Liceo Scientifico Statale G. Stampacchia Tricase Tempo di lavoro 120 minuti

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1 Compito in classe 4D/17 Gennaio Oggetto: compito in Classe 4D/PNI Liceo Scientifico Statale G. Stampacchia Tricase Tempo di lavoro 10 minuti Argomenti: Calcolo combinatorio e calcolo delle probabilità. Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche. Es_1) Risolvere la seguente equazione = Determinare il numero naturale n che verifica la seguente uguaglianza D = D n;6 n;5 1.3 Risolvere l equazione D ' n+ 1;3 + D ' n;3 = n Dn; Es_) La combinazione di una cassetta di sicurezza è composta da quattro caratteri alfanumerici dei quali uno è una lettera dell alfabeto internazionale (6 lettere) e gli altri tre sono cifre del sistema decimale (0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). E noto che la lettera è seguita da una cifra dispari nella lettura da sinistra a destra..1 Determinare il numero di codici che si possono generare con le caratteristiche indicate.. Trovare il numero di codici nei quali compare la lettera C e la somma delle cifre sia uguale a 10. Es_3) 3.1 Determinare il quinto termine dello sviluppo della seguente potenza Calcolare la somma k k ( 1 ) k= 0 k Es_4) Un urna contiene sei palline rosse, sette palline bianche e due palline nere. Risolvere i seguenti quesiti. 4.1 Si estraggono contemporaneamente due palline. Determinare la probabilità che nessuna pallina sia rossa. 4. Estraendo tre palline contemporaneamente tra esse vi è al massimo una pallina bianca. Es_5) Essendo E 1, E due eventi dello spazio degli eventi Ω, è noto che 7 P ( E 1) =, P ( E ) =, P ( E1 E ) = ; dopo aver enunciato il teorema della probabilità totale, P E E e precisare se gli eventi E 1, E sono indipendenti. calcolare ( ) 1 Es_6) Risolvere le seguenti disequazioni > 7 ; 6. log0,5 + 3log0,5 + 0 > 0

2 Compito in classe 4D/17 Gennaio 006 Es_1) Risolvere la seguente equazione = Determinare il numero naturale n che verifica la seguente uguaglianza D = D n;6 n;5 1.3 Risolvere l equazione D ' n+ 1;3 + D ' n;3 = n Dn; Dal significato di coefficiente binomiale sappiamo che la variabile deve verificare le seguenti disuguaglianze: 3, -1, e naturalmente essere un numero naturale. Sviluppiamo i tre coefficienti binomiali presenti e semplifichiamo l espressione. ( 1)( ) ( 1)( ) ( 1)( )( 3) + = = 16 3!! 3! = = 4 Il valore ottenuto è accettabile e rappresenta l unica soluzione dell equazione. 1. I simboli che figurano nell uguaglianza rappresentano disposizioni semplici e quindi deve risultare D = D n( n 1)( n )( n 3)( n 4)( n 5) = n( n 1)( n )( n 3)( n 4) n = 6 n;6 n;5 1.3 Nell equazione figurano due simboli relativi a disposizioni con ripetizione ed uno a disposizioni semplici. Applicando le relative formule otteniamo: 3 3 D ' n+ 1;3 + D ' n;3 = n Dn; ( n + 1) + n = n n( n 1) n + 3n 140 = 0 8 n 1 = 5, n =. 5 Evidentemente è accettabile solo n=5 come soluzione. Es_) La combinazione di una cassetta di sicurezza è composta da quattro caratteri alfanumerici dei quali uno è una lettera dell alfabeto internazionale (6 lettere) e gli altri tre sono cifre del sistema decimale (0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). E noto che la lettera è seguita da una cifra dispari nella lettura da sinistra a destra..1 Determinare il numero di codici che si possono generare con le caratteristiche indicate.. Trovare il numero di codici nei quali compare la lettera C e la somma delle cifre sia uguale a Un codice possibile deve contenere una lettera dell alfabeto internazionale seguita da una cifra dispari. Le lettere sono 6, le cifre dispari sono 1, 3, 5, 7, 9. Facendo riferimento ad una struttura di quattro celle, come indicato a lato, osserviamo che la lettera non può occupare l ultima cella a destra perché deve essere seguita da una cifra. Posizionando la lettera nella prima cella (si hanno 6 scelte), nella seconda cella si può mettere una delle cinque cifre dispari, mentre nella terza e nella quarta cella può essere collocata una qualsiasi delle 10 cifre decimali. Pertanto, con la lettera nella prima cella si hanno = codici diversi. Si avranno altri codici collocando la lettera nella seconda cella ed ancora codici aventi la lettera nella terza cella. Il numero complessivo di codici è = Ordine delle celle A B X 9 C D 7 7 7

3 Compito in classe 4D/17 Gennaio I codici richiesti devono contenere la lettera C che deve essere ancora da una cifra dispari; le altre due cifre non possono essere qualunque, infatti la somma delle tre cifre deve essere 10. Facciamo subito notare che una volta collocata la lettera C in una delle prime tre celle, il numero dei codici ottenibili è sempre lo stesso. Nella tabella riportata a lato sono indicati alcuni Es_3) dei codici ammissibili, con la lettera C che figura nella prima cella. Come procedimento da seguire si potrebbe pensare di determinare il numero di codici nei quali figura 1 nella seconda cella, quindi quelli che contengono 3 nella seconda cella, a seguire quelli che contengono il 5, il 7, il 9. Per orientarsi, è bene tenere presente che una volta determinate le cifre nelle celle 3 e 4, si ottiene una nuova chiave per la cassetta di sicurezza, scambiando i valore delle ultime due celle. Si può riconoscere che ponendo nella seconda cella : la cifra 1, si hanno 10 codici; la cifra 3, si hanno 8 codici; la cifra 5, si hanno 6 codici; la cifra 7, si hanno, 4 codici; la cifra 9, si hanno codici. Nel complesso si hanno perciò =30 codici diversi composti con la lettera C nella prima cella. Si avranno altri 30 codici ponendo la lettera C nella seconda cella ed altri 30 con la lettera C nella terza cella. Il numero totale dei codici diversi che hanno le caratteristiche indicate è 3 30= Determinare il quinto termine dello sviluppo della seguente potenza Calcolare la somma k k ( 1 ) k= 0 k 3.1 Scrivendo la formula di Newton per lo sviluppo della potenza del binomio si ricava immediatamente il quinto termine richiesto. 8 8 k 1 8 8k 1 3 = ( ) 3 k = 0 k I quinto termine si ottiene con k=4. Il termine è: ( ) = 16 = 1 4 4! 3. L espressione indicata è la forma compatta dello sviluppo della potenza di binomio ( 1) 006 ; pertanto il suo valore vale 1. R: Es_4) Un urna contiene sei palline rosse, sette palline bianche e due palline nere. Risolvere i seguenti quesiti. 4.1 Si estraggono contemporaneamente due palline. Determinare la probabilità che nessuna pallina sia rossa. 4. Estraendo tre palline contemporaneamente tra esse vi è al massimo una pallina bianca. Ordine delle celle C C 8 C 1 7 C 6 C C C C 3 5 C C C C 5 3 C C 7 1 C 9 0 1

4 Compito in classe 4D/17 Gennaio Occorre estrarre due palline contemporaneamente e stabilire quale sia la probabilità che esca una coppia di palline nessuna delle quali sia rossa. La probabilità dell evento è data dal rapporto tra il numero delle coppie che si possono formare con le palline bianche e quelle nere ed il numero totale delle coppie C 15; che è possibile comporre con le 15 palline contenute nell urna. Il numero delle coppie utili al verificarsi dell evento è dato dalla combinazioni semplici di classe due che si ottengono con le sette palline bianche e le due palline nere. Questo 9 8 numero è: C9; = = Il numero totale di coppie che si possono comporre con le 15 palline è C15; = = 105. Pertanto la probabilità dell evento in esame è C9; 36 1 p = = = C ; 4.1 Sia E l evento E=<< Si estrae una terna di palline contenente al massimo una pallina bianca>> Prima soluzione Osserviamo che le terne di palline che permettono il verificarsi dell evento E sono quelle composte dalle sole palline rosse e dalle palline nere, e dalle terne composte da una pallina bianca e le altre due colorate (entrambe rosse, entrambe nere, oppure una rossa ed una nera). Il numero delle terne composte da palline rosse e nere è dato dalla combinazioni semplici di classe 3 delle otto palline (6 rosse + nere): N 1 = C 8;3. Il numero delle terne contenenti una sola pallina bianca è dato dal prodotto del numero di palline bianche per le combinazioni semplici di classe delle 8 palline rosse e nere; dunque N =7 C 8;. IL numero totale di terne componibili con le 15 palline è dato dalle combinazioni semplici di classe 3 di 15 elementi: N= C 15;3. La probabilità dell evento E è allora C8;3 + 7 C + 7 8; P( E) = = = = C ; Seconda soluzione Osserviamo che le terne di palline non idonee al verificarsi dell evento in esame sono quelle composte da tre palline bianche e quelle che ne contengono due. Il primo gruppo è composto dalle combinazioni semplici di 7 elementi della classe 3: N1 = C7;3 = = 35 ; il secondo 3 gruppo è composto dal prodotto del numero di combinazioni semplici di classe che si compongono con le sette palline bianche moltiplicato per le 6+=8 palline rosse e nere: N = C 8 = 1 8 = 168. Perciò le terne di palline non idonee al verificarsi dell evento è 7; N1 + N = = 03. Possiamo determinare la probabilità dell evento contrario dell evento E; essa è: P ( E) = 3! C = = 65 15;3

5 Compito in classe 4D/17 Gennaio Sfruttando ora il teorema sulla probabilità dell evento contrario ricaviamo la probabilità dell evento E P( E) = 1 P( E) = 1 = Es_5) Essendo E 1, E due eventi dello spazio degli eventi Ω, è noto che 7 P ( E 1) =, P ( E ) =, P ( E1 E ) = ; dopo aver enunciato il teorema della probabilità totale, P E E e precisare se gli eventi E 1, E sono indipendenti. calcolare ( ) 1 Ricordiamo che il teorema della probabilità totale permette di determinare la probabilità dell evento unione di due eventi e risulta: P E E = P E + P E P E E ( ) ( ) ( ) ( ) Dalle informazioni fornite si può determinare la probabilità dell evento intersezione. 7 3 P ( E1 E ) = P( E1 ) + P ( E ) P( E1 E ) = + = Indipendenza degli eventi. Due eventi sono stocasticamente indipendenti se il verificarsi o meno dell uno non determina alcuna influenza sul verificarsi dell altro. Sussiste un teorema secondo il quale due eventi E1, E sono stocasticamente indipendenti se e solo se la probabilità dell evento intersezione E E P E E = P E P E. è uguale al prodotto delle probabilità dei singoli eventi: ( ) ( ) ( ) 1 Dai valori precedenti si ha 3 P ( E1 E ) = = = P ( E1 ) P ( E ) L uguaglianza è verificata, dunque i due eventi sono indipendenti. Es_6) Risolvere le seguenti disequazioni log0,5 + 3log0,5 + 0 > > 7 ; Si può elaborare la disequazione esponenziale come di seguito indicato > 7 > 8 > > 5 3 > + 1 > 0 1 ( 1) 1 L insieme delle soluzioni è S = ;1 ] 3; + [. 6. Per risolvere la disequazione conviene effettuare una sostituzione di variabile; poniamo log0,5 + = y ed otteniamo la disequazione 5 y 3y 0 > 0, che è soddisfatta per y < ( y > 4). Risolviamo le due disequazioni corrispondenti nell incognita.

6 Compito in classe 4D/17 Gennaio log 0,5 5 + < 1 + > ( 0,5) > > 0 questa disequazione è soddisfatta nell insieme S1 = 0; 7 7; + ; per la seconda disequazione si ha + 1 > 0 log0,5 + > 4 0 < + 1 < ( 0,5) 4 > < + < 16 Il sistema ottenuto non ha soluzioni. Concludiamo che l insieme delle soluzioni della disequazione in esame è S 1.

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