Lunghezza della circonferenza e area del cerchio

Transcript

1 Come possiamo deteminae la lunghezza di una ciconfeenza di aggio? Poviamo a consideae i poligoni egolai inscitti e cicoscitti alla ciconfeenza: è chiao che la lunghezza della ciconfeenza è maggioe del peimeto di un qualunque poligono egolae inscitto e minoe del peimeto di un qualunque poligono egolae cicoscitto. Inolte è intuitivo (e si può comunque dimostae in modo igooso) che la diffeenza ta il peimeto di un poligono egolae cicoscitto e il peimeto di un poligono egolae inscitto con lo stesso numeo di lati diventa sempe più piccola aumentando il numeo dei lati. La lunghezza della ciconfeenza è definita come l elemento sepaatoe ta l insieme dei peimeti dei poligoni egolai inscitti e l insieme dei peimeti dei poligoni egolai cicoscitti alla ciconfeenza. 70

2 Ossevazioni 1) Se consideiamo due ciconfeenze di aggi e e vi insciviamo un poligono egolae dello stesso numeo di lati, indicando con p il peimeto del poligono inscitto nella ciconfeenza di aggio e con p il peimeto di quello inscitto nella ciconfeenza di aggio abbiamo che: p p : p' = p' ' Dimostazione Sappiamo che p : p' = l : l'. Consideando la similitudine dei tiangoli in figua abbiamo che l : l' e quindi in conclusione p : p'. ) Analogamente, consideando i poligoni egolai cicoscitti dello stesso numeo di lati ed indicando con P il peimeto del poligono cicoscitto alla ciconfeenza di aggio e con P quello elativo alla ciconfeenza di aggio, abbiamo che: P P : P' = P' ' 71

3 Lunghezza della ciconfeenza Se quindi indichiamo con c la lunghezza della ciconfeenza di aggio e con c la lunghezza della ciconfeenza di aggio abbiamo che: p < c < P p' < c' < P' p c P < < p' c' P' c = c' ' Alloa possiamo anche scivee c = c' ' c = c' ' cioè il appoto ta la lunghezza di una ciconfeenza e il suo diameto è costante e questo appoto viene indicato con il simbolo π (pi-geco). π è un numeo iazionale, cioè non si può espimee con una fazione (la lunghezza della ciconfeenza e il suo diameto sono gandezze incommensuabili) ed il suo valoe appossimato è,14. Quindi in conclusione c = π, da cui la lunghezza c della ciconfeenza di aggio isulta: c = π Nota Pe calcolae un appossimazione di π possiamo calcolae il appoto ta il peimeto di un poligono egolae inscitto (o cicoscitto) alla ciconfeenza con un numeo elevato di lati e il diameto (vedi schede di Geogeba). Aea del cechio Pocedendo in modo analogo definiamo l aea del cechio come l elemento sepaatoe delle aee dei poligoni egolai inscitti e l insieme delle aee dei poligoni egolai cicoscitti alla ciconfeenza. p Poiché l aea di un poligono egolae cicoscitto isulta A = l aea A C del cechio saà 1 1 A cechio = c = π = π In conclusione l aea del cechio di aggio isulta A cechio = π 7

4 SCHEDA 1 Lunghezza di un aco di ciconfeenza e aea di un settoe cicolae Considea una ciconfeenza di aggio e un angolo al cento di ampiezza α, pe esempio misuato in gadi. Indichiamo con l la lunghezza dell aco di ciconfeenza sotteso dall angolo α. Poiché gli angoli al cento sono diettamente popozionali ai ispettivi achi di ciconfeenza abbiamo: l : π = α : 60 da cui possiamo icavae l = π α 60 Analogamente, indicando con Aα l aea del settoe cico lae individuato da α, abbiamo:.. Da cui possiamo icavae A α =. Nota: osseviamo che A α 1 = l 1 1 π α Infatti l = =

5 SCHEDA Lati dei poligoni egolai inscitti in una ciconfeenza di aggio Considea una ciconfeenza di aggio : deteminiamo la lunghezza del lato del tiangolo equilateo inscitto Considea il tiangolo OHB in figua: HB =... e quindi AB =... quadato inscitto Considea il tiangolo AOB in figua: AB =... pentagono inscitto Considea il tiangolo AFD in figua: il segmento AF coisponde al lato del decagono egolae inscitto nella ciconfeenza e quindi, essendo sezione auea del aggio, 5 1 sappiamo che misua AF = ed applicando il 1 teoema di Euclide possiamo icavae HF:.. e quindi, pe diffeenza OH=. Applicando poi il teoema di Euclide possiamo tovae AH e quindi AB:.. esagono inscitto Considea il tiangolo ABO in figua: AB =... 74

6 Esecizi 1) Disegna una ciconfeenza di diameto AB e pendi un punto P su AB: disegna le ciconfeenze di diameti AP e PB. Veifica che la somma della lunghezza delle ciconfeenze è uguale alla somma della lunghezza della ciconfeenza di diameto AB. ) Considea un tiangolo ettangolo e disegna sui cateti e sull ipotenusa dei semicechi esteni al tiangolo. Dimosta che il semicechio costuito sull ipotenusa è equivalente alla somma dei semicechi costuiti sui cateti. ) Considea un quadato di lato 4 cm. Disegna la ciconfeenza inscitta e quella cicoscitta. Detemina la lunghezza delle due ciconfeenze e l aea della coona cicolae individuata da esse. 4 π, 4π, A = 4π ] 4) Considea una ciconfeenza di diameto AB e taccia una coda AC che foma un angolo di 60 con AB. Sapendo che la lunghezza della ciconfeenza è, detemina l aea del tiangolo ABC. 5 5) In un ombo il lato e la diagonale minoe misuano a. Detemina l aea del ombo e l aea del cechio inscitto nel ombo. 16 a ] a, π a ] 75

7 6) Considea un tapezio isoscele cicoscitto ad una semiciconfeenza (la base maggioe si tova sul diameto). Sapendo che la lunghezza della semiciconfeenza è 8 π cm e che la diffeenza delle basi del tapezio è 1 cm, detemina il peimeto del tapezio. 48 cm ] 7) Disegna un cechio di aggio e inscivi in esso un tiangolo equilateo. Detemina l aea della egione di cechio delimitata da un lato del tiangolo e dall aco minoe coispondente. π 4 ] 8) In un cechio di aggio cm è inscitto un quadato. Detemina l aea della egione del cechio delimitata da un lato del quadato e dall aco minoe coispondente. ( cm π ) ] 9) Detemina l aea di un settoe cicolae di un cechio di aggio il cui angolo al cento misua 0. 1 π ] 1 10) Considea un cechio di aea 4π cm e sia P un punto a distanza 4 cm dal cento O. Da P conduci le tangenti alla ciconfeenza e siano T 1, T i punti di contatto. Detemina l aea del quadilateo OT 1PT. 4 cm ] 76