai di rado utilizzata in apo ingegneristio. Di solito si preferise infatti rappresentare la riettanza (e tutte le altre FRFs) plottandone su due grafii sovrapposti il odulo e la fase. Se poi si seglie di rappresentare la variabile indipendente in sala logaritia (in base ) e il odulo della riettanza in sala Deibel (db in pratia un logarito in base /), allora tale rappresentazione viene detta Diagraa di Bode Modulo (db) -9 Fase (deg) Pulsazione (rad/s) -8 - Pulsazione (rad/s) In aluni testi più datati, sfruttando la notazione on i paraetri diensionali, e ponendo oe variabile indipendente il rapporto (ω/ω n ), si trovano degli interessanti Diagrai di Bode della

18 riettanza (diagraata a eno del fattore oltipliativo /k). Questi grafii, sono interessanti perhé i ostrano oe a eno della ostante /k, e in funzione del rapporto (ω/ω n ), tutti i Diagrai di Bode della riettanza di tutti i sistei on GdL e sorzaento visoso, dipendono uniaente dal paraetro di sorzaento visoso. In teoria quindi basta sapere la rigidezza del sistea, il suo sorzaento (adiensionale) ed avere sotto ano un unio Diagraa di Bode, per poter risolvere on un seplie righello e una alolatrie un qualsiasi problea di dinaia di sistei on un solo grado di libertà. Ai tepi oderni la notevole diffusione degli struenti inforatii e di software speializzato perette di poter rapidaente traiate il diagraa di Bode speifio per ogni possibile sistea eanio (in Matlab basta una sola istruzione), a questi diagrai rivestono anora una notevole iportanza didattia Espansione ai sitei a n gradi di libertà e al FEM

19 Coe preedenteente detto, il aso di sistei vibranti ad n gradi di libertà stfrutta opletaente i prinipi ed i odelli visti per il aso a grado di libertà, on la sola differenza he il fatto di avere più possibilità di oviento introdue la neessità di adottare una notazione atriiale dell equazione del oto in ui siano inserite tutte le aratteristihe del sistea riferite a assa, sorzaenti, rigidezze, forzanti. Per i sistei eanii, il problea può essere liitato allo studio di soli o 3 gradi di libertà dati dalle possibilità di oviento del sistea stesso. Per quanto riguarda invee l analisi dinaia appliata all analisi FEM, i onetti analitii ed i prinipi fisii riangono i edesii, a i gadi di libertà del sistea ostutuito dai singoli nodi ed eleenti on i quali è distretizzato il odello possono essere parehio nuerosi, e quindi il aolo neessita una risoluzione nueria seondo varie etodologie. In ogni aso, l equazione di base dalla quale si parte, è data da: {} & x + C{ x& } + K{ x} { F(t) } M Dove: {x} - il vettore di stato, forato dagli spostaenti degli N nodi selti per aratterizzare la deforazione della struttura; M - atrie delle asse da onentrare negli N nodi; K - atrie delle rigidezze di ollegaento tra gli N nodi; C - atrie degli sorzaenti dei oti relativi tra gli N nodi; {F(t)} - vettore delle forze dinaihe appliate a iasun nodo. Anhe in questo aso è possibile inontrare ovviaente un aso libero e un aso forzato. In opleta analogia on quanto visto per i sistei a un grado di liberà, nel aso libero è neessario risolvere l equazione differenziale oogenea in fora atriiale Iponendo la soluzione M {} & x + C{ x& } + K{ x} { } {x} {x } e j ω t Si trova he esistono N valori di ω [ω < ω < ω 3,..., < ω n ] per i quali, sostituiti nell equazione oogenea, è possibile trovare una soluzione diversa da quella identiaente nulla (soluzione banale). I valori ω i sono le pulsazioni naturali del sistea e ostituisono, dal punto di vista ateatio, gli autovalori del sistea di equazioni (algebrihe) assoiate. Ad ogni autovalore orrisponde un autovettore Y i, forato da N oponenti. Ma quale è il signifiato fisio degli autovalori (pulsazioni naturali) e degli autovettori (odi di vibrare)? Signifiato degli autovalori ( pulsazioni naturali) rappresentano quelle pulsazioni di osillazione on le quali il sistea si può uovere anhe se non è sottoposto ad aluna forzante (le vibrazioni sono deterinate solo da ondizioni iniziali - spostaento e veloità - non nulle). La loro aratteristia dipende solo dai paraetri del sistea. Signifiato fisio dell autovettore (il odo orrispondente ad una data pulsazione naturale) Se si suppone he il sistea libero vibri on una frequenza pari ad una

20 pullsazione natturale ωi, si s ha he le soluzioni del d sistea lineare assoiato (il vettore v dellee appiezze di osillazione o di ogni punnto xi) sono o infinite, a tutte prooporzionali tra di loro.. Uno qualsiasii di tali veettori ostittuise un autovettore a del siste a. Se si trovano t glii autovettori orrrispondentii ad ogni puulsazione naaturale ωi (vvettori olonnna) e si aff ffianano, sii ottiiene una aatrie quadrrata Y di di ensioni (N NxN) he vieene hiaatta atrie odale. Per esepiio, se si vuoole alolarre le vibraziioni flession nali di una trave doppiiaente ap ppoggiata sii può far riorso ad unaa disretizzaazione del sistea s on ntinuo, apprrossiandollo on un siistea di N asse onentrate (noodi). Il oddello a para etri oneentrati avrà allora N grradi di liberttà he sonoo gli sposta enti lungo la vertialee di iasun nodo. Il sistea avrà a allora N autovalorri ed N autoovettori. Gli autovalorii sono le freequenze on n le quali laa trave può vibrare v anhhe se non è forzante; gli autovettori sono lee deforate he la travee assue inn orrisponddenza ad ognni frequenzaa naturale. Se la travve vibra allla frequenza naturalee ωi, la o orrispondennte deforaata è neesssariaentee proporzionnale all autoovettore (laa fora della d defor ata della trave t non abia nel tepo). Inn generale laa legge di oto di un u orpo liibero ontieene tutte e solo le frrequenze naaturali e laa deforata è ostituita da una o binazione lineare dei odi proprii del siste a. d un vettoree di forzantii di tipo ar onio Per quantoo riguarda laa risposta deel sistea soottoposto ad {F F}{f}eejΩt (tutte della edesiaa frequenzaa Ω), vale lo stesso dissorso già fatto f per i ssistei ad un u grado dii libertà. Laa legge di oto di ognni nodo è data d dalla soa s di un u transitoriio (he dop po un ertoo tepo si estingue) e della d soluzioone di regi e he è, per ogni punnto, una funnzione aro onia on laa stessa frequuenza delle forzanti. Per alolaare la rispossta a regiee si può prooedere si boliaentte oe perr i sistei ad a un gradoo di libertà: si suppone quindi he la risposta sia anh esssa aronia on la steessa frequen nza Ω dellaa forzante e quindi {x}{x}ej(ωt+ϕ) in ui {x} è il vettoree delle apiiezze delle osillazioni o dei nodi (nnel aso del sistea ad un grado dii libertà era un sepliee salare). Poihè P ora risulta: r

21 { x & } { && x } jω {x }e -Ω {x }e j( Ω t + ϕ ) j( Ω t + ϕ ) Dal sistea di equazioni differenziali si ottiene: [ Ω M + j Ω C + K ] x } e { j ( Ω t + ϕ ) j { f }e Ω t Ed eliinando la dipendenza dal tepo si ha: [ Ω M + jω C + K ]{ { x } e jϕϕ { f } Dove la atrie vienee detta atrie di riettanza del sistea ad N gradi di libertà ed è sietria.. In partiolare, l eleento generio a ij (Ω) della atrie è una funzione he rappresenta l apiezzaa della osillazione del nodo i-esio quando il sistea è sottoposto ad una unia forzante di apiezzaa unitaria (per ogni frequenza Ω) ) agente sul nodo j-esio. Se si suppone, per sepliità, he il sistea abbia 3 gradi di libertà si ottiene: Se si ipone una forzante unitaria al solo nodo, il sistea può essere risritto oe: In odo analogo si definisonoo le atrii Y(Ω) ed A(Ω) i ui eleenti generii di posto ij rappresentano l apiezza della veloità e dell'aelerazione del nodo i-esio quando il sistea è sottoposto ad un unia forzante d apiezza unitaria agente sul nodo j-esio Analisi Modale Una partiolarità dei sistei a n gradi di libertà è quella di poter sfruttare gli autovalori alolati per assuere un partiolare sistea di riferiento n-diensionale grazie alla partiolarità di ortogonalità dei opdi di vibrare. In partiolare, on riferiento ad un sistea vibrante ad n gradi di libertà appliato al aso di un odello preventivaente disretizzato seondo la tenia degli eleenti finiti si ha il seguente sistea algebrio differenziale del seondo ordine: Consideriao ora il relativo sistea non sorzato:

22 Di questo è possibile alolare gli autovalori ed i rispettivi autovettori on un seplie problea ateatio, del tipo Dove i λ n sono gli autovettori, e gli sono gli autovettori del sistea, nella fora di vettori olonna. Con questa forulazione si alolano gli autovalori on: e suessivaente gli autovettori assoiati a ogni autovalore: E' osì possibile utilizzate gli autovettori, he sono i odi propri del sistea approssiati, per la diagonalizzazione del sistea, he, se anhe la atrie di sorzaento è diagonalizzabile, porta a srivere il sistea in oordinate odali oe un sistea di equazioni tra loro indipendenti, e he quindi risulta olto più vantaggioso da alolare rispetto al sistea atriiale lassio. Effettuando il abio di oordinate si ha quindi: Si può osservare he questo abio di oordinate è leggittio perhè gli autovettori sono tra loro indipendenti, in virtù dell'ortogonalità. La nuova variabile onsente di srivere il problea nella fora: Preoltipliando ora l'equazione per la atrie trasposta degli autovettori: si ottiene un sistea a atrii diagonali, assuendo he lo anhe la atrie di sorzaento sia tale, il he è vero solo per sorzaento piolo e frequenze naturali del sistea lontane tra loro. Il problea si può quindi srivere nella fora: Che risulta un nuovo sistea dove però le equazioni differenziali sono indipendenti tra di loro proprio in virtù della diagonalizzazione delle atrii he ne ha onsentito il disaoppiaento. Il nuovo sistea si presenta quindi oe una serie di equazioni differenziali singole ed indipendenti tra di loro nella fora

23 dove le e sono dette rispettivaente assa odale e rigidezza odale. Divido l'equazione per la assa odale assoiata: È possibile ritrovare la pulsazione naturale non sorzata lo sorzaento ritio Ed il oeffiiente di sorzaento odale E si può srivere l'equazione in oordinate odali in fora anonia: Trasforando l equazione seondo Laplae: È quindi possibile definire la funzione di trasferiento per gli spostaenti odali A questo punto, una volta aver ottenuto il vettore deglòi spostaenti odali

24 È possibile passare alla fora vettoriale seondo il sistea di riferiento onsueto sfruttando seplieente, anora una volta, la atrie odale ostriuta a partire dagli autovettori trovati Il vantaggio di tale approio è ovviaente notevole: il fatto di poter risolvere equazioni disaoppiate rende la proedura di alolo olto eno gravosa e onsente quindi di risolvere in tepi aettabili anhe sisteii ostituiti da diensioni atriiale di notevoli diensioni. È quindi possibile notare he partendo dall equazione atriiale utilizzata nei sistei vibranti nella eania delle Vibrazioni, è possibile indagare dal punto di vista dinaio una struttura o un oponente qualsiasi odellato ad eleenti finiti, seplieente iaginando he il sistea di nodi realizzato sia nient altro he un sistea vibrante, al ui interno si hanno tutte le aratteristihe relative a asse, rigidezze, e sorzaenti, tipihe dei sistei eanii. Eventuali forzanti saranno rappresentate ovviaente da singole forze agenti sui singoli nodi. Grazie a questa etodologia di srittura delle equazioni del oto è possibile indagare il oportaento dinaio di oponenti e di strutture utilizzando un approio ad eleenti finiti, olto onveniente soprattutto per la possibilità di indagare in odo approfondito il oportaento dinaio di eleenti e strutture oplesse, ipossibili da analizzare on etodi ateatii. In partiolare, gli aspetti prinipali he possono essere indagati on siulazioni FEM dinaihe sono: Analisi odale per la deterinazione delle frequenze proprie e dei odi di vibrare Analisi del transitorio Deterinazione della Funzione di trasferiento della strutture. Queste risultano fondaentali per verifiare se il oponente si diostra adatto all appliazione per il quale è progettato: se infatti per esepio una frequenza propria risultra troppo prossia a una frequenza aratteristia di una delle forzanti esterne, il problea può essere partiolarente iportante in quanto le osillazioni he il oponente subise possono auentare notevolente fino ad arrivare alla rottura o, ounque, a possibili anoalie nel funzionaento. Nelle eseritazioni seguenti realizzate on il software Mar saranno onsiderati singolarene i possibili asi di studio per quanto riguarda l analisi dinaia appliata a odelli FEM NVH: Noise, vibration, and harshness Noise, vibration, and harshness (NVH), anhe noto on il noe di noise and vibration (N&V), è lo studio e le suessive odifihe volte a liitare o eliinare I fenoeni di disturb austio e

25 vibrazionale nei veioli. Ora, se da una parte le vibrazioni ed il noise possono essere failente isurati utilizzando struenti oggettivi, l aspetto harshness del problea è invee una questione più soggettiva isurata attraverso le sensazioni dell oupante oppure ediante struenti di siulazione analitii he perettono di perepire ed interpretare quello he l oupante potrebbe perepire a livello di ofort. Naturalente questo oplia nolto l analisi e la siulazione in quanto spesso le isurazioni oggettive sbagliano la predizione o la giusta orrelazione on quello he l individuo uano può realente perepire dall interno della vettura. Questo è parzialente dato dal fatto he il orpo unao possiede delle frequenze proprie oe se fosse un qualsiasi sistea eanio, a le variabili in gioo sono olto più oplesse ed elaborate per ui non è detto he la stessa vibrazione possa essere perepita in egual odo dal software di siulazione e dalla persona realte. E per di più, la stessa vibrazione può essere perepita in aniera differente anhe tra due persone reali: questo rende quindi il problea olto più vasto, e per questo otivo le siulazioni al alolatore devono anora essere integrate on prove reali per poter verifiare i risultati e avere ogni volta settaggi sepre più raffinati da utilizzare nei software Fonti di NVH In un veiolo, le fonti dall quali possono provenire le vibrazioni he possiono reare disturbo all oupante sono olteplii, tra le quali si ha il otore, lo sterzo, il ontatto suolo-pneuatii, i freni, e il vento. Altre fonti ouli sono le vibrazioni provenienti da rotori quali per esepio le ventole di raffreddaento dei radiatori o degli ausiliari del otore. Nella aggior parte dei asi il problea è quello per ui le vibrazioni si trasettono attraverso la struttura del veiolo e si espriono poi nell abitaolo sotto fora di ruore. Queste fenoenologie vengono in genere lassifiate oe "struture-borne" noise. In altri asi si tratta du vibrazioni austihe trasesse attraverso l abiente, per ui il ezzo in ui la vibrazione viaggia non è più la struttura del veiolo a l aria he lo ironda, ed in questo aso si parla di airborne paths. Per le prie si può intervenire odellando i singoli oponenti in aniera aurata in odo da evitare per esepio he la frequenza della vibrazione di disturbo ada in una frequenza propria del oponente, on l effetto di aplifiare il disturbo invee he di ridurlo. Inoltre si può intervenire utilizzando ateriali isolanto o eleenti di sorzaento tra i singoli oponenti. In aluni asi però le vibrazioni sono talente evidenti (anhe in seguito all aplifiazione data dalle frequenze proprie) he è neessario intervenire odifiando la geoetria del pezzo o, ounque, la sua struttura Verifia Sperientale In olti asi la verifia NVH viene operata ediante delle apagne di sperientaione he prevedono la lettura delle inforazioni relative alle vibrazioni grazie a partiolari struenti di isura. In genere si utilizzano a tal sopo irofoni, aeleroteri, dinaoetri, talvolta in abienti studiati speufiataente oe le aere aneoihe. Tutte le inforazioni trasesse dai sensori vengono aquisite ediante shede di aquisizione on struenti inforatii, ed i dati

26 vengono poi trattati on un approio basato sull analisi in frequenza, andando ioè a trattare i dati on struenti nuerii quali la Fast Fourier Transfor he perette di passare dal doinio del tepo a dquello delle frequenze, allo sopo di visualizzare quali sono i api di frequenza predoinanti, in orrispondenza dei quali si avranno le situazioni più ritihe Coputer-based odeling Negli ultii anni, grazie alla resente potenza disponibile dei alolatori e quindi la resente apaità di ondurre siulazioni oplesse, all analisi sperientale si sta affianando l analisi oputerizzata basata su odelli ad eleenti finiti in grado di valutare la risposta del veiolo a partiolare forzanti definite grazie a partiolari spettri in frequenza. Il vantaggio in questo aso è prinipalente dato dal fatto per ui le siulazioni possono esse ondotte anora in fase progettuale senza he si neessiti di un odello reali finito, per ui eventuali odifihe e suessive verifihe risultano essere olto più veloi e soprattutto olto più eonoihe. Attualente, gli standard tipii per le verifihe NVH su veioli oeriali prevede anzitutto he la frequenza di risonanza del telaio del veiolo sia aggiore di 3-4 Hz. Suessivaente a questa vengono veriofiate poi tutta una serie di oponenti entrando di volta in volta sepre più nei partiolari. Vengono quindi indagate le frequenze sottoodali di pannelli e di sottoeleenti, e vengono ondotte anhe siulazioni per verifiare il livello austio nell abitaolo he sarà perepito dagli oupanti. L obiettivo è naturalente quello di evitare he possibili risonanze o sovrapposizioni di vibrazioni possano reare situazioni negative per il ofort, sia dal punto di vista di vibrazioni strutturali, sia dal punto di vista del ruore he queste potrebbero generare.

27 7. - Eseritazioni ondotte sulle analisi dinaihe Riera dellee pulsazoni proprie e dei odi di vibrare Il prio aso he viene trattato in una siulazione Fe per quanto riguarda l analisi dinaia è quello relativo al odello di un asta alla ui soità è presente una assa onentrata. Il aso è ben rappresentato anhe dalle funzioni analitihe. In partiolare, è possibile osservare he in seguito alla rigidezza data dall asta e dalla assa posta sulla sua soità, la struttura può esseree soggetta a fenoeni di osillazione vibrazionale he portano ad avere soluzioni in ui l asta stessa non risulta essere perfettaente vertiale. In partiolare per questo aso, ounque, data la sietria della struttura possiao aspettari he a fronte di una osillazione on una data apiezza sul piano xz alla pulsazione ωi, vi sia una osillazione sul piano yz alla pulsazione ωj, e he si possa avere he i due valori di pulsazione siano uguali tra loro. Il risultato è quello di una sovrapposizione delle due osillazioni in un ovientoo olto più oplesso, he onferise una traiettoria ellittia allaa assa onentrata, a he può ounque essere soposto, grazie al prinipio di sovrapposiz zione degli effetti, nei due oti vibrazionali eleentari dati da Realizziao quindi il odello al Mar utilizzando eleenti 3D di tipo Thin Walled Setion Bea, ovvero eleento ti tipo trave a parete sottile. Ipostiao anhe Raggio edio Spessore di Parete Il ariaento esterno è dato dai vinoli sull asta. In partiolare si prevedee un inastro alla base dell asta, e quindi sul nodo inferiore, in grado di broare tutti e sei i gradi di libertà. Questo risulta suffiiente per poter evitare i oti rigidi del sistea e quindi la possibile labilità. Il ateriale utilizzato risulta essere Aiaio (E Mpa, Poisson,33). In partiolare, per questa siulazione è iportante anhe aggiungere alle proprietà del aterialee le aratteristihe date dalla densità, in quanto nelle equazioni risolventi opare anhe l inerzia, e quindi il software devee essere in grado di oprendere oe questa si sviluppa. È quindi neessario settare anhe tale valore pari a 7,8E-9. Per quanto riguarda la ondizione della assa onentrata sull estreità superiore, infine, questa viene posta oe ondizione iniziale. In partiolar odo, è possibile definire una ondizione al ontorno eania sul odello del tipo point ass alla quale oorre definire seplieente le aratteristihe relativee alla assaa e ai oenti di inerzia. In questo odo il software è in grado di saper oe il punto ateriale si oporta in seguito alle solleitazioni dinaihe he subise, ed è in grado di ouniare al odello gli effetti onseguenti alla presenza delle solleitazioni inerziali. Copyright teniadaorsa.it