Verifica n crediti

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1 Verifica n.45-1 crediti aprile Mercoledi' Si consideri il telaio di Figura 1, vincolato con due appoggi al piede e disconnesso con un bipendolo interno ad asse verticale nella mezzeria del traverso. Il carico q, costante, agisce sulla semiluce di sinistra verso il basso, e sulla semiluce di destra verso l'alto. Si vuole calcolare lo spostamento relativo tra le due facce del bipendolo q q Figura 1 - Un telaio isostatico di esempio per il calcolo di spostamenti Prima soluzione: principio dei lavoriu virtuali Utilizzando il principio dei lavori virtuali, si assume quale insieme di spostamenti quello risultante dallo schema (reale) di Figura 1, mentre il sistema di forze (virtuali) sara' quello di Figura, in cui due forze uguali e contrarie, di valore unitario, agiscono sulle due facce del bipendolo. Si avra' quindi: M' M s s = F u des F u sin = F u dove M' e' il momento dovuto al sistema di Figura, ed M e' il momento dovuto al sistema 1. (1)

2 488 Soluzione Verifica aprile crediti - FR.nb F=1 F=1 Figura - Il sistema di forze virtuali per il calcolo dello spostamento relativo in à Il momento M Il calcolo delle reazioni sul sistema di Figura 1 porta a scrivere : R + N = 0 R v + q = 0 M N q = 0 R v q = 0 R N = 0 () M + N q = 0 alla seconda e dalla quarta si ha subito : R v = q R v = q mentre la terza e la sesta conducono a : () N = q da cui le due reazioni orizzontali : (4) R = q R = q ed infine : (5)

3 Soluzione Verifica aprile crediti - FR.nb 489 M = N + q = q + q = q Il diagramma del momento si presenta come in Figura : (6) Figura - Il diagramma del momento dovuto ai carichi q e espressioni analitiche del momento, nei vari tratti, possono trarsi immediatamente: M x = q x M x = q +x M x = 1 q I4 x + x M (7) (8) (9) M x = 1 q I + x M (10) Nota - Per l'espressione del momento in si e' considerato che: M 0 = T = R = q M = q (11) T = 0 mentre per il momento in si e' considerato che : M 0 = q M = T = R = q T 0 = 0 (1)

4 490 Soluzione Verifica aprile crediti - FR.nb à Il momento M' Il calcolo delle reazioni sul sistema di Figura porta a scrivere : R + N = 0 R v F = 0 M N +F = 0 R v + F = 0 R N = 0 M + N +F = 0 alla seconda e dalla quarta si ha subito : R v = F R v = F mentre sommando la terza e la sesta si ha : N = F da cui le due reazioni orizzontali : R = F R = F Il diagramma del momento si presenta come in Figura 4: (1) (14) (15) (16) Figura 4 - Il diagramma del momento dovuto alle forze virtuali e espressioni analitiche del momento, nei vari tratti, possono trarsi immediatamente: M x = 4 F 1 x M x = F K1 x O (17) (18)

5 Soluzione Verifica aprile crediti - FR.nb 491 M x = F +F K1 x O (19) M x = F + F K1 x (0) O Nota - 'espressione del momento lungo il traverso e' stata divisa in due diverse formule, in vista dell'applicazione del principio dei lavori virtuali à Il calcolo dello spostamento Si puo' suddividere l'integrale nelle sue quattro parti, ottenendo u = M' M s s = 0 0 q x 4 F 1 x x + 1 q I4 x + x M K F + F K1 x OO x q I + x M K F + F K1 x OO x q +x q K F K1 x OO x = 47 4 q q 8 q = 6 q 7 4 q 4 (1) Seconda soluzione: metodo della linea elastica osi' come nell'espressione del principio dei lavori virtuali si e' trascurato il termine del lavoro dovuto allo sforzo normale, occorre ora ipotizzare che il telaio sia rigido assialmente, ossia che le aste conservino la loro lunghezza, e trarre le opportune conclusioni nei confronti dei relativi spostamenti assiali. d esempio, nel telaio di Figura 1, l'inestensibilita' assiale e la presenza degli appoggi in ed ed in implica che: w x = 0 w x = 0 () Inoltre, l'inestensibilita' assiale implica che i due tratti orizzontali traslino di una quantita' costante, e la presenza del bipendolo ad asse verticale implica che questa quantita' sara' unica. Ne segue che potra' porsi: w x = δ w x = δ () partire dai momenti, si ricavano rotazioni e spostamenti, attraverso due integrazioni successive:, introducendo quindi le otto costanti di integrazione f i e v i, che potranno calcolarsi, insieme allo spostamento incognito d, imponendo le nove condizioni ai limiti relative alla funzione u ed alla sua derivata prima: φ = 1 φ = 1 m x +φ 1 = q x m x +φ = q q x +φ 1 x + q x q x 6 +φ (4)

6 49 Soluzione Verifica aprile crediti - FR.nb ed ancora : φ = 1 m x +φ = q x + q x 6 +φ φ = 1 m x +φ 4 = q x + q x +φ 4 v = φ x + v 1 = q x v = φ x + v = q x v = φ x + v = q x 4 + q x 6 φ 1 x + v 1 q x 6 + q x 4 4 x φ + v q x 4 4 x φ + v v = φ x + v 4 = q x q x 6 x φ 4 + v 4 (5) Si sono introdotte quindi le otto costanti di integrazione f i e v i, che potranno calcolarsi, insieme allo spostamento incognito d, imponendo le nove condizioni ai limiti relative alla funzione u ed alla sua derivata prima: In corrispondenza dell'appoggio in, viene proibita la traslazione: u = 0 Nel nodo si ha, ipotizzando che d sia positivo se verso destra: u 0 = 0 u 0 = δ φ 0 = φ 0 In corrispondenza del bipendolo: Nel nodo si ha: φ = φ 0 u = 0 u 0 = δ φ = φ 0 Infine, in corrispondenza dell' appoggio : (6) (7) (8) (9) u = 0 Utilizzando le (4-4) si giunge ad un sistema di nove equazioni in nove incognite, che fornisce: v 1 = 5 +9 q v = 0 v = 4 +4 q 8 v 4 = 5 +9 q (0)

7 Soluzione Verifica aprile crediti - FR.nb 49 φ 1 = + q φ = + q φ = q φ 4 = + q δ = 5 +9 q o spostamento del tratto puo' quindi scriversi : v = q x mentre nel tratto si avra': q x 6 + q x q x () v = q x 4 q x q x 4 +4 q 8 Infine, la richiesta variazione di spostamento sara' data da : u = v 0 v = 4 +4 q q 8 Nota - Il telaio illustrato e' definito "telaio ad un nodo spostabile" = 4 +7 q 4 () (4)