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1 Pag. 1/5 Sssion straordinaria 2017 I043 ESAME DI STATO DI ISTRUZIONE SECONDARIA SUPERIORE Indirizzi: LI02, EA02 SCIENTIFICO LI03 - SCIENTIFICO - OPZIONE SCIENZE APPLICATE (Tsto valvol anch pr la corrispondnt sprimntazion quadrinnal) Tma di: MATEMATICA Il candidato risolva uno di du problmi risponda a 5 qusiti dl qustionario. PROBLEMA 1 L azinda pr cui lavori vuol aprir in città una pista di pattinaggio su ghiaccio ti ha dato l incarico di occuparti dl progtto. La pista vrrà ralizzata su un trrno di forma rttangolar, di bas 40 mtri altzza 20 mtri, scondo l spcifich ch ti sono stat fornit sarà di forma llittica 1 avrà ara pari a 600 m 2. Stabilito un sistma di assi cartsiani Oxy, il cui cntro coincid con il cntro dll lliss con qullo dl rttangolo, in figura 1 sono rapprsntati il trrno la pista, in figura 2 la rgion rlativa al primo quadrant. La suprfici in grigio è da adibir a dposito a srvizi tcnici, pr cui dv ssr inaccssibil al pubblico: ssa è dlimitata dall tangnti alla pista passanti pr i punti mdi di lati vrticali AB CD. Figura 1 1 L quazion dll lliss, in coordinat cartsian, è la sgunt: x 2 a 2 + y2 b 2 = 1

2 Pag. 2/5 Sssion straordinaria 2017 Figura 2 1. Dtrmina, in funzion di a b (rispttivamnt lunghzza dl smiass orizzontal dl smiass vrtical dll lliss) l coordinat dl punto di tangnza T, vrifica ch l sprssion dlla suprfici total S dll ara vidnziata in grigio nlla figura 2 è: a2 S = b 2. Pr motivi sttici, è richisto ch la proporzion tra il smiass orizzontal qullo vrtical dll lliss sia ugual a qulla tra il lato orizzontal qullo vrtical dl rttangolo. Ricordando ch l ara dlla pista 2 dv ssr pari a 600 m 2, dtrmina i valori di a b (approssimati al cntimtro). Vrifica inoltr ch la suprfici vidnziata in grigio occupi mno dl 15% dl trrno disponibil. Un altra problmatica da affrontar riguarda la sclta di un macchinario pr la produzion dl ghiaccio ncssario pr la pista, tnndo prsnti la dimnsion dlla pista, il tmpo impigato pr tal produzion il rlativo consumo di nrgia. Tramit una ricrca di mrcato, hai individuato un dispositivo ch risc a lavorar a una vlocità ch è invrsamnt proporzional allo spssor raggiunto in 3 or di lavoro, a tmpratura ambint standard, produc una lastra di ghiaccio di suprfici di 600 m 2 avnt uno spssor di 3 cm. 3. Individua, pr il macchinario slzionato, il modllo matmatico ch dscriv l andamnto dllo spssor dllo strato di ghiaccio in funzion dl tmpo. Pr un utilizzo ottimal la pista dv avr uno spssor comprso tra i 6,5 gli 8 cm. 4. Dtrmina il tmpo ch il macchinario impiga a ralizzar uno strato di ghiaccio di spssor 7,5 cm. 2 L ara dlla suprfici racchiusa dall lliss di smiassi a b è pari a πab.

3 Pag. 3/5 Sssion straordinaria 2017 PROBLEMA 2 L funzioni g 1, g 2, g 3, g 4 sono dfinit nl modo sgunt: g 1 (x) = 1 2 x2 1 2 g 2 (x) = x 1 g 3 (x) = 2 π cos (π 2 x) g 4 (x) = ln ( x ) 1. Vrifica ch ni punti x = 1 x = 1 l funzioni g 1, g 2, g 3, g 4 condividono l stss rtt tangnti. 2. Dopo avr tracciato i grafici dll funzioni g 1, g 2, g 3, g 4 dduci qulli dll funzioni: f 1 (x) = { g 1 (x), s x < 1 f 2 (x) = { g 2 (x), s x < 1 f 3 (x) = { g 3 (x), s x < 1 classifica gli vntuali punti di non drivabilità di f 1, f 2, f 3 posto I 1 = f 1 (x)dx I 2 = f 2 (x)dx vrifica l disuguaglianz: I 3 = f 3 (x)dx I 1 < I 3 < I 2 3. Posto 0, s x 0 h(x) = { g 1 (x), s 0 < x < 1 ln( x ), s x 1

4 Pag. 4/5 Sssion straordinaria 2017 dimostra ch la funzion: ammtt uno zro nll intrvallo [, ]. x H(x) = h(t)dt 0 4. Calcola il volum dl solido ottnuto facndo ruotar di π 3 radianti intorno all ass x la rgion di piano dlimitata dall rtt di quazioni x = 1, x = +1 dai grafici di g 2 g 1. QUESTIONARIO 1) Calcolar la drivata dlla funzion f(x) = ln(x), adoprando la dfinizion di drivata. 2) Data la funzion: f(x) = { kx2 2x + 1 pr x < 2 x 2 + (k 1)x 1 pr x 2 Dtrminar, s possibil, k in modo ch la funzion f(x) la sua drivata siano continu in tutto l insim di dfinizion. 3) Un solido ha pr bas la rgion Π dl piano cartsiano comprsa tra il grafico dlla funzion f(x) = x l ass dll x nll intrvallo [0; 2]. Pr ogni punto P di Π, di ascissa x, l intrszion dl solido col piano passant pr P ortogonal all ass dll x è un rttangolo di altzza x + 1. Calcolar il volum dl solido. 4) Giovanni tira riptutamnt con l arco a un brsaglio: la probabilità di colpirlo è dl 28% pr ciascun tiro. S Giovanni sgu 10 tiri calcolar la probabilità ch il brsaglio vnga colpito: a) 4 volt; b) l prim 4 volt. 5) Stabilir pr qual valor dl paramtro k il grafico dlla funzion f(x) = x 3 + 2x 2 + kx 4 ha una sola tangnt parallla alla bisttric dl primo trzo quadrant. Quant tangnti orizzontali ha il grafico dlla funzion pr qusto valor dl paramtro k? 6) In un sistma di rifrimnto cartsiano il piano π di quazion 3x 4y 22 = 0 è tangnt a una sfra avnt com cntro il punto C(3; 3; 0). Dtrminar il raggio dlla sfra. 7) Data la funzion: f(x) = ln(x) [ln (x)] 2 dimostrar ch sistono du rtt r s tangnti al grafico dlla funzion in punti di ascissa x > 1, ch passano ntramb pr il punto P(0; 1) scrivr l rispttiv quazioni. 8) Dtrminar l quazion dlla rtta prpndicolar nl punto P di coordinat (1; 1; 0) al piano di quazion 2x 2y + z = 0.

5 Pag. 5/5 Sssion straordinaria ) Sapndo ch una monta è truccata ch la probabilità ch sca tsta in un lancio è pari a p, dtrmina i possibili valori ch può assumr p, sapndo ch la probabilità ch sca tsta sattamnt 2 volt lanciando 4 volt la monta è ) Data la funzion intgral: F(x) = 0 2x ln(t) dt calcolar la sua drivata prima di qust'ultima individuar gli vntuali punti stazionari. Durata massima dlla prova: 6 or. È consntito l uso di calcolatrici scintifich /o grafich purché non siano dotat di capacità di calcolo simbolico (O.M. n. 257 Art. 18 comma 8). È consntito l uso dl dizionario bilingu (italiano-lingua dl pas di provninza) pr i candidati di madrlingua non italiana. Non è consntito lasciar l Istituto prima ch siano trascors 3 or dalla dttatura dl tma.