MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 10 febbraio 2004 studenti vecchio ordinamento

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1 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 10 febbraio 2004 studenti vecchio ordinamento Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: prof. Pacati (SI) dott. Renò (SI) prof. Mari-dott. Renò (GR) dott. Riccarelli (AR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Un investitore detiene in t = 0 un contratto che prevede gli venga corrisposti 1500 dopo un anno, 1500 dopo un anno e sei mesi e 3000 dopo due anni. Si calcoli il valore W 1 in t = 0 dell investimento in regime di legge esponenziale, con intensità istantanea di interesse δ = 0.03 anni 1. W 1 = Si calcoli il valore W 2 in t = 0 dell investimento in regime di legge lineare (legge di sconto razionale), al tasso annuo semplice i = 3%. W 2 = Supponendo infine che il prezzo di acquisto in t sia uguale a W 2, si calcoli in t = 2 mesi il valore residuo V dell investimento secondo la legge esponenziale di intensità istantanea di interesse δ. V = Esercizio 2. Si consideri l operazione finanziaria x = { 100, 52, 50} sullo scadenzario t = {4, 8, 12} mesi. Si calcoli il tasso interno di rendimento di tale attività finanziaria e lo si esprima su forma percentuale e su base annua. i = % Si calcoli il valore x 0 da aggiungere in zero all operazione x/t, affinché risulti equa in legge esponenziale, al tasso i calcolato in precedenza. x 0 = % Si calcoli il valore x 0 da aggiungere in zero all operazione x/t, affinché risulti equa in legge esponenziale, al tasso i = 10%. x 0 = %

2 Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per una somma S = , da restituirsi secondo un ammortamento in 4 rate semestrali posticipate al tasso annuo i = 3%. L ammortamento prescelto è di tipo non standard e prevede che le prime due rate siano uguali, e le ultime due quote capitali siano pari a Si compili il piano di ammortamento, giustificando adeguatamente i valori inseriti. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo

3 Esercizio 4. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0 sia in vigore, per s 3 anni, la seguente struttura delle intensità di rendimento a scadenza: h(0, s) = s s 2 con le scadenze s espresse in anni. In questo mercato, si calcolino: il prezzo P 1 e la duration D 1 espressa in anni di un TCF biennale con cedola annuale, tasso nominale del 6%, capitale facciale pari a C = 100. P 1 =, D 1 = anni; il prezzo P 2, pattuito in t = 0, pagabile in T = 1 anno e 6 mesi, per avere il pagamento di 150 in s = 3 anni. P 2 =. Esercizio 5. Un istituzione finanziaria detiene due portafogli obbligazionari: il primo x vale 3 milioni di e ha una duration di 3.5 anni. Il secondo y vale un milione di ed è interamente composto da BOT a tre mesi. Si calcoli la duration D(0, z) del portafoglio complessivo z = x + y. D(0, z) = anni Si supponga poi che l istituzione aggiunga al portafoglio una rendita perpetua posticipata a rata costante r, con rata di Ipotizzando che la struttura dei tassi sia piatta al tasso i = 4%, si calcolino la duration D(0, r) della rendita e la duration D(0, u) del portafoglio u = z + r. D(0, r) = anni, D(0, u) =

4 Esercizio 6. Si consideri un mercato in cui, al tempo t = 0, è in vigore una struttura per scadenza dei tassi di interesse piatta, al livello i = 4% in base annua. Siano x e y due TTV perfettamente indicizzati a 10 anni, con cedola annuale e nominale 100 ; x è senza spread, mentre ciascuna cedola di y ha uno spread di Determinare il valore e le durate medie finanziarie (in anni) due titoli. V (0, x) = D(0, x) = anni V (0, y) = D(0, y) = anni Domanda Bonus: Ricalcolare D(0, y) rimuovendo l ipotesi che la struttura dei tassi sia piatta e sapendo che: il tasso a pronti a 10 anni è il 5%, il tasso swap a 10 anni è il 4.5%, una rendita francese a 10 anni a rata annuale ha durata media finanziaria 5.25 anni. D(0, y) = anni

5 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 10 febbraio 2004 studenti vecchio ordinamento Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: prof. Pacati (SI) dott. Renò (SI) prof. Mari-dott. Renò (GR) dott. Riccarelli (AR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Un investitore detiene in t = 0 un contratto che prevede gli venga corrisposti 1500 dopo un anno, 1500 dopo un anno e sei mesi e 3000 dopo due anni. Si calcoli il valore W 1 in t = 0 dell investimento in regime di legge esponenziale, con intensità istantanea di interesse δ = 0.04 anni 1. W 1 = Si calcoli il valore W 2 in t = 0 dell investimento in regime di legge lineare (legge di sconto razionale), al tasso annuo semplice i = 4%. W 2 = Supponendo infine che il prezzo di acquisto in t sia uguale a W 2, si calcoli in t = 2 mesi il valore residuo V dell investimento secondo la legge esponenziale di intensità istantanea di interesse δ. V = Esercizio 2. Si consideri l operazione finanziaria x = { 100, 53, 50} sullo scadenzario t = {4, 8, 12} mesi. Si calcoli il tasso interno di rendimento di tale attività finanziaria e lo si esprima su forma percentuale e su base annua. i = % Si calcoli il valore x 0 da aggiungere in zero all operazione x/t, affinché risulti equa in legge esponenziale, al tasso i calcolato in precedenza. x 0 = % Si calcoli il valore x 0 da aggiungere in zero all operazione x/t, affinché risulti equa in legge esponenziale, al tasso i = 10%. x 0 = %

6 Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per una somma S = , da restituirsi secondo un ammortamento in 4 rate semestrali posticipate al tasso annuo i = 4%. L ammortamento prescelto è di tipo non standard e prevede che le prime due rate siano uguali, e le ultime due quote capitali siano pari a Si compili il piano di ammortamento, giustificando adeguatamente i valori inseriti. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo

7 Esercizio 4. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0 sia in vigore, per s 3 anni, la seguente struttura delle intensità di rendimento a scadenza: h(0, s) = s s 2 con le scadenze s espresse in anni. In questo mercato, si calcolino: il prezzo P 1 e la duration D 1 espressa in anni di un TCF biennale con cedola annuale, tasso nominale del 6%, capitale facciale pari a C = 100. P 1 =, D 1 = anni; il prezzo P 2, pattuito in t = 0, pagabile in T = 1 anno e 6 mesi, per avere il pagamento di 150 in s = 3 anni. P 2 =. Esercizio 5. Un istituzione finanziaria detiene due portafogli obbligazionari: il primo x vale 3 milioni di e ha una duration di 4.5 anni. Il secondo y vale un milione di ed è interamente composto da BOT a tre mesi. Si calcoli la duration D(0, z) del portafoglio complessivo z = x + y. D(0, z) = anni Si supponga poi che l istituzione aggiunga al portafoglio una rendita perpetua posticipata a rata costante r, con rata di Ipotizzando che la struttura dei tassi sia piatta al tasso i = 5%, si calcolino la duration D(0, r) della rendita e la duration D(0, u) del portafoglio u = z + r. D(0, r) = anni, D(0, u) =

8 Esercizio 6. Si consideri un mercato in cui, al tempo t = 0, è in vigore una struttura per scadenza dei tassi di interesse piatta, al livello i = 5% in base annua. Siano x e y due TTV perfettamente indicizzati a 10 anni, con cedola annuale e nominale 100 ; x è senza spread, mentre ciascuna cedola di y ha uno spread di Determinare il valore e le durate medie finanziarie (in anni) due titoli. V (0, x) = D(0, x) = anni V (0, y) = D(0, y) = anni Domanda Bonus: Ricalcolare D(0, y) rimuovendo l ipotesi che la struttura dei tassi sia piatta e sapendo che: il tasso a pronti a 10 anni è il 6%, il tasso swap a 10 anni è il 5.5%, una rendita francese a 10 anni a rata annuale ha durata media finanziaria 5.20 anni. D(0, y) = anni

9 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 10 febbraio 2004 studenti vecchio ordinamento Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: prof. Pacati (SI) dott. Renò (SI) prof. Mari-dott. Renò (GR) dott. Riccarelli (AR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Un investitore detiene in t = 0 un contratto che prevede gli venga corrisposti 1500 dopo un anno, 1500 dopo un anno e sei mesi e 3000 dopo due anni. Si calcoli il valore W 1 in t = 0 dell investimento in regime di legge esponenziale, con intensità istantanea di interesse δ = 0.05 anni 1. W 1 = Si calcoli il valore W 2 in t = 0 dell investimento in regime di legge lineare (legge di sconto razionale), al tasso annuo semplice i = 5%. W 2 = Supponendo infine che il prezzo di acquisto in t sia uguale a W 2, si calcoli in t = 2 mesi il valore residuo V dell investimento secondo la legge esponenziale di intensità istantanea di interesse δ. V = Esercizio 2. Si consideri l operazione finanziaria x = { 100, 54, 50} sullo scadenzario t = {4, 8, 12} mesi. Si calcoli il tasso interno di rendimento di tale attività finanziaria e lo si esprima su forma percentuale e su base annua. i = % Si calcoli il valore x 0 da aggiungere in zero all operazione x/t, affinché risulti equa in legge esponenziale, al tasso i calcolato in precedenza. x 0 = % Si calcoli il valore x 0 da aggiungere in zero all operazione x/t, affinché risulti equa in legge esponenziale, al tasso i = 10%. x 0 = %

10 Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per una somma S = , da restituirsi secondo un ammortamento in 4 rate semestrali posticipate al tasso annuo i = 5%. L ammortamento prescelto è di tipo non standard e prevede che le prime due rate siano uguali, e le ultime due quote capitali siano pari a Si compili il piano di ammortamento, giustificando adeguatamente i valori inseriti. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo

11 Esercizio 4. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0 sia in vigore, per s 3 anni, la seguente struttura delle intensità di rendimento a scadenza: h(0, s) = s s 2 con le scadenze s espresse in anni. In questo mercato, si calcolino: il prezzo P 1 e la duration D 1 espressa in anni di un TCF biennale con cedola annuale, tasso nominale del 6%, capitale facciale pari a C = 100. P 1 =, D 1 = anni; il prezzo P 2, pattuito in t = 0, pagabile in T = 1 anno e 6 mesi, per avere il pagamento di 150 in s = 3 anni. P 2 =. Esercizio 5. Un istituzione finanziaria detiene due portafogli obbligazionari: il primo x vale 3 milioni di e ha una duration di 5.5 anni. Il secondo y vale un milione di ed è interamente composto da BOT a tre mesi. Si calcoli la duration D(0, z) del portafoglio complessivo z = x + y. D(0, z) = anni Si supponga poi che l istituzione aggiunga al portafoglio una rendita perpetua posticipata a rata costante r, con rata di Ipotizzando che la struttura dei tassi sia piatta al tasso i = 6%, si calcolino la duration D(0, r) della rendita e la duration D(0, u) del portafoglio u = z + r. D(0, r) = anni, D(0, u) =

12 Esercizio 6. Si consideri un mercato in cui, al tempo t = 0, è in vigore una struttura per scadenza dei tassi di interesse piatta, al livello i = 6% in base annua. Siano x e y due TTV perfettamente indicizzati a 10 anni, con cedola annuale e nominale 100 ; x è senza spread, mentre ciascuna cedola di y ha uno spread di Determinare il valore e le durate medie finanziarie (in anni) due titoli. V (0, x) = D(0, x) = anni V (0, y) = D(0, y) = anni Domanda Bonus: Ricalcolare D(0, y) rimuovendo l ipotesi che la struttura dei tassi sia piatta e sapendo che: il tasso a pronti a 10 anni è il 7%, il tasso swap a 10 anni è il 6.5%, una rendita francese a 10 anni a rata annuale ha durata media finanziaria 5.15 anni. D(0, y) = anni

13 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 10 febbraio 2004 studenti vecchio ordinamento Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: prof. Pacati (SI) dott. Renò (SI) prof. Mari-dott. Renò (GR) dott. Riccarelli (AR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Un investitore detiene in t = 0 un contratto che prevede gli venga corrisposti 1500 dopo un anno, 1500 dopo un anno e sei mesi e 3000 dopo due anni. Si calcoli il valore W 1 in t = 0 dell investimento in regime di legge esponenziale, con intensità istantanea di interesse δ = 0.06 anni 1. W 1 = Si calcoli il valore W 2 in t = 0 dell investimento in regime di legge lineare (legge di sconto razionale), al tasso annuo semplice i = 6%. W 2 = Supponendo infine che il prezzo di acquisto in t sia uguale a W 2, si calcoli in t = 2 mesi il valore residuo V dell investimento secondo la legge esponenziale di intensità istantanea di interesse δ. V = Esercizio 2. Si consideri l operazione finanziaria x = { 100, 55, 50} sullo scadenzario t = {4, 8, 12} mesi. Si calcoli il tasso interno di rendimento di tale attività finanziaria e lo si esprima su forma percentuale e su base annua. i = % Si calcoli il valore x 0 da aggiungere in zero all operazione x/t, affinché risulti equa in legge esponenziale, al tasso i calcolato in precedenza. x 0 = % Si calcoli il valore x 0 da aggiungere in zero all operazione x/t, affinché risulti equa in legge esponenziale, al tasso i = 10%. x 0 = %

14 Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per una somma S = , da restituirsi secondo un ammortamento in 4 rate semestrali posticipate al tasso annuo i = 6%. L ammortamento prescelto è di tipo non standard e prevede che le prime due rate siano uguali, e le ultime due quote capitali siano pari a Si compili il piano di ammortamento, giustificando adeguatamente i valori inseriti. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo

15 Esercizio 4. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0 sia in vigore, per s 3 anni, la seguente struttura delle intensità di rendimento a scadenza: h(0, s) = s s 2 con le scadenze s espresse in anni. In questo mercato, si calcolino: il prezzo P 1 e la duration D 1 espressa in anni di un TCF biennale con cedola annuale, tasso nominale del 6%, capitale facciale pari a C = 100. P 1 =, D 1 = anni; il prezzo P 2, pattuito in t = 0, pagabile in T = 1 anno e 6 mesi, per avere il pagamento di 150 in s = 3 anni. P 2 =. Esercizio 5. Un istituzione finanziaria detiene due portafogli obbligazionari: il primo x vale 3 milioni di e ha una duration di 6.5 anni. Il secondo y vale un milione di ed è interamente composto da BOT a tre mesi. Si calcoli la duration D(0, z) del portafoglio complessivo z = x + y. D(0, z) = anni Si supponga poi che l istituzione aggiunga al portafoglio una rendita perpetua posticipata a rata costante r, con rata di Ipotizzando che la struttura dei tassi sia piatta al tasso i = 7%, si calcolino la duration D(0, r) della rendita e la duration D(0, u) del portafoglio u = z + r. D(0, r) = anni, D(0, u) =

16 Esercizio 6. Si consideri un mercato in cui, al tempo t = 0, è in vigore una struttura per scadenza dei tassi di interesse piatta, al livello i = 7% in base annua. Siano x e y due TTV perfettamente indicizzati a 10 anni, con cedola annuale e nominale 100 ; x è senza spread, mentre ciascuna cedola di y ha uno spread di Determinare il valore e le durate medie finanziarie (in anni) due titoli. V (0, x) = D(0, x) = anni V (0, y) = D(0, y) = anni Domanda Bonus: Ricalcolare D(0, y) rimuovendo l ipotesi che la struttura dei tassi sia piatta e sapendo che: il tasso a pronti a 10 anni è il 8%, il tasso swap a 10 anni è il 7.5%, una rendita francese a 10 anni a rata annuale ha durata media finanziaria 5.10 anni. D(0, y) = anni

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