1 Trasformazione di vettori e 1-forme per cambiamenti

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1 Trasformazione di vettori e -forme per cambiamenti di coordinate Consideriamo lo spazio di Minkowski in coordinate cartesiane {x µ } (x,x,x 2,x 3 ). La sua metrica è ds 2 (dx ) 2 +(dx ) 2 +(dx 2 ) 2 +(dx 3 ) 2 g µν dx µ dx ν () con g µν. (2) Consideriamo le coordinate polari {x α } (x,r,θ,φ), definite nell insieme r>, <θ<π, <φ<2π (3) in termini delle coordinate cartesiane mediante la trasformazione di coordinate x x x µ x µ x (x α ): cos φ x 2. (4) sin φ x 3 r cos θ Passando dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari, i vettori di base e (µ) e le -forme di base ω (µ) dx µ si trasformano secondo le con x µ Sottolineiamo che per xµ ω (µ) Λ µ α ω(α ) e (µ) Λ α µ e (α ) (5) Λ µ α xµ Λ α µ xα x µ. (6) si intendono le derivate delle funzioni di trasformazione di coordinate x µ (x α ), nel nostro caso le (4), e per xα x le derivate µ delle trasformazioni di coordinate inverse x α (x µ ). Definiamo la matrice Λ di componenti Λ µ α Λ(Λ µ x µ α ). (7) In questa definizione, per convenzione, l indice di riga è l indice alto (in questo caso µ), mentre l indice di colonna è l indice basso (in questo caso α ) (ricordiamo

2 che nel prodotto righe per colonne tra due matrici A B C con C ik A ij B jk, gli indici che si contraggono sono l indice di colonna della matrice di sinistra e l indice di riga della matrice di destra). Consideriamo la matrice che ha come componenti le Λ α µ, con la stessa convenzione sugli indici di riga e di colonna. Poichè Λ µ α Λα ν xµ x α x ν δµ ν, (8) equestoèun prodotto righe per colonne in quanto si contrae l indice di colonna della prima matrice e l indice di riga della seconda, ne segue che la matrice di componenti Λ α µ è quella matrice che, moltiplicata per Λ, dà l identità, ovvero è l inversa: ) ( x Λ α Λ α µ x µ. (9) Quindi, per determinare le derivate xα x non è necessario invertire le funzioni µ x µ (x α ), ricavando le x α (x µ ), e poi derivare queste ultime rispetto agli x µ : basta calcolare la matrice Λ e invertirla. Nel caso della trasformazione di coordinate (4), derivando le x µ (x )sitrova x Λ (Λ µ µ α ) La matrice inversa è ( Λ sinθ cos φ rcos θ cos φ sin φ sinθ sin φ rcos θ sin φ rsin θ cos φ cosθ Λ α µ ) sinθ cos φ sin θ sin φ cos θ r cos θ cos φ r cos θ sin φ sin φ cos φ. (). () In generale un campo vettoriale (che spesso per brevità di notazione verrà impropriamente detto vettore, così come i campi di -forme verranno spesso impropriamente detti -forme ) V si esprime nei due sistemi di coordinate {x µ } e {x α } rispettivamente come V V µ (x) e (µ) V α (x ) e (α ) (2) per cui le componenti di V nelle due basi, V µ (x) ev α (x ), si trasformano secondo la V µ (x) Λ µ α V α (x (x)). (3) 2

3 Per un campo di forme σ, analogamente, σ σ µ (x) ω (µ) σ α (x ) ω (α ) (4) e σ µ (x) Λ α µ σ α (x (x)). (5) È da notare che per trasformare un campo di vettori o -forme (o, più ingenerale, un campo tensoriale) non è sufficiente applicare gli operatori Λ, Λ, bisogna anche esprimere le vecchie coordinate nelle nuove coordinate. Consideriamo ad esempio un campo scalare dato nelle coordinate x µ,φ(x). Cambiando coordinate {x µ } {x α }, (6) il campo scalare si trasforma come segue: Φ(x) Φ (x ) Φ(x(x )) (7) dove x(x ) sono le trasformazioni di coordinate, in questo caso le (4). Ad esempio, se in coordinate cartesiane in coordinate polari il campo diventa Φ(x) (x ) 2 +(x 2 ) 2, (8) Φ (x ) Φ(x(x )) (x (r, θ, φ)) 2 +(x 2 (r, θ, φ)) 2 r 2 sin 2 θ, (9) per cui la sua forma funzionale cambia, anche se il valore assunto dal campo scalare in un dato punto della varietà è lo stesso. Consideriamo un campo vettoriale V che, in coordinate cartesiane {x µ }, abbialaforma {V µ (x)} (V,V,V 2,V 3 ) ( (x ) 2 +(x 2 ) 2 +(x 3 ) 2, x 2,x, ), (2) ovvero, in notazione geometrica, V ( (x ) 2 +(x 2 ) 2 +(x 3 ) 2) e () x 2 e () + x e (2). (2) Le componenti in coordinate polari del campo vettoriale V saranno V α (x )Λ α µ V µ (x(x )) sinθ cos φ sin θ sin φ cos θ r cos θ cos φ r cos θ sin φ sin φ r 2 cos φ r 2 sin φ cos φ. (22) 3

4 Notare che abbiamo scritto Λ α µ V µ come prodotto riga per colonna della matrice Λ per il vettore colonna V ; abbiamo potuto farlo perchè l indice contratto (o, come si dice, muto ) è in questo caso l indice µ, cheè l indice di colonna della matrice Λ; se si considera V come un vettore colonna, l indice µ di V µ è l indice di riga di V, e abbiamo quindi il prodotto matriciale Λ V. Consideriamo ora la -forma σ di componenti (nelle coordinate {x µ }) {σ µ (x)} (σ,σ,σ 2,σ 3 )(,x,x 2,x 3 ), (23) e calcoliamo le sue componenti in coordinate polari. Esse saranno σ α (x )Λ µ α σ µ(x(x )). (24) In questo caso l indice muto è l indice di riga di Λ. Poichè nel prodotto riga per colonna si contraggono l indice di colonna della matrice di sinistra e l indice di riga della matrice di destra, se vogliamo scrivere la (24) come prodotto righe per colonne la Λ deve stavolta essere la matrice di destra, e σ deve essere visto come un vettore riga: σ α (x )Λ µ α σ µ(x(x )) (,rsin θ cos φ, sin φ, r cos θ) (,r,, ). sinθ cos φ rcos θ cos φ sin φ sinθ sin φ rcos θ sin φ rcos θ cos φ cosθ (25) Per comodità si può scrivere il passaggio intermedio σ α (x )σ µ (x(x ))Λ µ α ma è solo un modo per vedere meglio le cose, non è indispensabile: scrivendo quello che di fatto è un prodotto di monomi in modo che gli indici ripetuti sono affiancati, abbiamo lo stesso ordinamento che dovremo seguire per interpretarlo come prodotto matriciale. Consideriamo ancora la metrica () in coordinate cartesiane ds 2 (dx ) 2 +(dx ) 2 +(dx 2 ) 2 +(dx 3 ) 2. (26) Per trasformarla in coordinare polari, potremmo utilizzare la formula di trasformazione del tensore metrico. Ma, per determinare la trasformazione della metrica per un cambiamento di coordinate, esiste un metodo a volte più veloce: è sufficiente sostituire nella (26) la trasformazione delle forme di base ω (µ) dx µ, dx µ xµ dx α (27) che può essere ottenuta differenziando le x µ (x α ) (nel nostro caso le (4)): dx dx dx sinθ cos φdr + r cos θ cos φdθ sin φdφ dx 2 sinθ sin φdr + r cos θ sin φdθ + cos φdφ dx 3 cosθdr dθ. (28) 4

5 Sostituendo nella (26) si trova la metrica dello spazio piatto in coordinate polari: dx 2 (dx ) 2 + dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin θ 2 dφ 2. (29) 2 Trasformazione di tensori per cambiamenti di coordinate Consideriamo lo spazio-tempo di Minkowski in coordinate cilindriche. Siano {x µ } (t, r, φ, z) le coordinate cilindriche, {x α } (t,x,y,z ) le coordinate cartesiane, legate tra loro dalla trasformazione di coordinate t t x α x α (x µ x ): r cos φ y. (3) r sin φ z z Troviamo la matrice Λ che governa le trasformazioni di tensori per cambiamenti di coordinate, derivando le (3). Nelle nostre convenzioni, x Λ (Λ µ µ α ) Λ Λ α µ ) ( x µ. (3) La matrice che possiamo calcolare derivando le (3) èλ,dopodichè, invertendola, troviamo Λ: Λ cosφ r sin φ sinφ rcos φ Λ cosφ sin φ r sin φ r cos φ. (32) Siadatoiltensoreditipo nel sistema di coordinate cilindriche. 2 r T µν sinφ r cos φ. (33) Vogliamo trovare le sue componenti nel sistema di coordinate cartesiane. Sarà T α β Λµ α Λν β T µν. (34) 5

6 La (34) può essere calcolata componente per componente: T Λ Λ T +Λ Λ T +... T Λ Λ T +Λ Λ T (35) ma (per i tensori con al più due indici) è conveniente utilizzare il formalismo matriciale. Definiamo le matrici, che chiameremo (solo per questo calcolo) T e T, costituite dalle componenti dei tensori T α,β, T α β : T (T µν ), T (T α β ), (36) dove al solito scegliamo la convenzione secondo la quale l indice di sinistra èdi riga, quello di destra è di colonna, indipendentemente dal fatto che stiano in alto o in basso. Per poter scrivere l espressione (34) T α β Λµ α Λν β T µν (37) come prodotto righe per colonne di matrici, l indice di colonna di una matrice si deve contrarre con l indice di riga della matrice successiva, ovvero, nelle nostre convenzioni, gli indici sommati devono essere affiancati. Perciò, ad esempio, Λ ν β T µν T µν Λ ν β sono le componenti del prodotto righe per colonne T Λ. Ma l indice µ in (37) è indice di riga sia in T µν sia in Λ µ α, quindi, per poter scrivere la (37) come prodotto matriciale, dobbiamo considerare in Λ µ α µ indice di colonna ed α indice di riga; ciò equivale a considerare la matrice trasposta alla matrice Λ. In altre parole, nella convenzione in cui l indice di riga sta sempre a sinistra e quello di colonna sempre a destra, data una matrice A (A ij ), la sua matrice trasposta A T (A T ij ) ha per definizione componenti A T ij A ji, (38) quindi Λ µ α ΛT µ α (39) e la (34) T α β Λµ α T µν Λ ν β (4) corrisponde all espressione matriciale T Λ T T Λ. (4) 6

7 Calcolando esplicitamente, T Λ T T Λ cosφ r sin φ sinφ r cos φ r sin φ cos φ sin φ cos φ cos 2 φ sin 2 φ r sinφ r cos φ cosφ sin φ sin φ +cosφ sin φ cos φ sin φ cos 2 φ sin 2 φ cos φ cos 2 φ sin 2 φ cos φ sin 3 φ Λ cosφ sin φ r sin φ r cos φ (T α β ) (42) che sono le componenti del tensore nel riferimento cartesiano {x α }. Esse devono però essere espresse in coordinate cartesiane, ovvero sostinuendo cos φ x x 2 + y 2 y sin φ. (43) x 2 + y 2 2 Analogamente, per un tensore di componenti in coordinate cilindriche T µν, le componenti in coordinate cartesiane sono T α β Λ α µλ β νt µν Λ α µt µν Λ β ν (44) e, definendo le matrici T (T µν )et (T α β ), possiamo scrivere la (44) in forma matriciale: T Λ T (Λ T ). (45) Ricordare che (Λ T ) (Λ ) T,ovveroinquestocaso ( Per un tensore (Λ T ) ), cosφ sin φ r sin φ rcos φ. (46) T α β Λα µλ ν β T µ ν Λ α µt µν Λ ν β (47) che, definendo le matrici T (T µ ν)et (T α β ), può esssere scritta come T Λ T Λ. (48) 7