Prestiti divisi. 1 I prestiti obbligazionari. 1.1 Introduzione. 1.2 Grandezze fondamentali

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1 Prestiti divisi 1 I prestiti obbligazionari 1.1 Introduzione Nell ammortamento di prestiti indivisi (mutui), un unico soggetto (creditore o mutuante) presta denaro ad un unico soggetto debitore (mutuatario). Nella pratica può accadere che per reperire liquidità, specie se di ingente dimensione, società ed enti pubblici ritengano opportuno ricorrere a prestiti obbligazionari, cioè prestiti il cui importo complessivo è frazionato (diviso) in più parti (obbligazioni). Per l emittente, il prestito obbligazionario rappresenta un debito spesso a mediolungo termine nei confronti di più soggetti creditori. Salvo deroghe, l emissione obbligazionaria non può essere superiore al capitale sociale sottoscritto e versato, esistente nell ultimo bilancio approvato della società emittente. La solvibilità della società che ha emesso il prestito viene espressa mediante una misura detta rating. Il rating quantifica la qualità dell emittente secondo determinati criteri che vanno dalla solidità finanziaria alle potenzialità economiche della società emittente. Le obbligazioni possono essere sottoscritte dai creditori, in sede di emissione del prestito, oppure possono essere acquistate sia sul mercato primario che su quello secondario. Più soggetti (sottoscrittori-acquirenti-possessori delle obbligazioni) diventano creditori di un unico soggetto debitore (l emittente). L emittente ha l obbligo, nei confronti di ogni creditore, di corrispondere un interesse (periodico o alla scadenza) e di rimborsare il capitale di rimborso alla scadenza dell obbligazione. L emissione del prestito prevede la formulazione di un programma nel quale devono essere indicati l ammontare del capitale sociale sottoscritto e versato dalla società che emette il prestito; l ammontare complessivo del prestito, la sua durata, la modalità di rimborso, il tasso di remunerazione, il numero e le caratteristiche tecniche delle obbligazioni emesse, specifianco il valore nominale, il prezzo di emissione, il prezzo di rimborso e le modalità di pagamento delle cedole. 1.2 Grandezze fondamentali Descriviamo brevemente le grandezze finanziarie utili ai fini della valutazione di un obbligazione e dell intero prestito obbligazionario nonché del suo ammortamento. 1

2 Valore nominale o valore facciale. È la parte del debito rappresentata da una singola obbligazione. A questo valore si riferiscono gli interessi (cedole) che devono essere pagati nel corso della vita dell obbligazione. La dimensione di un obbligazione in termini di valore nominale è detta taglio. Le obbligazioni in circolazione sono di taglio diverso. Nella pratica, per facilità di conto, ci si riferisce sempre al taglio fittizio di 100. Prezzo di emissione o valore d emissione. È l importo effettivo al quale ciascuna obbligazione viene emessa, cioè l importo che il creditore (sottoscrittore) paga all emittente (debitore). Può coincidere col valore nominale (emissione alla pari), oppure essere superiore (emissione sopra la pari) o inferiore (emissione sotto la pari). La differenza tra il valore nominale e il prezzo di emissione quantifica per il sottoscrittore un premio (o sovrapprezzo) di emissione, mentre per l emittente tale differenza è un disaggio (o aggio) di emissione. Spese di emissione. Sono quelle che l emittente deve sostenere per l emissione e il collocamento del prestito obbligazionario Prezzo di rimborso (o capitale di rimborso o valore di rimborso). È l importo che l emittente si impegna a pagare in conto capitale all obbligazionista, cioè al possessore dell obbligazione estratta. A seconda che tale importo sia uguale, superiore o inferiore al valore nominale si parla di rimborso alla pari, sopra la pari, sotto la pari. La differenza tra il prezzo di rimborso e il valore nominale viene detto premio (o scarto) di rimborso. Il valore di rimborso può essere noto a priori, cioè già all atto dell emissione, oppure può esere indicizzato. Spese di rimborso. Sono le spese connesse al rimborso del prestito in aggiunta al capitale di rimborso. Cedola. È l interesse, calcolato (in capitalizzazione semplice) sul valore nominale dell obbligazione, dato il tasso d intereresse relativo alla periodicità di pagamento. Tale interesse è da pagarsi periodicamente (ad esempio ogni trimestre, semestre, anno) a ciascuna delle obbligazioni ancora in circolazione. Il giorno di pagamento di una cedola viene detto giorno digodimento. Rateo di cedola. È la parte di interessi, cioè di cedola, già maturata, sebbene non ancora esigibile, dall ultimo godimento al giorno di negoziazione dell obbligazione sul mercato secondario. Corso di acquisto. È l importo al quale un obbligazione viene negoziata successivamente alla sua emissione. Si negozia al cosiddetto corso tel quel, cioè ad un prezzo che comprende l eventuale rateo di interessi già maturato. Il prezzo quotato (riportato sui listini finanziari) è il cosiddetto corso secco. Per ricavare il corso tel quel dal corso secco, occorre aggiungere al corso secco il rateo di cedola maturata: corso tel quel = corso secco + rateo di cedola Età dell obbliglazione, vita media, vita residua (Facoltativo) Supponiamo che il piano di estrazione delle obbligazioni emesse sia prefissato in partenza, sia noto ed immutabile. 2

3 Definiamo età di un obbligazione vivente il tempo già trascorso dalla sua emissione. Per tale obbligazione la vita residua è la variabile casuale che misura il tempo rimanente prima della sua estrazione, cioè prima del suo rimborso. La vita residua che indichiamo con e k è il valor medio di tale variabile casuale. Calcoliamo la vita media residua e k dell obbligazione di età k, essendo già trascorsi k anni dall emissione del prestito obbligazionario. Supponiamo che siano state emesse N obbligazioni, da rimborsare in n anni mediante estrazioni annuali a sorte di N 1, N 2,..., N n obbligazioni, rispettivamente agli anni 1, 2,..., n, rispettando il vincolo N = N 1 + N N n, cioè la somma delle obbligazioni estratte deve essere pari al numero delle obbligazioni emesse. Indichiamo con il numero delle obbligazioni viventi dopo la k-esima estrazione, avremo L 0 = N = N (N 1 + N N k ), k (1, 2,...,n). Consideriamo una di tali obbligazioni e calcoliamo la probabilità t p k che essa sia ancora viva dopo l estrazione prevista t anni più tardi, cioè alla fine dell anno (k + t) dall emissione. Dato che in ogni estrazione tutte le obbligazioni viventi hanno una comune probabilità di essere estratte, risulta allora tp k = +t, mentre la probabilità t/1 q k che quell obbligazione sopravviva per t anni e venga estratta esattamente dopo un altro anno, cioè dopo (k + t + 1) anni dall emissione, vale t/1q k = N k+t+1. Per la vita media e k risulta allora e k = 1 Nk Nk (n k) N n, k (0, 1,..., n). 1.3 Alcune tipi di titoli obbligazionari In base alle loro caratteristiche tecniche classifichiamo i titoli obbligazionari presenti sul mercato nelle seguenti categorie: Obbligazioni con cedola e valore facciale predeterminati. Rientrano in questa categoria: i titoli con cedola predeterminata costante fissa: obbligazioni che prevedono la corresponsione di interessi periodici (coupon bond, abbreviato CB), come i Buoni Poliennali del Tesoro (abbreviato BTP); 3

4 obbligazioni senza cedola (coupon): i titoli zero-coupon (o zero-coupon bonds, abbreviato ZCB) come i Buoni Ordinari del Tesoro (BOT) e i Certificati del Tesoro Zero-Coupon (CTZ) che sono obbligazioni senza cedola e quindi non pagano periodicamente gli interessi ma li corrispondono unitamente al capitale, alla scadenza del titolo. Obbligazioni con valore facciale predeterminato e cedola variabile. Rietrano in questa categoria: le obbligazioni con cedola variabile in modo deterministico: per esempio le obbligazioni step-down e le obbligazioni step-up,; le obbligazioni con cedola aleatoria: per esempio i CCT (certificati di credito del Tesoro) che sono titoli di Stato a medio-lungo termine le cui cedole sono indicizzate al rendimento dei BOT semestrali o annuali. Obbligazioni strutturate: si tratta di titoli costituiti assemblando prodotti finanziari derivati con titoli obbligazionari: come callable bond, puttable bond, convertible bond, reverse convertible, index linked bond, ecc L ammortamento dei prestiti obbligazionari Mettiamoci nel caso più semplice in cui vengono emesse N obbligazioni, ognuna del valore nominale C e cedola annuale Ci. Il capitale da rimborsare a ciascuna delle N k obbligazioni da estrarre alla fine dell anno k, con k {1, 2,...,n}, sia pari a c k, importo eventualmente variabile con k. Al termine dell anno k l emittente dovrà allora pagare: l importo C k = c k N k per rimborsare il capitale previsto a ciascuna delle N k obbligazioni estratte; l importo I k = (Ci) 1 per pagare le cedole a ciascuna delle 1 obbligazioni ancora in circolazione dopo la precedente estrazione; Al termine dell anno k l emittente paga l importo complessivo R k rata = C k + I k = c k N k + (Ci) 1. quota capitale quota interessi Le grandezze C k, I k e R k possono essere chiamate, come la scelta dei simboli già suggerisce, quota capitale, quota interessi e rata di ammortamento del prestito, in analogia con i prestiti indivisi. Va comunque detto che, mentre in questi ultimi C k misura l effettiva riduzione del debito residuo che il pagamento della rata consente, 4

5 nei prestiti obbligazionari C k = c k N k misura semplicemente l esborso necessario per ritirare dalla circolazione le N k obbligazioni il cui rimborso è programmato per la fine dell anno k, momento al quale il debito residuo si riduce in misura pari a CN k. Quando non è previsto in partenza apposito fondo che lo gestisce, lo scarto (c k N k CN k ) andrà allora contabilizzato non a riduzione del debito, bensì come minus- o plusvalenza patrimoniale Metodo italiano Supponiamo che siano state emesse N obbligazioni, da rimborsare in n anni mediante estrazioni annuali. Il metodo italiano è caratterizzato da quote coapitale costanti. Nel caso di prestiti obbligazionari, questo si traduce in un numero costante di obbligazioni rimborsare ad ogni scadenza. Perciò scegliamo {N k } = { } N n, facendo gli arrotondamenti agli interi e gli aggiustamenti necessari, nel caso di N n non intero e rispettando il vincolo N = N 1 + N N n Nota la successione {N k } delle obbligazioni estratte ogni anno e la successione {c k } dei capitali di rimborso, calcolo la successione delle quote capitali {C k } e del numero delle obbligazioni viventi { 1 }. Infine, a partire da quest ultima è facile calcolare la successione delle quote interessi {I k } e dunque quella {R k } delle rate Metodo francese (con gestione dei residui) L obiettivo dell emittente è rimborsare il prestito obbligazionario pagando la successione {R k } delle rate costante con k. Mettiamoci nel caso più semplice in cui vengono emesse alla pari N obbligazioni, tutte di un comune taglio, dal valore nominale C, tasso annuo d interesse i, cedole annuali, rimborso alla pari. Calcoliamo la rata annua costante necessaria per ammortizzare il debito di importo S = NC. Per la condizione di equità prospettiva sulle rate dovrà essere ovvero Ra n i = NC, (1.1) R = (NC)α n i. Ci renderemo conto tra breve che in pratica è impossibile che questa sia davvero la rata costante da pagare ogni anno per ammortizzare il nostro debito. Consideriamo allora R come rata teorica. Dalla rata teorica R 1 = R del 1 anno deduciamo l importo I 1 = (Ci)L 0 = (Ci)N destinato al pagamento delle prime cedole. Resta così disponibile la quota capitale teorica C 1 = R I 1, 5

6 con la quale rimborsiamo un numero N 1 di obbligazioni pari al massimo intero contenuto in C 1 /C, ( ) C1 N 1 =. C La rata pratica R 1 del 1 anno sarà pari alla somma tra la quota interessi I 1 e la quota capitale pratica Rimane un residuo C 1 = N 1 C. r 1 = R 1 R 1 = R R 1 = R I 1 C 1 = R (Ci)N N 1 C. Passiamo alla fine del 2 anno. Alla rata teorica R aggiungiamo il montante (1 + i)r 1 del residuo dell anno precedente ed otteniamo la rata teorica R 2 = R + (1 + i)r 1 che gestiamo regolandoci come già fatto per il 1 anno. Calcoliamo l importo I 2 col quale pagare le cedole del 2 anno alle L 1 obbligazioni viventi, I 2 = (Ci)L 1 = (Ci)(N N 1 ). Dedotto I 2 da R 2 ci resta disponibile la quota capitale teorica C 2. Con questa rimborsiamo N 2 = ( C 2 /C) obbligazioni. Calcoliamo la quota capitale pratica C 2 = NC la cui somma con I 2 genera la rata pratica R 2 del 2 anno. Infine, la differenza tra la rata teorica R 2 e la rata pratica R 2 definisce il residuo r 2 = R 2 R 2, il cui montante (1 + i)r 2 aggiungeremo ad R per ottenere la rata teorica R 3 del 3 anno. Procediamo così di anno di anno fino all ultima scadenza. In questo modo, alla successione {R} di n rate costanti di comune importo R sostituiamo la successione delle rate pratiche, calcolate con la procedura, detta di gestione dei residui, ora descritta. La rendita descritta dalle rate pratiche ottenute con questo metodo di gestione dei residui ha lo stesso valore attuale NC della rendita a rata R costante, come nella (1.1): l equità dell operazione è così garantita, assieme al requisito di interezza richiesto sul numero N k di obbligazioni estratte ad ogni estrazione. 6

7 2 Valore, nuda proprietà, usufrutto 2.1 Valore, nuda proprietà, usufrutto del prestito Anche per i prestiti obbligazionari, come per quelli indivisi, si possono calcolare il valore W k (x) del prestito all epoca k, la nuda proprietà T k (x) e l usufrutto U k (x), grandezze calcolate con riferimento al tasso di valutazione x. Ovviamente, data la natura di queste e gli scopi pratici del loro calcolo, di norma converrà riferirsi a rate, quote capitale e quote interesse pratiche, anziché teoriche. Per esempio, qualora l emittente desideri calcolare il costo effettivo del denaro raccolto col prestito, potrà risolvere in x l equazione che si ottiene uguagliando W 0 (x) (calcolato sulle rate pratiche ed al lordo delle spese accessorie di rimborso) all importo del capitale raccolto con l emissione, inteso al netto di spese di emissione e di scarto di emissione Valore, nuda proprietà, usufrutto di una obbligazione È anche possibile introdurre le analoghe grandezze riferite ad una singola obbligazione. Ad esempio, possiamo definire l usufrutto U k (x) di un obbligazione di età k, cioè il valore, calcolato trascorsi k anni dall emissione ed al tasso unitario di interesse composto x, della rendita formata dalle future cedole che il possessore dell obbligazione incasserà, fino all estrazione del titolo. L incasso della cedola prevista al termine del periodo (k + t), contato dall emissione (perciò t periodi dopo il momento del calcolo), è subordinato al fatto che il titolo non risulti estratto prima di quella data. E la variabile t può assumere tutti i valori interi da 1 fino a (n k). Nel caso di cedola annua Ci costante per n anni, con valutazioni al tasso annuo composto x definito dal fattore di attualizzazione w = x, avremo allora, con i simboli usati per calcolare usufrutto, nuda proprietà e valore di prestiti indivisi U k (x) = (Ci)(1 w + 1 p k w p k w n k 1 p k w n k ). Il possesore sessore di un obbligazione vivente di età k è pure titolare di un altra rendita, anch essa aleatoria: quella descritta dai capitali di rimborso, nel senso che egli incasserà, rispettivamente tra 1, 2,..., (n k) anni, i valori di rimborso c k+1, c k+2,..., c n, a seconda che il titolo sia estratto alla fine dell anno (k + 1), (k + 2),..., n. Questi eventi configurano una partizione di un evento certo (l obbligazione sarà tosto o tardi estratta) e ad essi corrispondono, coi simboli del par , le rispettive probabilità 0/1q k, 1/1 q k,..., n k 1/1 q k. 7

8 Ciò premesso, la nuda proprietà T k (x) di un obbligazione di età k è il valore di tale rendita, sempre riferito all epoca di valutazione (trascorsi k anni dall emissione) e calcolato al tasso unitario di interesse composto x: T k (x) = = c k+1 w ( 0/1q k ) + ck+2 w 2 ( 1/1q k ) + + cn w n k ( n k 1/1q k ) = = c k+1 wn k+1 + c k+2 w 2 N k c n w n k N n. Infine, è del tutto naturale definire valore dell obbligazione di età k il valore W k (x) della rendita aleatoria descritta da tutti i futuri capitali (cedole e capitali di rimborso) che quel titolo consentirà di incassare prima del suo ritiro dalla circolazione. Ovviamente risulta W k (x) = U k (x) + T k (x). 2.2 Esercizi Vedi temi d esame in rete (Temi d esame Matematica Finanziaria Istituzioni L-Z esame/t e matematica finanziaria1 lz.htm). 8

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