Il confronto fra proporzioni

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1 L. Boni Il rapporto Un rapporto (ratio), attribuendo un ampio significato al termine, è il risultato della divisione di una certa quantità a per un altra quantità b Il rapporto Spesso, in maniera più specifica, si parla di rapporto quando numeratore e denominatore rappresentano due quantità separate e distinte, nessuna delle due contenuta nell altra Sex ratio=(n di maschi)/(n femmine) Fetal death ratio=(n di morti fetali)/(n di nati vivi) 1

2 La proporzione La proporzione è un particolare tipo di rapporto in cui il numeratore è compreso nel denominatore La proporzione (N di maschi) / [(N di maschi) + (N di femmine)] Una proporzione ha sempre numeratore e denominatore discreti ed un valore compreso fra 0 e 1 Come analizzare le proporzioni FIGURA 5.1 GLANTZ VARIABILE CASUALE BINARIA P destro = P(X=0) = 150/200 = 0.75 P mancino = P(X=1) = 50/200 = 0.25 P destro = 1 - P mancino 2

3 Media di una variabile binaria e generalizzando: cioè la proporzione della popolazione con la caratteristica studiata Deviazione standard di una variabile binaria NOTA: Possiamo descrivere completamente la struttura della popolazione con il singolo parametro P Relazione fra media e deviazione standard di una proporzione FIGURA 5.3 GLANTZ 3

4 Stima di proporzioni ottenute da campioni Qual è la precisione con la quale la proporzione di individui con un certa caratteristica di un campione riflette la proporzione di individui con la stessa caratteristica nella popolazione? FIGURA 5.4 GLANTZ Stima di proporzioni ottenute da campioni FIGURA 5.5 GLANTZ Errore standard della stima di una proporzione FIGURA 5.6 GLANTZ 4

5 Distribuzione binomiale Distribuzione binomiale Distribuzione binomiale 5

6 Distribuzione binomiale dove Assunti Stiamo analizzando esperimenti di tipo bernoulliano, nei quali: Ogni singolo esperimento ha solo due possibili esiti mutuamente esclusivi La probabilità P di un certo esito rimane costante Tutti gli esperimenti sono indipendenti Assunti Utilizzando il concetto di popolazione, possiamo riformulare gli assunti nel modo seguente: Ogni unità della popolazione appartiene ad una sola delle due classi La proporzione P di unità della popolazione appartenenti ad una delle due classi rimane costante Ogni unità del campione è estratta indipendentemente da tutte le altre unità 6

7 Confronto fra una proporzione ed un valore atteso RICORDA: Il teorema del limite centrale afferma che la distribuzione di p per campioni abbastanza numerosi è approssimativamente normale con media P e deviazione standard p Confronto fra una proporzione ed un valore atteso Se estraiamo ripetutamente un campione di numerosità n da una popolazione con parametro P, il 68% dei campioni forniranno una stima di P compresa nell intervallo P 1 E.S. ed il 95% nell intervallo P 2 E.S. Un esempio 7

8 Un esempio Questa approssimazione non vale per valori di P vicini a 0 o a 1, o quando la numerosità campionaria n è piccola. Di regola è accettabile quando np e n(1-p) sono entambi maggiori di 5. Confronto fra una proporzione ed un valore atteso P = parametro della popolazione O/n = p = proporzione osservata Ipotesi nulla (H0): n è un campione casuale estratto da una popolazione con parametro P Confronto fra una proporzione ed un valore atteso Test z: misura in unità di D.S. (=E.S.) la distanza fra la P della popolazione e la p osservata 8

9 Confronto fra una proporzione ed un valore atteso Esempio: su 60 giocate alla roulette mi aspetto 30 rossi (50%) e ne osservo 15 Intervallo di confidenza di una proporzione Sappiamo che segue approssimativamente la distribuzione normale Intervallo di confidenza di una proporzione Ne deriva che Nel nostro esempio: x <P< x % IC =

10 Confronto fra due proporzioni p 1 = O 1 /n 1 p 2 = O 2 /n 2 Ipotesi nulla (H0): n 1 e n 2 sono due campioni casuali estratti dalla stessa popolazione p 1 = p 2 = P e p 1 - p 2 = 0 Confronto fra due proporzioni La migliore stima disponibile di P è la media pesata tra p 1 e p 2, cioè: Confronto fra due proporzioni Test z: misura in unità di D.S. della differenza (=E.S. d ) la distanza tra la differenza osservata (p 1 -p 2 ) e quella attesa in base all ipotesi nulla (=0) 10

11 Un esempio p(trombo Placebo) = 18/25 = 0.72 p(trombo Aspirina) = 6/19 = 0.32 verifichiamo: 25 x 0.72 = 18 e 25 x (1-0.72) = 7 19 x 0.32 = 6 e 19 x (1-0.32) = 13 Poiché tutti i valori sono più grandi di 5 possiamo applicare il metodo sviluppato Un esempio Intervallo di confidenza di una differenza fra proporzioni Sappiamo che: segue approssimativamente la distribuzione normale, da cui ne deriva che: 11

12 Intervallo di confidenza di una differenza fra proporzioni Nel nostro esempio: x 0.15 <P< x % IC = Analisi delle tabelle di contingenza Placebo = 25/44 = 57% Aspirina = 19/44 = 43% Trombi+ = 24/44 = 55% Trombi- = 20/44 = 45% P(T+ Pl) = 18/25 = 72% P(T+ As) = 6/19 = 32% Analisi delle tabelle di contingenza Ipotizziamo che il trattamento non abbia influenzato la probabilità di sviluppare trombosi 12

13 Il test statistico chi quadrato Il test statistico deve indicare la misura con cui le frequenze osservate in ogni cella della tabella differiscono dalle frequenze che ci aspetteremmo, se non ci fosse associazione fra i trattamenti e gli esiti Il test statistico chi quadrato Il test statistico deve inoltre tenere conto del fatto che, nel caso in cui ci aspettiamo parecchie osservazioni in una cella, la differenza di una unità fra le frequenze attesa ed osservata è meno importante che nel caso in cui ci aspettiamo solo poche osservazioni Distribuzione chi quadrato FIGURA 5.7 GLANTZ Nel nostro esempio: 13

14 Distribuzione chi quadrato L utilizzo della distribuzione 2 presuppone che, affinché la distribuzione teorica sia un approssimazione sufficientemente buona di quella vera, il numero atteso di individui in ogni cella sia uguale o maggiore di 5 E possibile dimostrare che 2 = z 2 quando ci sono solo due campioni e due esiti possibili 14

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