1 Trasformazione di vettori e 1-forme per cambiamenti

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1 PRIMA ESERCITAZIONE Trasformazione di vettori e -forme per cambiamenti di coordinate Consideriamo lo spazio di Minkowski in coordinate cartesiane {x } (x,x,x 2,x 3 ). La sua metrica è ds 2 (dx ) 2 +(dx ) 2 +(dx 2 ) 2 +(dx 3 ) 2 g ν dx dx ν () con g ν. (2) Consideriamo le coordinate polari {x α } (x,r,θ,φ), definite nell insieme r>, <θ<π, <φ<2π (3) in termini delle coordinate cartesiane mediante la trasformazione di coordinate x x x x x (x α ): cos φ x 2. (4) sin φ x 3 r cos θ Passando dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari, i vettori di base e () e le -forme di base ω () dx si trasformano secondo le con x Sottolineiamo che per x ω () Λ α ω(α ) e () Λ α e (α ) (5) Λ α x Λ α xα x. (6) si intendono le derivate delle funzioni di trasformazione di coordinate x (x α ), nel nostro caso le (4), e per xα x le derivate delle trasformazioni di coordinate inverse x α (x ). Definiamo la matrice Λ di componenti Λ α Λ(Λ x α ). (7)

2 In questa definizione, per convenzione, l indice di riga è l indice alto (in questo caso ), mentre l indice di colonna è l indice basso (in questo caso α ) (ricordiamo che nel prodotto righe per colonne tra due matrici A B C con C ik A ij B jk, gli indici che si contraggono sono l indice di colonna della matrice di sinistra e l indice di riga della matrice di destra). Consideriamo la matrice che ha come componenti le Λ α, con la stessa convenzione sugli indici di riga e di colonna. Poichè Λ α Λα ν x x α x ν δ ν, (8) equestoèun prodotto righe per colonne in quanto si contrae l indice di colonna della prima matrice e l indice di riga della seconda, ne segue che la matrice di componenti Λ α è quella matrice che, moltiplicata per Λ, dà l identità, ovvero è l inversa: ) ( x Λ α Λ α x. (9) Quindi, per determinare le derivate xα x non è necessario invertire le funzioni x (x α ), ricavando le x α (x ), e poi derivare queste ultime rispetto agli x : basta calcolare la matrice Λ e invertirla. Nel caso della trasformazione di coordinate (4), derivando le x (x )sitrova x Λ (Λ α ) La matrice inversa è ( Λ sinθ cos φ rcos θ cos φ sin φ sinθ sin φ rcos θ sin φ rsin θ cos φ cosθ Λ α ) sinθ cos φ sin θ sin φ cos θ r cos θ cos φ r cos θ sin φ sin φ cos φ. (). () In generale un campo vettoriale (che spesso per brevità di notazione verrà impropriamente detto vettore, così come i campi di -forme verranno spesso impropriamente detti -forme ) V si esprime nei due sistemi di coordinate {x } e {x α } rispettivamente come V V (x) e () V α (x ) e (α ) (2) 2

3 per cui le componenti di V nelle due basi, V (x) ev α (x ), si trasformano secondo la V (x) Λ α V α (x (x)). (3) Per un campo di forme σ, analogamente, σ σ (x) ω () σ α (x ) ω (α ) (4) e σ (x) Λ α σ α (x (x)). (5) È da notare che per trasformare un campo di vettori o -forme (o, più ingenerale, un campo tensoriale) non è sufficiente applicare gli operatori Λ, Λ, bisogna anche esprimere le vecchie coordinate nelle nuove coordinate. Consideriamo ad esempio un campo scalare dato nelle coordinate x,φ(x). Cambiando coordinate {x } {x α }, (6) il campo scalare si trasforma come segue: Φ(x) Φ (x ) Φ(x(x )) (7) dove x(x ) sono le trasformazioni di coordinate, in questo caso le (4). Ad esempio, se in coordinate cartesiane Φ(x) (x ) 2 +(x 2 ) 2, (8) in coordinate polari il campo diventa Φ (x ) Φ(x(x )) (x (r, θ, φ)) 2 +(x 2 (r, θ, φ)) 2 r 2 sin 2 θ, (9) per cui la sua forma funzionale cambia, anche se il valore assunto dal campo scalare in un dato punto della varietà è lo stesso. Consideriamo un campo vettoriale V che, in coordinate cartesiane {x }, abbialaforma {V (x)} (V,V,V 2,V 3 ) ( (x ) 2 +(x 2 ) 2 +(x 3 ) 2, x 2,x, ), (2) ovvero, in notazione geometrica, V ( (x ) 2 +(x 2 ) 2 +(x 3 ) 2) e () x 2 e () + x e (2). (2) Le componenti in coordinate polari del campo vettoriale V saranno V α (x )Λ α V (x(x )) r 2 sinθ cos φ sin θ sin φ cos θ r cos θ cos φ r cos θ sin φ sin φ cos φ sin φ cos φ r 2. (22) 3

4 Notare che abbiamo scritto Λ α V come prodotto riga per colonna della matrice Λ per il vettore colonna V ; abbiamo potuto farlo perchè l indice contratto (o, come si dice, muto ) è in questo caso l indice, cheè l indice di colonna della matrice Λ; se si considera V come un vettore colonna, l indice di V è l indice di riga di V, e abbiamo quindi il prodotto matriciale Λ V. Consideriamo ora la -forma σ di componenti (nelle coordinate {x }) {σ (x)} (σ,σ,σ 2,σ 3 )(,x,x 2,x 3 ), (23) e calcoliamo le sue componenti in coordinate polari. Esse saranno σ α (x )Λ α σ (x(x )). (24) In questo caso l indice muto è l indice di riga di Λ. Poichè nel prodotto riga per colonna si contraggono l indice di colonna della matrice di sinistra e l indice di riga della matrice di destra, se vogliamo scrivere la (24) come prodotto righe per colonne la Λ deve stavolta essere la matrice di destra, e σ deve essere visto come un vettore riga: σ α (x )Λ α σ (x(x )) (,rsin θ cos φ, sin φ, r cos θ) sinθ cos φ rcos θ cos φ sin φ sinθ sin φ rcos θ sin φ rcos θ cos φ cosθ (,r,, ). (25) Consideriamo ancora la metrica () in coordinate cartesiane ds 2 (dx ) 2 +(dx ) 2 +(dx 2 ) 2 +(dx 3 ) 2. (26) Per trasformarla in coordinare polari, potremmo utilizzare la formula di trasformazione del tensore metrico. Ma, per determinare la trasformazione della metrica per un cambiamento di coordinate, esiste un metodo a volte più veloce: è sufficiente sostituire nella (26) la trasformazione delle forme di base ω () dx, dx x dx α (27) che può essere ottenuta differenziando le x (x α ) (nel nostro caso le (4)): dx dx dx sinθ cos φdr + r cos θ cos φdθ sin φdφ dx 2 sinθ sin φdr + r cos θ sin φdθ + cos φdφ dx 3 cosθdr dθ. (28) Sostituendo nella (26) si trova la metrica dello spazio piatto in coordinate polari: dx 2 (dx ) 2 + dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin θ 2 dφ 2. (29) 4

5 2 Trasformazione di tensori per cambiamenti di coordinate Consideriamo lo spazio-tempo di Minkowski in coordinate cilindriche. Siano {x α } (t, r, φ, z) le coordinate cilindriche, {x } (t,x,y,z ) le coordinate cartesiane, legate tra loro dalla trasformazione di coordinate t t x α x α (x x ): r cos φ y. (3) r sin φ z z Troviamo la matrice Λ che governa le trasformazioni di tensori per cambiamenti di coordinate, derivando le (3). Nelle nostre convenzioni, Λ (Λ x α ) Λ Λ α ) ( x. (3) La matrice che possiamo calcolare derivando le (3) èλ,dopodichè, invertendola, troviamo Λ: Λ cosφ r sin φ sinφ rcos φ Λ cosφ sin φ r sin φ r cos φ. (32) Siadatoiltensoreditipo nel sistema di coordinate cilindriche. 2 r T ν sinφ r cos φ. (33) Vogliamo trovare le sue componenti nel sistema di coordinate cartesiane. Sarà T α β Λ α Λν β T ν. (34) La (34) può essere calcolata componente per componente: T Λ Λ T +Λ Λ T +... T Λ Λ T +Λ Λ T (35) 5

6 ma (per i tensori con al più due indici) è conveniente utilizzare il formalismo matriciale. Definiamo le matrici, che chiameremo (solo per questo calcolo) T e T, costituite dalle componenti dei tensori T α,β, T α β : T (T ν ), T (T α β ), (36) dove al solito scegliamo la convenzione secondo la quale l indice di sinistra èdi riga, quello di destra è di colonna, indipendentemente dal fatto che stiano in alto o in basso. Per poter scrivere l espressione (34) T α β Λ α Λν β T ν (37) come prodotto righe per colonne di matrici, l indice di colonna di una matrice si deve contrarre con l indice di riga della matrice successiva, ovvero, nelle nostre convenzioni, gli indici sommati devono essere affiancati. Perciò, ad esempio, Λ ν β T ν T ν Λ ν β sono le componenti del prodotto righe per colonne T Λ. Ma l indice in (37) è indice di riga sia in T ν sia in Λ α, quindi, per poter scrivere la (37) come prodotto matriciale, dobbiamo considerare in Λ α indice di colonna ed α indice di riga; ciò equivale a considerare la matrice trasposta alla matrice Λ. In altre parole, nella convenzione in cui l indice di riga sta sempre a sinistra e quello di colonna sempre a destra, data una matrice A (A ij ), la sua matrice trasposta A T (A T ij ) ha per definizione componenti A T ij A ji, (38) quindi Λ α ΛT α (39) e la (34) può essere scritta T α β ΛT α T ν Λ ν β (4) che corrisponde all espressione matriciale Calcolando esplicitamente, T Λ T T Λ cosφ r sin φ sinφ r cos φ T Λ T T Λ. (4) r sin φ cos φ sin φ cos φ cos 2 φ sin 2 φ r sinφ r cos φ cosφ sin φ sin φ +cosφ sin φ cos φ sin φ cos 2 φ sin 2 φ cos φ cos 2 φ sin 2 φ cos φ sin 3 φ Λ cosφ sin φ r sin φ r cos φ (T α β ) (42) 6

7 che sono le componenti del tensore nel riferimento cartesiano {x α }. Esse devono però essere espresse in coordinate cartesiane, ovvero sostinuendo cos φ x x 2 + y 2 y sin φ. (43) x 2 + y 2 2 Analogamente, per un tensore di componenti in coordinate cilindriche T ν, le componenti in coordinate cartesiane sono T α β Λ α Λ β νt ν Λ α T ν Λ T β ν (44) e, definendo le matrici T (T ν )et (T α β ), possiamo scrivere la (44) in forma matriciale: T Λ T (Λ T ). (45) Ricordare che (Λ T ) (Λ ) T,ovveroinquestocaso ( Per un tensore (Λ T ) ), cosφ sin φ r sin φ rcos φ. (46) T α β Λα Λ ν β T ν Λ α T ν Λ ν β (47) che, definendo le matrici T (T ν )et (T α β ), può esssere scritta come T Λ T Λ. (48) 7