La scomposizione in fattori dei polinomi

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1 Progetto Mtemtic in Rete L scomposizione in fttori dei polinomi Scomporre in fttori un polinomio signific scriverlo come prodotto di polinomi di grdo inferiore. Esempio: ( )( ) Osservimo che l uguglinz, lett d destr verso sinistr, è il prodotto notevole ( )( ). Metodi per l scomposizione di un polinomio Rccoglimento fttor comune Esempio: ( ) 8 ( ) Quindi se in tutti i termini di un polinomio è contenuto lo stesso fttore (che può essere nche un numero) si può rccogliere questo fttore comune (si dice nche mettere in evidenz ) Rccoglimento przile Esempio: rccoglimo tr i primi due termini e il numero tr il ed il termine ( ) ( ) possimo rccogliere ( ) ( )( ) Osservzione: è come percorressimo ll indietro i pssggi per l moltipliczione di due polinomi. NOT: perché questo metodo funzioni è essenzile che dopo il primo rccoglimento si poss ncor rccogliere. Esempio: ( ) ( ) non funzion! 9

2 Progetto Mtemtic in Rete Esercizi (rccoglimento fttor comune, rccoglimento przile) Scomponi i seguenti polinomi: ) 6 ; ; ) 8 ; 6 9 ; ) ; ; ) ; ; 6 9 5) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ; ( ) ( ) 6) 5 5 [ ( 5 )( ) 7) [ ( )( ) 8) 8 [ ( )( ) 9) 6 7 [ ( )( 6) 0) 5 5 [ ( )( ) 5 ) [ ( )( ) ) ( ) [ ( )( ) ) [ ( )( ) ) 6 [ ( )( ) 5) [ ( )( ) 6) [ ( )( ) 9

3 Progetto Mtemtic in Rete 9 Scomposizioni collegte i prodotti notevoli Esempio: 9 Esempio: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 9 ( ) Esempio: ( ) ( )... C z z z z ( ) ( ) Esempio: ( ) ( )... ( ) 6 8 NOT: differenz di cui, somm di cui Inftti Quindi per esempio: nlogmente Quindi per esempio: Esempi 8 8

4 Progetto Mtemtic in Rete Esercizi (scomposizione con prodotti notevoli) ) 9 ; 9 ) 9 ; ) 8 ; 6 ) [ ( )( )( ) 5) 5z 5 ; 5 9 ; 5 6) [ ( )( )( ) 7) ( ) ( ) [ ( )( )( ) 8) [ ( )( )( ) 9) 9 8 ( ) [ ( )( 7 ) 0) 9 6 ; ) 6 9 ; 9 ) ; ) ; 9 ) c [ ( c)( c) 5) 5 0 [ ( )( 5 ) 5 6) [ ( )( ) 7) [ ( )( ) 9

5 Progetto Mtemtic in Rete 8) [ ( ) 9) 0) ) 6 8 [ ( ) [ ( ) 6 [ ( ) ) ; ) 7 ; 5 8 ) 7 ; 5) 7 [ ( )( ) 9 6 6) [ ( )( )( )( )( ) 7) 8 [ ( ) 8) [ ( )( )( ) 9) 9 8 [ ( )( )( ) 0) [ 5( ) ( ) ) Determin l re del qudrto in figur come differenz tr l re del qudrto CD e le ree dei tringoli: [ 95

6 Progetto Mtemtic in Rete Scomposizione con il teorem di Ruffini Considerimo un polinomio contenente un sol letter, per esempio P ( ) Se non riuscimo scomporlo con i metodi considerti finor possimo provre d utilizzre il seguente teorem di Ruffini. Teorem di Ruffini Dto un polinomio P (), se sostituendo ll letter un vlore ottenimo zero, cioè se ( ) 0 e vicevers. P, llor il polinomio è divisiile per ( ) Dimostrzione Supponimo di dividere ( ) P per : vremo P ( ) ( ) Q( ) R. Sostituendo il vlore imo P ( ) R m per ipotesi ( ) 0 R 0 P( ) è divisiile per -. Vicevers se () ll letter il vlore otterrò come risultto zero P è divisiile per ( ) vuol dire che P( ) ( ) Q( ) Nel nostro esempio imo che e quindi ( ) ( ) P { Q ( ) 0 0 è un divisore di P (). Eseguimo l divisione // // 5 // // R 0 P ( ) Q( ) P e quindi si h che e quindi sostituendo Quindi ( )( ) 96

7 Progetto Mtemtic in Rete NOT: m come fccimo spere se esiste un numero intero che nnull il polinomio? Se intero esiste, deve essere un divisore del termine noto di P () : inftti se osservimo l ultimo pssggio dell divisione dell esempio, per vere R0 dovrà essere numero termine noto di P () e quindi deve essere (se è intero) un divisore del termine noto del polinomio. Nel nostro esempio quindi vremmo dovuto provre sostituire ll letter i divisori di -6 cioè ± ; ± ; ± ; ± 6 Generlmente si prte d ± e si v vnti con i divisori finché non si trov : P ( ) 0. Se nessun divisore nnull il polinomio vuol dire che non c è intero tle che P () si divisiile per. Esempio: P ( ) 6 I divisori di -6 sono: ± ; ± ; ± ; ± 6 P ( ) 6 0 P ( ) 6 0 P ( ) P ( ) P ( ) ! Quindi 6 è divisiile per : possimo eseguire l divisione per scomporre il polinomio: 6 // 6 // 6 6 // // R 0 Q( ) Quindi 6 ( )( ) 97

8 Progetto Mtemtic in Rete Esercizi (scomposizione con il teorem di Ruffini) ) 5 [ ( )( 5 ) ) [ ( )( ) ) 5 [ ( )( )( ) ) 9 [ ( )( ) 5) 5 [ ( )( )( ) 6) 5 [ ( )( ) 7) [ ( ) ( ) 8) 5 6 [ ( )( )( ) 9) 5 6 [ ( )( 6 ) 0) 9 [ ( )( )( ) 98

9 Progetto Mtemtic in Rete ESERCIZI DI RICPITOLZIONE Scomposizione dei polinomi. 5 0 [ ( 5) [ ( ) [ ( )( ) [ ( )( 9 6 ) 5. [ ( )( ) [ ( )( ) [ ( )( ) 8. [ ( )( ) [ ( 5 )( ) [ ( )( ). 8.. [ ( )( ) 5 8 [ ( )( 9) [ ( )( )( ) 6. [ ( )( )( ) 5. [ ( )( ) 6. ( ) [ ( )( ) 7. [ ( ) 8. ( ) ( ) [ ( )( ) 9. 8 [ ( ) ( ) [ ( )( ) 0. 99

10 Progetto Mtemtic in Rete. ( ) [ ( )( ) [ ( ) ( ). ( ) [ ( )( ) [ ( )( )( ) [ 7( )( )( ) 6. [ ( ) [ ( 5) [ ( )( ) [ ( )( ) (( 5) ) [ ( ) ( ). 7 6 [ ( ) ( ). 9 6 [ ( )( ). 8 6 [ ( ). 0 [ ( )( 5) 5. 9 ( 5 ) [ ( 5)( 5) 6. 7 [ ( )( 9 ) 7. [ 8. c c c 9. 5 [ ( c) [ ( )( )( )( ) 0. [ 00

11 Progetto Mtemtic in Rete Prolemi ) Consider l somm di due numeri dispri consecutivi. Cos osservi? Puoi dimostrre che l somm di due numeri dispri consecutivi è sempre un multiplo di? ) Consider l differenz tr il qudrto di un numero dispri e. Cos osservi? Come puoi dimostrre che il numero che si ottiene è divisiile per 8? ) Il gioco Pens un numero Il gioco è questo: si chiede qulcuno di pensre un numero (intero) e poi gli si chiede di svolgere mentlmente queste operzioni: ddizion l numero moltiplic il risultto per 5 sottri volte il numero pensto ddizion l risultto 0 ll fine viene chiesto il risultto finle: sottrendo 00 d tle risultto si indovin il numero pensto in prtenz. Perché? Prov cpirlo.. Suggerimento: indic con il numero pensto e prov d eseguire le operzioni indicte ) Un ppezzmento di terreno è costituito d un qudrto CD e ll interno c è uno stgno di form qudrt EFGH. Per recintre si il perimetro esterno del terreno che il ordo dello stgno sono stti necessri 60m di rete; l recinzione di CD h richiesto 80m di rete in più rispetto ll recinzione di EFGH. Qul è l re dell prte clpestile dell ppezzmento? [ 600m 0