Econometria. lezione 17. variabili dipendenti binarie. Econometria. lezione 17. AA Paolo Brunori

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Carla Luciana Morandi
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1 AA Paolo Brunori

2 domande di mutui rigettate - nei dati raccolti a Boston negli anni 90 il tasso di rifiuto è 28% per i neri e 9% per i bianchi - si può parlare di discriminazione? - è possibili valutare la probabilità di rifiuto per richiedenti identici in tutto fuorchè nell etnia? - è possibile utilizzare una regressione?

3 regressione con variabile dipendente binaria - un altro fattore rilevante per la probabilità di rifiuto è il rapporto P/I - dove P è la rata e I il reddito mensile - la rappresentazione di questi dati chiarisce che si tratta di dati particolari

rapporto P/I - dove P è la rata e I il reddito mensile - la

4 diagramma a nuvola per deny e P/I

5 regressione deny = α + βp/i - quando P/I è pari a 0.4 ˆ deny = 0.28: cosa significa? - interpretazione: il modello stima la probabilità che un mutuo con un rapporto P/I sia rifiutato - un modello OLS con variabile dipendente binaria si chiama modello lineare di probabilità - E(Y X 1,..., X k ) = Pr(Y = 1 X 1,..., X k ) - l interpretazione di β 1 è identica a quella dell OLS

rifiutato - un modello OLS con variabile dipendente binaria si chiama modello lineare di

6 inferenza - intervalli di confidenza e test delle ipotesi come nel caso dell OLS - omesse, eteroschedasticità rimangono una minaccia - R 2 invece non può essere utilizzato - perchè? - riuscite ad immaginare un caso in cui R 2 = 1?

rimangono una minaccia - R 2 invece non può essere

7 rifiuto di concessione di mutui a Boston richieste di mutui - si osserva: concessione/rifiuto, etnia (bianco, nero), il rapporto P/I, ed altre - il modello MLP basato solo su P/I restituisce: ˆ deny = 0.080(0.032) (0.098) P I

nero), il rapporto P/I, ed altre - il modello MLP basato

8 rifiuto di concessione di mutui a Boston cnt. - il modello MLP per valutare discriminazione, controllando per P/I, restituisce: ˆ deny = (0.029)+0.559(0.089) P I (0.025)black - come si interpretano i coefficienti? - cosa è possibile concludere riguardo alla discriminazione?

restituisce: ˆ deny = 0.0091(0.029)+0.559(0.089) P I +0.177(0.

9 pregi e difetti del MLP - interpretabilità - facilità di stima - se X può variare fra e + quali valori può assumere Ŷ? - è possibile che β sia lineare?

10 regressione probit e logit - vogliamo costringere Ŷ [0, 1] - un modo per farlo è quello di utilizzare una funzione cumulativa di distribuzione - le due varianti utilizzate sono quelle basate sulla c.d.f. normale e quelle basate sulla c.d.f. logistica

cumulativa di distribuzione - le due varianti utilizzate sono

11 regressione probit - nel caso di un solo regressore il modello è: Pr(Y = 1 X) = Φ(β 0 + β 1 P I ) - Φ è la funzione di ripartizione normale standard e β 0 + β 1 X prende il posto della Z - se P/I = 0.4, β 0 = 2 e β 1 = 3 la probabilità di rifiuto e: Φ(β 0 + β 1 0, 4) = Φ( 0, 8) - il valore si trova nelle [tavole]

β 1 X prende il posto della Z - se P/I = 0.

13 interpretazione di un modello probit

14 interpretazione di un modello probit - il modello si estende immediatamente a regressori multipli: Pr(Y = 1 X 1, X 2 ) = Φ(β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 ) - i coefficienti non possono essere interpretati - si ne può valutare il segno e la significatività - non si può interpretare come l effetto marginale

1 + β 2 X 2 ) - i coefficienti non possono essere interpretati - si ne può

15 effetti marginali - l effetto di una variazione di X su Y è non lineare - l effetto dipende dal valore iniziale X - l effetto di δx è: Ŷ = Φ (β 0 + β 1 (X + X)) Φ (β 0 + β 1 X)

16 rifiuto di concessione di mutui a Boston cnt. - il modello probit per valutare discriminazione, controllando per P/I, restituisce: ˆ deny = Φ( 2.26(0.16)+2.74(0.44) P I +0.71(0.083)black) - come si interpretano i coefficienti? - cosa è possibile concludere riguardo alla discriminazione?

restituisce: ˆ deny = Φ( 2.26(0.16)+2.74(0.44) P I +0.71(0.

17 analisi di regressione logit - analogo al modello probit utilizza la funzione di ripartizione logistica 1 Pr(Y = 1 X 1, X 2 ) = 1 + e β 0+β 1 X 1 +β 2 X 2 - in pratica non molto diversa dalla funzione normale

18 curva logit probit al confronto

19 probit vs. logit - probit: ˆ deny = 2.26(0.16) (0.44) P I (0.083)black - logit: ˆ deny = 4.13(0.35) (0.96) P I (0.15)black - sembrerebbero molto diversi

083)black - logit: ˆ deny = 4.13(0.35) + 5.

20 logit vs. probit - ma l interpretazione dei coefficienti non è quella solita! - valutiamo l effetto di essere nero nei due casi (assumiamo P/I = 0.3): - probit: deny ˆ black deny ˆ white = = Φ( ) Φ( ) = = = logit: deny ˆ black deny ˆ white = = e e = = = 0.148

3): - probit: deny ˆ black deny ˆ white = = Φ( 2.26+2.74 0.3+0.71) Φ( 2.26+2.74 0.3) = = 0.

21 stima probit e logit - la stima di questi modelli può basarsi sui minimi quadrati - in generale non si usano stima di minimi quadrati generalizzati ma stima di massima verosimiglianza (ML) - in pratica si esplicita la funzione di probabilità congiunta di regressori e variabile dipendente - dopo di che si cercano quei valori dei parametri che massimizzano la probabilità che il campione osservato sia stato estratto se quei parametri sono quelli veri - potete approfondire nell appendice del libro ma non fa parte del programma

22 inferenza con stime logit e probit - l importante per noi è che le stime ML si comportino bene - per grandi campioni si distribuiscono in modo approsimativamente normale - sono non distorte e sono più efficienti di quelle dei minimi quadrati generalizzati

23 bondtà di adattamento - R 2 non può essere utilizzato - per questo si usano due misure alternative: frazione correttamente predetta la percentuale di casi nei quali lla probabilità è predetta con errore minore di 0.5 pseudo-r 2 pseudo R 2 max ln(f = 1 ln(f max - non sono interpretabili come un R 2! PROBIT ) BERNOULLI )

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