CAPITOLO UNDICESIMO VARIABILI CASUALI 1. INTRODUZIONE

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1 CAPITOLO UNDICESIMO VARIABILI CASUALI SOMMARIO:. Itroduzioe. -. Variabili casuali discrete La variabile casuale di Beroulli La variabile casuale biomiale. -. La variabile casuale di Poisso La variabile casuale iergeometrica Variabili casuali cotiue. 8. La variabile casuale ormale. 9. La variabile casuale logormale La variabile casuale Gamma. -. La variabile casuale chi - quadrato. -. La variabile casuale t di Studet La variabile casuale F di Fisher - Sedecor La variabile casuale esoeziale egativa. -. La variabile casuale uiforme Teorema del limite cetrale. - Utilizzo dei fogli elettroici i Statistica.. INTRODUZIONE Ua variabile casuale (v.c.) detta ache variabile aleatoria, è ua fuzioe misurabile e a valori reali defiita sullo sazio camioe Ω. Ad ogi elemeto dello sazio camioe corrisode uo e u solo valore della v.c.; si defiisce ua variabile casuale quado si crea ua corrisodeza tra l isieme dei risultati di ua rova e l isieme dei umeri reali. Tuttavia, la corrisodeza tra eveti e umeri o deve essere ecessariamete biuivoca. Si deve sottolieare, ioltre, che ua v.c., se è vero che uò assumere, rima di ua data rova, u valore qualsiasi, doo la rova assume uo ed u solo valore umerico, detto determiazioe della v.c. Geeralmete, come sioimo di v.c. si usa l esressioe variabile stocastica, ache se el 987 Dall Aglio ha oerato ua distizioe defiedo stocastico ciò che cocere il calcolo delle robabilità, e casuale ciò che deriva da situazioi i cui esiste idiffereza robabilistica elle refereze, ei risultati, etc. Le v.c. ossoo essere discrete o cotiue. Nello schema seguete si distiguoo le due tiologie di v.c. di cui daremo ua defiizioe recisa el corso del caitolo: Variabili casuali discrete Beroulli Biomiale Poisso Iergeometrica Uiforme Variabili casuali cotiue Normale Logormale Gamma Chi-quadrato t di Studet F di Fisher-Sedecor Esoeziale egativa Uiforme

2 0 Caitolo Udicesimo. VARIABILI CASUALI DISCRETE Ua v.c. è discreta se i valori che assume soo i corrisodeza di u isieme umerabile. Ad ua v.c. discreta è associata la fuzioe di robabilità, che esrime la robabilità: P(X = ) = di ogi valore assuto dalla v.c.; essa è defiita se e solo se: ( i ) 0 i =,, ; ( i )=. i= Ua v.c. ha ua cofigurazioe aaloga a quella di ua variabile statistica, e differisce erché, i corrisodeza delle sigole modalità, o si trovao le frequeze (assolute o relative), ma le robabilità. Ne cosegue che l isieme delle robabilità dei diversi valori ossibili di ua v.c. costituisce ua distribuzioe di robabilità (simile, i sostaza, ad ua distribuzioe di frequeza) di tale v.c. Voledo idicare ua v.c. graficamete si ogoo i ascissa di u sistema di riferimeto cartesiao i valori reali che essa assume e i ordiata le corrisodeti robabilità: P(X = ) i i Variabile casuale discreta Nell ifereza statistica fodametale imortaza ha la fuzioe di riartizioe o fuzioe di distribuzioe cumulativa che esrime la robabilità che la v.c. X assuma valori iferiori o uguali ad u valore refissato, cioè er ogi reale: F( )= P X i ( )= ( ) i Essa è o decrescete, comresa semre tra 0 e, ed è tale er cui: Ioltre, è cotiua da destra. lim F 0; lim F ( )= ( )= +

3 Variabili casuali ESEMPIO Si cosideri l eserimeto cosistete el lacio di u dado o truccato, determiare: a) i valori che assume la fuzioe di riartizioe relativa alla v.c. associata al lacio del dado; b) la raresetazioe grafica della fuzioe di riartizioe. La v.c. X associata al lacio del dado assume i soli valori,, 3,, 6, i quali soo ugualmete robabili e co robabilità ari a /6. a) La fuzioe di riartizioe assume, quidi, i segueti valori: F() < 0 i i + i/6 er i =,,, 6 Tabella I effetti, ache se i valori della iferiori ad o sueriori a 6 soo imossibili, ha seso calcolare i ossibili valori della fuzioe di riartizioe. b) La raresetazioe grafica della fuzioe di riartizioe è ua fuzioe a gradii: F() /6 4/6 3/6 /6 / I valori caratteristici di ua v.c. soo: il valore medio e la variaza.. Valore medio Data ua v.c. discreta X che assume i valori,,, co robabilità,,, il valore atteso o seraza matematica corrisode al valore medio della distribuzioe di robabilità della v.c., i simboli: E( X)= µ = = i i L esressioe seraza matematica è tiicamete usata ei giochi d azzardo. i=

4 Caitolo Udicesimo ESEMPIO U giocatore d azzardo vice 0 se ua carta estratta da u mazzo è di cuori, e vice 40 se la carta è di quadri, e erde 30 se la carta è di fiori e o vice é erde se la carta è di icche. Determiare il suo guadago atteso. La v.c. X è data dalla vicita (o dalla erdita) e la sua fuzioe di robabilità è raresetata ella tabella seguete: La seraza matematica è data da: i i 0, 0, 0, 0, Tabella E(X) = 0 0, , 30 0, + 0 0, = 7, Ne cosegue che il guadago atteso dal giocatore è di 7,. A questo uto sarebbe ache ossibile stabilire ua misura dell equità del gioco i base alle oste stabilite er giocare.. Variaza La variaza di ua v.c. è quel valore caratteristico che idica la disersioe dei valori itoro al valore medio. Essa è defiita come la seraza matematica del quadrato della differeza tra la variabile X e la sua seraza matematica; sia σ la variaza della v.c. X, i simboli: Se la v.c. X è discreta la variaza è ari a: ESEMPIO 3 σ Var X E X µ = ( ) = ( ) ( )= ( ) i= Var X µ i i Determiare la variaza della v.c. defiita ella tabella. Per determiare la variaza della v.c. resa i esame si cosideri il seguete schema di calcolo: i i i µ ( i µ) ( i µ) i 0 0,, 6, 39, , 3,.06, 64, , 37,.406, 3,6 0 0, 7, 6, 4,06 Alicado la formula, la variaza è: σ = 39, ,06 + 3,6 + 4,06 = 668,7 Schema

5 Variabili casuali 3 Al solito si defiisce lo scarto quadratico medio (o deviazioe stadard) σ la radice quadrata della variaza. Nei successivi aragrafi ci occueremo delle segueti v.c. discrete: la v.c. di Beroulli, la v.c. biomiale, la v.c. di Poisso e la v.c. iergeometrica; metre della v.c. uiforme discreta ci occueremo trattado le v.c. cotiue. 3. LA VARIABILE CASUALE DI BERNOULLI La v.c. di Beroulli, dal ome del matematico svizzero che diede grade cotributo allo sviluo della robabilità, è la distribuzioe di robablità di ua variabile dicotomica (o biaria) che assume valori 0 e co robabilità e, risettivamete. Geeralmete si attribuisce il valore al successo e il valore 0 all isuccesso, quidi è la robabilità del successo e q = è la robabilità dell isuccesso. Essa è il caso articolare ( = ) di ua v.c. biomiale di cui ci occueremo el rossimo aragrafo. La media e la variaza di ua v.c. di Beroulli, idicata co X Ber (, ), soo risettivamete: E(X) = ; Var(X) = ( ) Tale modello robabilistico si ritrova el iao degli eserimeti, el cotrollo di qualità, elle aalisi cliiche, ei test sicologici etc., i quato sesso, elle iù svariate situazioi serimetali, si è iteressati ad accertare se u eveto E (detto successo) si verifica oure o: vivo-morto; utile-guasto; fuzioa-o fuzioa; suerato-resito etc. 4. LA VARIABILE CASUALE BINOMIALE Si suoga di avere eveti idiedeti di tio beroulliao, tutti della stessa secie, ciascuo dei quali ha ua robabilità di accadere e ua robabilità q = di o accadere. Se la robabilità del successo di uo di questi eveti è, allora la robabilità che accadao tutti gli eveti è data da, allo stesso modo si uò dire che la robabilità che tutti gli eveti o accadao è data da ( - ). Per calcolare le robabilità che la v.c. biomiale assuma, risettivamete, i valori,,, si deve cosiderare, ogi volta, il umero di modi i cui oggetti si ossoo redere da, i altri termii, si deve cosiderare il umero di combiazioi di oggetti a a. Pertato, al feomeo umero di successi i rove idiedeti è associata la seguete distribuzioe di robabilità: i i 0 q q q

6 4 Caitolo Udicesimo La v.c. biomiale ha fuzioe di distribuzioe: P X q ( = )=! q =!! ( ) (4.) media e variaza, risettivamete, ari a: E(X) = ; Var(X) = ( ) e si idica i questo modo X Bi (, ). Il grafico raresetativo della distribuzioe biomiale reseta u adameto diverso a secoda del valore assuto da, ifatti se esso è uguale, miore, maggiore a 0, la distribuzioe reseta, risettivamete, simmetria, asimmetria egativa, asimmetria ositiva. Essedo utilizzabile i tutti i casi i cui gli esiti di ua rova ossoo essere ridotti a due (successo - isuccesso), la distribuzioe biomiale è tiicamete adoerata el caso dei cotrolli di qualità di u dato ezzo che uò essere classificato come difettoso oure o difettoso. ESEMPIO U ura cotiee 4 allie biache e 8 rosse. Determiare la robabilità che, estraedo a caso 4 allie dall ura e rimettedo ogi volta la allia estratta ell ura, sortiscao a) 0; b) ; c) ; d) 3; e) 4 allie biache. Raresetare graficamete la distribuzioe di robabilità otteuta. 4 Le robabilità richieste si ottegoo alicado la formula (4.) i cui = = 8 robabilità di estrarre ua allia biaca dall ura e q = = 3 allia rossa dall ura. Esse soo: a) P( X= 0)= =, ; 3 4 b) P( X= )= 039, 3 3 = ; 4 c) PX ( = )= =, ; d) PX ( = 3)= =, ; e) PX ( = 4)= =,. 3 3 è la è la robabilità di estrarre ua

7 Variabili casuali È ovvio che la somma di tutte queste robabilità è uguale a. La raresetazioe grafica della distribuzioe di robabilità è la seguete: P(X) 0,39 0,963 0,97 0,0988 0, Il grafico è asimmetrico. ESEMPIO Si suoga che la robabilità che asca u maschio sia esattamete uguale alla robabilità che asca ua femmia. Determiare la robabilità che i ua famiglia di figli: a) almeo uo sia maschio; b) 4 siao femmie. Si tratta di u roblema di rove rietute e quidi uò essere utilizzata la distribuzioe biomiale: Alicado la formula abbiamo: = umero delle rove = (umero dei figli); P( X = )= q = robabilità di ascita di u maschio; q = robabilità di ascita di ua femmia.

8 6 Caitolo Udicesimo a) P( X )= = = = = = = , b) P( X = ) = = = = 3 0, = ESEMPIO 3 È oto che il 38% dei diedeti di ua multiazioale è di colore. Cosiderado u camioe casuale di 8 diedeti, determiare: a) la robabilità che al massimo 4 diedeti siao di colore; b) la robabilità che sia di colore u umero di diedeti comreso tra 6 e 9; c) la media e la variaza della distribuzioe. La v.c. discreta X rareseta il umero di ersoe di colore è: 8 8 P = ( X = ) = ( 038, ) ( 06, ) a) La robabilità che al massimo 4 ersoe siao di colore è data da: P( X 4) = P( X = 0)+ P( X = ) + P( X = ) + P( X = 3)+ P( X = 4) Saedo che = 8, 38 e q 6 si ha: P( X = 0) = ( 0, 38) ( 0, 6) P( X = ) = ( 0, 38) ( 0, 6) P( X = ) = (, ) (, ) =, 8 3 P( X = 3) = 3 ( 0, 38) ( 0, 6) P( X = 4) = 4 er cui: 4 4 0, 38 0, 6 0, 0793 ( ) ( ) = P(X 4) , , , ,

9 Variabili casuali 7 b) La robabilità che sia di colore u umero di diedeti comreso tra 6 e 9 è: P(6 X 9) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) Le robabilità cosiderate soo, risettivamete: PX ( = )= ( 0, 38) ( 0, 6) PX ( = )= ( 0, 38) ( 0, 6) PX ( = )= ( 0, 38) ( 0, 6) PX ( = )= 8 9 ( ) , 0 9 (,6 ) 0874 er cui la robabilità richiesta è: P(6 X 9) , , , c) La media e la variaza della distribuzioe soo ari, risettivamete a: E(X) = = 8 0,38 = 6,84 Var(X) = q = 8 0,38 0,6 = 4,408. LA VARIABILE CASUALE DI POISSON La v.c. di Poisso o v.c. degli eveti rari assume rilievo quado si tratta di determiare il umero di volte i cui si verifica u eveto casuale i u dato itervallo di temo/sazio. Essa è la iù adatta er descrivere i feomei i cui, su u grade umero di rove, er ciascua delle quali la robabilità di successo è iccola, si verificao mediamete λ successi. È molto utilizzata er studiare il umero di guasti, di clieti i arrivo, di auto i coda etc. La distribuzioe di Poisso si ottiee come limite della distribuzioe biomiale assumedo = λ e. Per ricavare la distribuzioe di Poisso osserviamo che se è molto iccolo, il umero medio di eveti sarà molto iù iccolo di (totalità delle rove), cosicché, che è il umero di successi, sarà estremamete iù iccolo di. Nell esressioe della distribuzioe biomiale ossiamo allora fare due arossimazioi. Per cui, alla fie oedo = λ avremo: Ioltre, oiché: λ λ λ! ( ) =! ( ) / / / lim e λ 0 ( ) λ = ( ) λ

10 8 Caitolo Udicesimo avremo che la fuzioe di distribuzioe di Poisso è data da: PX ( = ) = lim e ( ) = ( λ) λ! 0 Il valore medio e la variaza di ua variabile di Poisso soo dati da: E(X) = λ; Var(X) = λ La v.c. di Poisso si idica co X Po (λ). Il grafico raresetativo della distribuzioe di robabilità reseta asimmetria ositiva, al crescere di λ diviee iù simmetrico. ESEMPIO I ua data oolazioe il umero delle ascite mesili segue la distribuzioe di Poisso, co u tasso di atalità mesile medio λ =. Determiare la robabilità di avere i u mese u umero di ascite maggiore di. La robabilità di avere u umero di ascite maggiore di i u dato mese si determia i questo modo: Co λ = e, si ha: quidi: [ ( )] PX ( > )= PX ( = 0)+ PX ( = )+ PX= ( ) 0 e PX ( = 0)= 3 0! e ( ) PX ( = )= 7! e ( ) PX ( = )= 7! P(X > ) = [0,3 + 0,7 + 0,7] 33 ESEMPIO I u iccolo albergo di rovicia ogi 3 giori arrivao i media 4 clieti. Determiare: a) la robabilità che i 3 giori arrivi u umero di clieti miore o uguale a ; b) la robabilità che i 3 giori arrivi u umero di clieti maggiore di 6.

11 Variabili casuali 9 a) La robabilità che i 3 giori arrivi u umero di clieti miore o uguale a è: P(X ) = P(X = 0) + P(X = ) + P(X = ) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = ) dove: e ( ) = ( ) P X = 0 e ( ) = ( ) P X = e ( ) = ( ) 44 P X =! e P( X = 3) = ( 44 ) 3! e 44 ( = 4) = ( ) P X 4! e P( X = ) = ( 44 )! ! ! da cui: P(X ) , ,46 + 0,94 + 0,94 + 0,63 78 b) La robabilità che i 3 giori arrivi u umero di clieti maggiore di 6 è data da: P( X > 6)= P( X = 0)+ P( X = )+ P( X = )+ P( X = 3)+ P( X = 4) + P( X = ) = = P( X )= 0, 78= 0, LA VARIABILE CASUALE IPERGEOMETRICA La v.c. iergeometrica assume rilievo allorché si fa riferimeto alla distribuzioe di robabilità associata ad ua estrazioe seza rietizioe da ua oolazioe di amiezza fiita H. Per questo la variabile è detta ache v.c. dell estrazioe i blocco. Se la oolazioe è comosta da r elemeti di u tio e da H r elemeti di u altro tio, allora la robabilità di trovare elemeti del rimo tio, da u camioe di umerosità, è data da: r H r P( X = )= H Quado N è abbastaza grade ed è iccolo risetto a N, tale distribuzioe uò essere arossimata dalla v.c. biomiale.

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