Prof. F.Soramel Elementi di Fisica 2 - A.A. 2010/11 1

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1 Induzione La legge dell induzione di Faraday combina gli effetti dei campi elettrici e delle correnti, infatti sappiamo che Corrente + campo magnetico momento torcente motore elettrico Momento torcente + campo magnetico corrente generatore Osservazioni sperimentali 1. Corrente generata solo se c è moto relativo tra spira e magnete, i = 0 quando il moto relativo termina 2. La rapidità del movimento influisce sull intensità della corrente 3. Avvicinando il polo N alla spira la corrente circola in senso orario, allontanandolo in senso antiorario, la situazione si inverte con il polo Sud Prof. F.Soramel Elementi di Fisica 2 - A.A. 2010/11 1

2 Se abbiamo una corrente indotta, allora il lavoro fatto nell unità di tempo per far passare gli elettroni di conduzione attraverso la spira è la f.e.m. indotta. Induzione elettromagnetica Tutto fermo, spire elettricamente isolate. Chiudo il circuito e vedo i 2 nella seconda spira poi tutto a zero di nuovo. Apro S e per un istante vedo una corrente in senso opposto al precedente. Varia i 1 ho i 2 indotta, i 1 stazionaria i 2 = 0 Fenomeni di induzione dipendono dalla variazione del flusso del campo magnetico. Legge di induzione di Faraday In una spira viene indotta una f.e.m. quando il numero delle linee di forza del campo magnetico che attraversano la spira varia. Prof. F.Soramel Elementi di Fisica 2 - A.A. 2010/11 2

3 Considerando il flusso di B attraverso la spira, quantitativamente si ha Φ B = B da se B da e B uniforme su tutta la spira A Φ B = BA [ Φ ] = Wb = Tm 2 B La f.e.m. indotta in una spira è uguale alla derivata temporale, cambiata di segno, del flusso del campo magnetico attraverso quella spira (Faraday + Lenz) La f.e.m. si oppone alla variazione di flusso di B per ripristinare la situazione originaria. Se abbiamo una bobina con N spire Prof. F.Soramel Elementi di Fisica 2 - A.A. 2010/11 3

4 Il flusso magnetico concatenato varia se: 1. varia l intensità di B attraverso la bobina 2. varia l area della bobina o la parte di essa interessata da B 3. varia l angolo tra B e il piano in cui giace la bobina C è poi il caso di un tratto rettilineo di circuito che si muove tagliando le linee di flusso di B (flusso tagliato) Legge di Lenz (1834) La corrente indotta nella spira ha un verso tale che il B, generato dalla corrente indotta, si oppone alla variazione del B che l ha originata. Conservazione dell energia La f.e.m. ha il verso della corrente indotta. Prof. F.Soramel Elementi di Fisica 2 - A.A. 2010/11 4

5 Avvicino il magnete B attraverso la spira, si induce una i che si oppone all aumento di B. Se il magnete si allontana la corrente è oraria (la spira presenta il Sud verso il magnete). Se la barra è lontana il flusso attraverso la spira è piccolo. Quando la barra si avvicina con il N alla spira, il flusso concatenato aumenta si generano i e B i che si oppongono alla variazione di flusso Prof. F.Soramel Elementi di Fisica 2 - A.A. 2010/11 5

6 z S y B R V E vxb P x v Q l Consideriamo due conduttori in grado di muoversi senza attrito uno rispetto all altro. Il circuito (PQRS) così realizzato si trova in una zona in cui un B uniforme e al circuito. Il tratto PQ si muove con velocità v Sulle cariche di PQ agisce la forza di Lorentz q(vxb) il cui effetto è quello di creare un campo elettrico equivalente E eq tale che Tra P e Q esiste una d.d.p. / Sugli altri lati non ci sono cariche in moto non ci sono forze Prof. F.Soramel Elementi di Fisica 2 - A.A. 2010/11 6

7 Poniamo ora SP = x, l area del circuito vale (lx) e il Φ B è Pertanto abbiamo che il flusso di B aumenta e il segno della d.d.p. è quello del prodotto vettoriale vxb l S ω x u n P vxb v θ Q B Sui lati orizzontali globalmente non ci sono forze dovute a B R Prof. F.Soramel Elementi di Fisica 2 - A.A. 2010/11 7

8 Per il flusso si ha La legge dell induzione f.e.m.= -(dφ B /) può essere impiegata quando la variazione del flusso di B è dovuta ad una variazione di B, oppure ad una deformazione del circuito su cui si calcola la f.e.m. (varia S), o ad entrambe. Quando, in seguito ad una variazione del flusso di B, nel circuito viene indotta una f.e.m. e quindi F una corrente che, circolando, surriscalda il circuito stesso si genera energia termica. Si deve quindi fornire energia al sistema magnete + spira per bilanciare la potenza dissipata per effetto Joule. Per far muovere la spira con velocità v bisogna applicare una forza F che si deve opporre ad F 1, la spira si muove con v = costante se F ed F 1 sono uguali in modulo. Prof. F.Soramel Elementi di Fisica 2 - A.A. 2010/11 8

9 La potenza in gioco vale Sappiamo che f.e.m. = BvL i = f.e.m./r = BvL/R, R è la resistenza globale della spira F 2 ed F 3 sono uguali ed opposte solo F 1 deve essere bilanciata da F La potenza termica dissipata è Potenza meccanica Potenza termica Le due potenze sono uguali quindi il lavoro fatto per spostare la spira viene convertito completamente in energia termica Prof. F.Soramel Elementi di Fisica 2 - A.A. 2010/11 9

10 1. Campi elettrici generati da cariche: le linee di forza partono dalla carica positiva e finiscono su quella negativa 2. Campi elettrici generati da variazioni di flusso: le linee di forza sono chiuse su se stesse Prof. F.Soramel Elementi di Fisica 2 - A.A. 2010/11 10

11 Un induttore od induttanza è un elemento di un circuito in grado di produrre un campo magnetico noto in una zona predeterminata dello spazio. L induttanza è definita come NΦ B = flusso concatenato Calcoliamo ora l induttanza di un solenoide Prendiamo un solenoide molto lungo di sezione A e ne calcoliamo l induttanza per unità di lunghezza. Prendiamo un pezzo di solenoide di lunghezza l vicino al centro del solenoide stesso, il flusso concatenato vale L è una quantità puramente geometrica Prof. F.Soramel Elementi di Fisica 2 - A.A. 2010/11 11

12 Autoinduzione Se in un induttanza varia la corrente i, si genera una f.e.m. indotta E L E L = forza elettromotrice autoindotta E L = d ( NΦ ) B ( ) E L = d Li = L di NΦ B i E L dipende dalla rapidità della variazione di i nella bobina. L induttanza ideale ha resistenza nulla = L Prof. F.Soramel Elementi di Fisica 2 - A.A. 2010/11 12

13 Circuiti RL Portiamo S in a e chiudiamo il circuito. Abbiamo una f.e.m = E improvvisa nel circuito e comincia a circolare una corrente i che cresce nel tempo. Nell induttanza si genera un E L indotta in verso opposto alla di/ E L = di L la corrente nella resistenza R è minore di E/R. Dopo un certo tempo i arriva asintoticamente al valore massimo ed E L cessa di esistere. Il ruolo di L è allora quello di contrastare inizialmente il crescere di i nel circuito, in seguito, raggiunto il valore massimo di i, L si comporta come un conduttore. Prof. F.Soramel Elementi di Fisica 2 - A.A. 2010/11 13

14 Nel dettaglio si ha E = ir + L di Abbiamo una equazione differenziale la cui soluzione i(t) deve soddisfare alla condizione iniziale i(0) = 0. i(t) E/R ( ) = E R 1 e tr L i t τ L = L R τ C = RC V R = ir V R E per t 0 per t = 0 Prof. F.Soramel Elementi di Fisica 2 - A.A. 2010/11 14

15 V L = L di = LE R R L e t τ L = Ee t τ L V L 0 per t E per t = 0 Vediamo ora la fase di scarica L di + Ri = 0 i 0 ( ) = E R i = E R e t τ L = i 0 e t τ L i( ) = 0 Energia immagazzinata in un campo magnetico E = ir + L di Ei = i 2 R + Li di Conservazione dell energia in un circuito formato da una maglia Prof. F.Soramel Elementi di Fisica 2 - A.A. 2010/11 15

16 Se dq passa attraverso un generatore di f.e.m. E nel tempo, il generatore compie un lavoro Edq; potenza sviluppata dal generatore è E dq = Ei Ei energia immessa nel circuito dal del generatore nell'unita' di tempo La potenza dissipata per effetto Joule vale Ri 2 de L = Li di de L = Lidi potenza con cui l energia magnetica viene immagazzinata in L E L i de L = Lidi 0 E L = 1 2 i2 L E C = q 2 C Prof. F.Soramel Elementi di Fisica 2 - A.A. 2010/11 16

17 Densità di energia del campo magnetico Consideriamo un tratto di lunghezza l di un solenoide infinito di sezione A; il suo volume è (Al). In questo volume deve essere racchiusa tutta l energia magnetica immagazzinata nel tratto l del solenoide dato che B = 0 fuori dal solenoide. L energia deve essere distribuita in modo uniforme nel volume, essendo B uniforme nel solenoide. u L = E L Al E L = 1 2 Li2 u L = 1 2 u L = 1 2 µ 0n 2 i 2 = 1 2 densità di energia del campo magnetico Li 2 Per il campo elettrico avevamo ottenuto B 2 Al µ 0 B = µ 0 ni L l = µ 0 n 2 A Prof. F.Soramel Elementi di Fisica 2 - A.A. 2010/11 17

18 Mutua induttanza Accostiamo due bobine come in fig. (a) La bobina 1 è percorsa dalla corrente i 1 e crea un campo B 1 che induce una f.e.m. nella bobina 2. Viceversa se nella bob. 2 circola la corrente i 2, si crea un campo B 2 che induce una f.e.m. nella 1 In questi casi si parla di mutua induzione, caratterizzata dal coefficiente di mutua induzione M Prof. F.Soramel Elementi di Fisica 2 - A.A. 2010/11 18

19 Dato che i 1 varia nel tempo si ottiene Ricordando la legge di Faraday, abbiamo N 2 dφ 12 = E 2 = M 21 di 1 Se adesso analizzo come 2 influisce su 1 ottengo E 1 = M 12 di 2 Si può dimostrare che M 12 = M 21 =M che rappresenta il coefficiente di mutua induzione del sistema formato dalle due bobine. L unità di misura di M è l Henry (H). E 1 = M di 2 E 2 = M di 1 Prof. F.Soramel Elementi di Fisica 2 - A.A. 2010/11 19

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