Introduzione ai Modelli di Durata: Stime Non-Parametriche. a.a. 2009/ Quarto Periodo Prof. Filippo DOMMA

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1 Inroduzione ai Modelli di Duraa: ime Non-Parameriche cenni a.a. 2009/ Quaro Periodo Prof. Filippo DOMMA Corso di Laurea pecialisica/magisrale in Economia Applicaa Facolà di Economia UniCal F. DOMMA Modelli di Duraa 1

2 Meodi Non Paramerici Nel seguio saranno richiamae alcune ecniche di sima non paramerca di quanià descrie in precedenza, in paricolare della funzione di sopravvivenza e della hazard funcion. L uilià di quese sime si rilevano nella fase di scela del modello paramerico in quano forniscono soo l ipoesi di omogeneià delle osservazioni, ad esempio, l andameno osservao della funzione di sopravvivenza e/o della hazard funcion. - Tavola di sopravvivenza life able; - Kaplan-Meier Produc-limi. F. DOMMA Modelli di Duraa 2

3 Esempio. n. Daa Trapiano ingresso nello sudio Daa di cessaa funzione del rene Tempo di parecipaz. e sao alla daa limie 31/12/81 T in mesi, δ 1 30/01/ /02/1974 0,1 2 13/04/1974 Vivo alla daa limie 93,0 3 06/06/ /07/1974 1,1 4 26/11/ /12/1974 0,1 5 21/12/1974 Vivo alla daa limie 85,0 6 16/02/ /05/1975 2,1 7 16/02/ /03/ ,1 8 28/03/ /06/1975 2,1 9 18/09/ /04/1976 6, /01/ /02/1976 0, /01/1976 Moro il 15/07/1976 con rene funzionane 5,0.... F. DOMMA Modelli di Duraa 3

4 Tavole di sopravvivenza Per cosruire la avola di sopravvivenza suddividiamo l asse emporale in inervalli, I [ 1, con 1,2,,k+1, 0 0, k L e k+1, dove L è il limie superiore dei empi osservai. Indichiamo con m e a, rispeivamene, il valore cenrale e l ampiezza dell inervallo -esimo. In ogni inervallo così cosruio si rovano sia osservazioni non-censurae cioè che realizzano l eveno di ineresse; ad esempio, l individuo abbandona lo sao di disoccupazione sia censurae individui che non hanno ancora realizzao l eveno di ineresse che roncae ad esempio, individui che escono dalla forza lavoro non sono più alla ricerca di un poso di lavoro - o persi di visa. F. DOMMA Modelli di Duraa 4

5 In paricolare, indichiamo con: n il numero di individui osservai nell inervallo I essi non hanno realizzao l eveno di ineresse e sono ancora soo osservazione sono gli individui disoccupai in cerca di occupazione non sono persi di visa, d c l il numero di individui che realizzano l eveno di ineresse ad esempio, rovano un occupazione cioè lasciano lo sao di disoccupao, il numero di osservazioni censurae cioè individui di cui non sappiamo quando lasceranno lo sao di disoccupazione, il numero di individui il cui empo di parecipazione è roncao perché persi di visa. F. DOMMA Modelli di Duraa 5

6 Chiaramene n n e n n d l c per 2,3,.,k+1. i definisce inolre n n + l c il numero di individui esposi al rischio nell inervallo I. In assenza di censura e roncameno, evidenemene, si ha: n n Indichiamo con q la probabilià condizionaa che un individuo realizzi l eveno di ineresse nell inervallo I dao non lo ha realizzao in ui i precedeni inervalli ed è soo osservazione all inizio dell inervallo I. N.B.: la definizione sopra riporaa non deve essere confusa con la definizione di hazard funcion la quale fa riferimeno alla probabilià condizionaa della realizzazione dell eveno di ineresse in un inervallo infiniesimale. F. DOMMA Modelli di Duraa 6

7 F. DOMMA Modelli di Duraa 7 La sima della probabilià condizionaa q è: n d q per 2,3,.,k+1. i dimosra che le sime della funzione di sopravvivenza e della funzione di densià al empo e della hazard funcion al empo m sono, rispeivamene, dae dalle segueni: k k q q m a q a a F F f ~ 1 1 m p a q a q f h + + q p dove

8 Esempio Esempio Mercao Mercao del del Lavoro Lavoro primo primo inserimeno inserimeno Inervalli di empo N. di individui ancora Occupai in I n' Esposi a Rischio n N. Individui Censurai in I c N. di individui che escono dallo sao di Occupao d ampiezza inervallo Prob. Condizionaa realizzare l'eveno q Prob. Condizionaa non realizzare l'eveno p Prob. Cumulaiva di opravv in I PpP-1 Hazard funcion nel puno cenrale Valori cenrali F. DOMMA Modelli di Duraa 8 Funzione di Densià Empirica [0, , , , , ,5 0, [3, , , , , ,5 0, [6, , , , , ,5 0, [9, , , , , , ,5 0, [12, , , , , ,5 0, [15, , , , , ,5 0, [18, , , , , ,5 0, [21, , , , , ,5 0, [24, , , , , , ,5 0, [27, , , , , , ,5 0, [30, , , , , , ,5 0, [33, , , , , ,5 0, [36, , , , , ,5 0, [39, , , , , , ,5 0,00482 [42, , , , , , ,5 0, [45, ,03 0,97 0, , ,5 0, [48, , , , , ,5 0,00411 [51, , , , , , ,5 0, [54, , , , , , ,5 0, [57, , , , , , ,5 0, [60, , , , , , ,5 0, [63, , , , , ,5 0, [66, , , , , ,5 0, [69, , , , , , ,5 0, [72, , , , , ,5 0, [75, , , , , ,5 0, [78, , , , , , ,5 0, [81, , , , , ,5 0, >84 129

9 1,2 1 0,8 0,6 Funzione di opravvivenza 0,4 0,2 0 1,5 7,5 13,5 19,5 25,5 31,5 37,5 43,5 49,5 55,5 61,5 67,5 73,5 79,5 Valori cenrali F. DOMMA Modelli di Duraa 9

10 0,04 0,035 0,03 0,025 0,02 0,015 0,01 0,005 0 Hazard Funcion 1,5 7,5 13,5 19,5 25,5 31,5 37,5 43,5 49,5 55,5 61,5 67,5 73,5 79,5 h Valori Cenrali F. DOMMA Modelli di Duraa 10

11 0,03 0,025 0,02 0,015 0,01 Funzione di Densià empirica f 0, ,5 7,5 13,5 19,5 25,5 31,5 37,5 43,5 49,5 55,5 61,5 67,5 73,5 79,5 Valori Canrali F. DOMMA Modelli di Duraa 11

12 Kaplan-Meier Produc-limi. Il meodo del prodoo limie sima la curva di sopravvivenza in base al crierio della massima verosimiglianza. A differenza della procedura uilizzaa nella cosruzione della avola di sopravvivenza, il meodo di Kaplan-Meier non implica la suddivisione dell asse emporale in inervalli di ampiezza prefissaa e, quindi, nemmeno il corrispondene raggruppameno di soggei. Infai, Kaplan e Meier simano la probabilià condizionaa di sopravvivenza in corrispondenza di ciascuno dei empi in cui si verifica almeno un eveno di ineresse. Tale meodo può essere viso come caso limie del meodo auariale avole di sopravvivenza in cui si cosruisco inervalli infiniesimali. F. DOMMA Modelli di Duraa 12

13 ia : N J d n il numero di soggei ammessi allo sudio; con J N il numero di empi disini in cui si verificano gli eveni di ineresse rilevai nel campione e ordinai in modo crescene: 1 < 2 <.< J ; il numero di soggei che realizzano l eveno al empo, 1,2,,J. E evidene che d >1 solo nel caso in cui più soggei realizzano l eveno di ineresse in. il numero di individui esposi a rischio al empo. ono ui i soggei vivi e soo osservazione appena prima di. N.B.: i soggei persi di visa o uscii vivi vengono inclusi negli esposi a rischio si ipoizza che ali soggei abbiano una esperienza di via idenica a quelli che realizzano l eveno di ineresse. F. DOMMA Modelli di Duraa 13

14 Una sima della probabilià condizionaa q di realizzare l eveno di ineresse all isane dao che il soggeo non ha realizzao l eveno fino all isane immediaamene precedene, è daa da: q d n 1,2,,J i osservi che in ale coneso la sima della hazard funcion coincide con quella della probabilià condizionaa sopra definia, cioè h q d n F. DOMMA Modelli di Duraa 14

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