S.Barbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici. Esercizi svolti di Campi elettromagnetici - Anno 2012

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1 S.Barbarino - Esercizi svolti i Campi Elettromagnetici Esercizi svolti i Campi elettromagnetici - Anno ) Esercizio n. 1 el 4/7/2012 Un ona elettromagnetica piana, viaggiante in aria e i frequenza ν = 4 GHz, attraversa uno strato acqua i spessore = 1 cm per poi immettersi i nuovo in aria. L inice i rifrazione ell acqua relativo alla frequenza ata é: n r = e n i = Calcolare il coefficiente i riflessione. vei es. n.3 el 4/11/2011) Il sistema puó essere consierato come una lamina piana assorbente acqua) posta fra l aria e il vetro. Dalla teoria elle lamine piane assorbenti si euce che il coefficiente i riflessione é: ) 4πn i r e R= 1+e 4πn i ) 2Rr12r 23 )cos 2Rr 12 r 23 )cos 4πn r 4πn r ) )] 2Ir12r 23 )sin 4πn r + r 23 2 e ) 2Ir 12 r 23 )sin 4πn r )] + r 12 2 r 23 2 e 8πn i 8πn i Cominciamo con il calcolare alcune quantitá che servono per la valutazione ei coefficienti che figurano nella formula ella riflettivitá.: n 1 n r ) = ) = 7.670; n 1 + n r ) = ) = n r n 3 ) = ) = 7.670; n r + n 3 ) = ) = ] n1 n r )n 1 + n r ) n 2 i = ) 2 = ) ) ] nr n 3 )n r + n 3 ) + n 2 i = ) 2 = n1 + n r ) 2 + n 2 ] i = 9.670) ) 2 = ] n1 n r ) 2 + n 2 i = 7.670) ) 2 = nr + n 3 ) 2 + n 2 ] i = 9.670) ) 2 = nr n 3 ) 2 + n 2 ] i = 7.670) ) 2 = n 2 i n 1n 3 = ) 2 = ESCAM12-1

2 S.Barbarino - Esercizi svolti i Campi Elettromagnetici Rr 12 r 23) = ] ] n1 n r )n 1 + n r ) n 2 i nr n 3 )n r + n 3 ) + n 2 i 4n 2 i n 1 n 3 n 1 + n r ) 2 + n 2 i ] n r + n 3 ) 2 + n 2 i ] ) ) Ir12 r 23) = 2n ] ] in 3 n1 n r )n 1 + n r ) n 2 i + 2ni n 1 nr n 3 )n r + n 3 ) + n 2 i n 1 + n r ) 2 + n 2 i ] n r + n 3 ) 2 + n 2 i ] Rr 12 r 23 ) = ) ) = ] ] n1 n r )n 1 + n r ) n 2 i nr n 3 )n r + n 3 ) + n 2 i + 4n 2 i n 1 n 3 n 1 + n r ) 2 + n 2 i ] n r + n 3 ) 2 + n 2 i ] ) ) Ir 12 r 23 ) = 2n ] ] in 3 n1 n r )n 1 + n r ) n 2 i 2ni n 1 nr n 3 )n r + n 3 ) + n 2 i n 1 + n r ) 2 + n 2 i ] n r + n 3 ) 2 + n 2 i ] Inoltre: ) ) Rr 12 ) = n2 1 n 2 r n 2 i n 1 + n r ) 2 + n 2 i Rr 23 ) = n2 r n2 3 + n2 i n r + n 3 ) 2 + n 2 i Ir 12 ) = 2n i n 1 n 1 + n r ) 2 + n 2 i Ir 23 ) = 2n i n 3 n r + n 3 ) 2 + n 2 i r 12 2 = n 1 n r ) 2 + n 2 i n 1 + n r ) 2 + n 2 i r 23 2 = n r n 3 ) 2 + n 2 i n r + n 3 ) 2 + n 2 i ) ) ) ) = ν c = = ) sin 4πn r = sin 4π ) ESCAM12-2

3 S.Barbarino - Esercizi svolti i Campi Elettromagnetici ) cos 4πn r = cos 4π ) exp 4πn i )] exp 4π )] exp ) )] exp 8πn i exp 8π )] exp ) Calcoliamo alcune espressioni parziali contenute nella espressione el coefficiente i riflessione: ) ) 1) 2Rr12 r 23) cos 4πn r 2Ir12 λ r 23) sin 4πn r = ) ) = ) 8πn i 2) r 23 2 e = = ) ) 3) 2Rr 12 r 23 ) cos 4πn r 2Ir 12 r 23 ) sin 4πn r = ) ) ) ) 4) r 12 2 r πn i e = Finalmente: ) = R= % ESCAM12-3

4 S.Barbarino - Esercizi svolti i Campi Elettromagnetici 12-2) Esercizio n. 2 el 4/7/2012 Con riferimento al problema preceente si valuti il coefficiente i trasmissione. Poiché risulta, in questo caso: il coefficiente i trasmissione é: T = 1+e 4πn i n 3 β 3 µ 1 β 1 µ 3 = n 3 n Rr12 ) + r 12 2] 1 + 2Rr 23 ) + r 23 2] e n ) 1 ) 2Rr 12 r 23 )cos 4πn r 2Ir 12 r 23 )sin 4πn r 4πn i ) )] + r 12 2 r 23 2 e 8πn i Poiché il coefficiente i trasmissione ha lo stesso enominatore el coefficiente i riflessione, proceiamo al calcolo el solo numeratore. Per questo calcoliamo le espressioni parziali contenute nel numeratore: 1 + 2Rr12 ) + r 12 2] = ) = ) 1 + 2Rr23 ) + r 23 2] = ) = Finalmente: T = % ESCAM12-4

5 S.Barbarino - Esercizi svolti i Campi Elettromagnetici 12-3) Esercizio n. 1 el 19/7/2012 Un ona elettromagnetica piana i frequenza ν = 1.2 M Hz, viaggiante in aria, incie su un terreno i cui parametri costitutivi sono: ɛ r = 11, µ r 1, σ = Graficare il coefficiente i riflessione R in funzione ell angolo i incienza. vei es. n.3 el 29/7/2011) Calcoliamo, relativamente al mezzo conuttore, il rapporto σ ɛω : σ ɛω = σ ) π = = = ɛω a cui: β 2 = ω c 1 + σ2 ɛ 2 ω 2 = µ rɛ r ] 1 + σ2 ɛ 2 ω 2 = ω c ) ω c ra/m) α 2 = ω ] µ rɛ r 1 + σ2 c 2 ɛ 2 ω 2 1 = ω c ) ω c m 1 ) a cui risulta: β2 2 α2 2 = ω2 µ r ɛ r c σ2 ɛ 2 ω 2 ] ] ω2 µ r ɛ r c σ2 2 ɛ 2 ω 2 1 = ω2 c 2 µ rɛ r = 11 ω2 c 2 Si ha anche: β 1 = ω ra/m) c p 2 θ 0 ) = 1 β α2 2 + β2 1 sin2 θ 0 + 4β 22 α22 + ] β 22 α22 ) 2 β21 sin2 θ 0 { 1 } ω 2 ) sin 2 θ 2 c sin 2 θ 0 ESCAM12-5

6 S.Barbarino - Esercizi svolti i Campi Elettromagnetici q 2 θ 0 ) = 1 β2 2 2 α2 2 β2 1 sin2 θ 0 + 4β 22 α22 + ] β 22 α22 ) 2 β21 sin2 θ 0 { 1 } ω 2 ) 2 11 sin 2 θ 2 c sin 2 θ 0 Il coefficiente i riflessione R, per µ 1 µ 2, é: R = ρ 2 = q β 1 cos θ 0 ) 2 + p 2 q + β 1 cos θ 0 ) 2 + p 2 Il coefficiente i riflessione R, per µ 1 µ 2, é: θ 0 p 2 c 2 ω 2 qc ω R = ρ 2 q β 1 sin θ 0 tan θ 0 ) 2 + p 2 =ρ2 q + β 1 sin θ 0 tan θ 0 ) 2 + p 2 Num. Den. R Num. Den. R R R R /ρ 2 R /ρ ESCAM12-6

7 S.Barbarino - Esercizi svolti i Campi Elettromagnetici Per θ 0 = 90 0 R é una forma ineterminata che eterminata ivieno numeratore e enominatore per tan θ 0 ) risulta 1. I numeratori e i enominatori i R e R inicati in tabella sono calcolati a meno i ω c. ESCAM12-7

8 S.Barbarino - Esercizi svolti i Campi Elettromagnetici Coefficiente i riflessione R. R θ 0 ESCAM12-8

9 S.Barbarino - Esercizi svolti i Campi Elettromagnetici 12-4) Esercizio n. 2 el 19/7/2012 Con riferimento al problema preceente si grafichi il coefficiente i riflessione R in funzione ell angolo i incienza. Si valuti l angolo pseuobrewster e il valore el coefficiente i riflessione a esso corrisponente Coefficiente i riflessione R. R Dalla tabella ell esercizio preceente e al grafico i R si euce che l angolo pseuobrewster θ pb vale e il valore minimo el coefficiente i riflessione, in corrisponenza i tale angolo, é 6.78%. θ 0 θ pb ESCAM12-9

10 S.Barbarino - Esercizi svolti i Campi Elettromagnetici 12-5) Esercizio n. 1 el 26/7/2012 Un fascio i microone in bana Ka, viaggiante in aria e i lunghezza ona relativa al vuoto = 1 cm ν = 30 GHz), incie, in irezione ella normale, su uno strato i materiale ielettrico, i spessore = 1 mm e i inice i rifrazione n 2, posto sulla superficie i un mezzo costituito i paraffina i inice i rifrazione n 3 = 1.5. Si grafichi il coefficente i riflessione in funzione i n 2 per valori compresi fra 2 e 10. Si valutino i valori i n 2 per cui si ha un massimo e quelli per cui si ha un minimo el coefficiente i riflessione. Si valutino tali valori massimi e minimi. Il sistema consierato é una lamina piana ielettrica posta fra ue mezzi ielettrici. Dalla teoria sappiamo che la funzione riflettivitá é: R = r 12 + r 23 ) 2 4r 12 r 23 sin 2 β r 12 r 23 ) 2 4r 12 r 23 sin 2 β 2 r 12 = β 1 β 2 β 1 + β 2 = n 1 n 2 n 1 + n 2, r 23 = β 2 β 3 β 2 + β 3 = n 2 n 3 n 2 + n 3 β 2 = 2π n 2 = sin 2 β 2 = sin 2 2π n 2 ) n 2 r 12 r 23 β 2 sin 2 β 2 Num. Den. R ESCAM12-10

11 S.Barbarino - Esercizi svolti i Campi Elettromagnetici ESCAM12-11

12 S.Barbarino - Esercizi svolti i Campi Elettromagnetici I valori massimi si hanno per: I valori minimi si hanno per: 1) n 2 ) 1max 3.4 = R) 1max = ) n 2 ) 2max 7.8 = R) 2max = ) n 2 ) 1max 5 = R) 1min = ) n 2 ) 2min 10 = R) 2min = 0.04 ESCAM12-12

13 S.Barbarino - Esercizi svolti i Campi Elettromagnetici 1.0 Coefficiente i riflessione R n 1 = 1, = 1 mm, n 3 = 1.5, = 1 cm) R n 2. ESCAM12-13

14 S.Barbarino - Esercizi svolti i Campi Elettromagnetici 12-6) Esercizio n. 1 el 17/9/2012 Un ona elettromagnetica piana i frequenza ν = 6 GHz, viaggiante in aria, incie sulla superficie i un mezzo conuttore i cui parametri costitutivi sono: ɛ r2 = 2.56, µ r2 1, σ 2 = 0.92 S/m Calcolare e graficare l angolo i rifrazione in funzione ell angolo i incienza. Inicano con ψ l angolo i rifrazione e con θ 0 l angolo i incienza, alla teoria si ha: tan ψ = β 1 sin θ 0 q esseno: ove: q 2 θ 0 ) = 1 2 β2 2 α2 2 β2 1 sin2 θ 0 + 4β 22 α22 + ] β 22 α22 ) 2 β21 sin2 θ 0 β 1 = ω c ra/m) β 2 = ω ] µ r 2 ɛ r σ2 2 c 2 ɛ 2 r 2 ω 2 ra/m) α 2 = ω ] µ r 2 ɛ r2 1 + σ2 2 m c 2 ɛ 2 r 2 ω 1 1 ) 2 a cui: β2 2 α 2 2 = ω2 µ r2 ɛ r2 c σ2 2 ɛ 2 r 2 ω 2 ] ω2 µ r2 ɛ r2 c σ2 2 ɛ 2 r 2 ω 2 1 Calcoliamo, allora, relativamente al mezzo conuttore, il rapporto σ 2 ɛ r2 ω : ] = ω2 c 2 µ r 2 ɛ r2 ) 2 σ 2 ɛ r2 ω = 0.92 σ = π ɛ r2 ω a cui: 1 + σ2 2 ɛ 2 r 2 ω 2 = ESCAM12-14

15 S.Barbarino - Esercizi svolti i Campi Elettromagnetici a cui risulta: β 2 = ω ] µ r 2 ɛ r σ 2 2 c 2 ɛ 2 r2 ω 2 = ω ) c ω c ra/m) α 2 = ω ] µ r 2 ɛ r2 1 + σ2 2 c 2 ɛ 2 r 2 ω 2 1 = ω ) c ω m 1 ) c β2 2 µ α2 2 =ω2 r2 ɛ r2 c 2 2 = ω2 c 2 µ r 2 ɛ r2 1 + = 2.56 ω2 c 2 ] 1 + σ 2 2 ɛ 2 r2 ω 2 ω2 µ r2 ɛ r2 c 2 2 ] 1 + σ 2 2 ɛ 2 r2 ω 1 2 = Quini: q 2 θ 0 ) = 1 2 ω 2 c sin 2 θ ] 2.56 sin 2 ) 2 θ 0 a cui: Ne segue che: q θ 0 ) = ω c 2.56 sin 2 θ ] 2.56 sin 2 ) 2 θ 0 2 tan ψ = 2.56 sin 2 θ 0 + sin θ ] 2.56 sin 2 ) 2 θ 0 2 ESCAM12-15

16 S.Barbarino - Esercizi svolti i Campi Elettromagnetici θ 0 qc/ω tan ψ ψ ESCAM12-16

17 S.Barbarino - Esercizi svolti i Campi Elettromagnetici ψ Angolo i rifrazione ψ P rimo mezzo: ɛ r1 = 1, µ r1 1, σ 1 = 0 S/m Secono mezzo: ɛ r2 = 2.56, µ r2 1, σ 2 = 0.92 S/m Angolo i incienza θ 0. ESCAM12-17

18 S.Barbarino - Esercizi svolti i Campi Elettromagnetici 12-7) Esercizio n. 2 el 17/9/2012 Un ona elettromagnetica piana i frequenza ν = 6 GHz, viaggiante in un mezzo ielettrico perfetto, incie sulla superficie i un mezzo conuttore. I parametri costitutivi ei ue mezzi sono: Mezzo ielettrico : ɛ r1 = 10, µ r1 1, σ 1 = 0 Mezzo conuttore : ɛ r2 = 2.56, µ r2 1, σ 2 = 0.92 S/m Calcolare e graficare l angolo i rifrazione in funzione ell angolo i incienza. Inicano con ψ l angolo i rifrazione e con θ 0 l angolo i incienza, alla teoria si ha: tan ψ = β 1 sin θ 0 q esseno: q 2 θ 0 ) = 1 2 β2 2 α 2 2 β1 2 sin 2 θ 0 + 4β 22 α22 + ] β 22 α22 ) 2 β21 sin2 θ 0 ove: β 1 = ω ɛr1 ra/m) c β 2 = ω ] µ r 2 ɛ r σ2 2 c 2 ɛ 2 r 2 ω 2 ra/m) α 2 = ω ] µ r 2 ɛ r2 1 + σ2 2 m c 2 ɛ 2 r 2 ω 1 1 ) 2 a cui: β2 2 α2 2 = ω2 µ r2 ɛ r2 c σ2 2 ɛ 2 r 2 ω 2 ] ω2 µ r2 ɛ r2 c σ2 2 ɛ 2 r 2 ω 2 1 Calcoliamo, allora, relativamente al mezzo conuttore, il rapporto σ 2 ɛ r2 ω : ] = ω2 c 2 µ r 2 ɛ r2 ) 2 σ 2 ɛ r2 ω = 0.92 σ = π ɛ r2 ω ESCAM12-18

19 S.Barbarino - Esercizi svolti i Campi Elettromagnetici a cui: β 2 = ω c µ r 2 ɛ r σ2 2 ɛ 2 r 2 ω 2 = ] 1 + σ 2 2 ɛ 2 r2 ω 2 = ω ) c 2 a cui risulta: ω c ra/m) α 2 = ω ] µ r 2 ɛ r2 1 + σ2 2 c 2 ɛ 2 r 2 ω 2 1 = ω ) c ω ) m 1 c β2 2 µ α2 2 =ω2 r2 ɛ r2 c ] 1 + σ 2 2 ɛ 2 r2 ω 2 ω2 µ r2 ɛ r2 c 2 2 ] 1 + σ 2 2 ɛ 2 r2 ω 2 1 = Inoltre: = ω2 c 2 µ r 2 ɛ r2 = 2.56 ω2 c 2 β 1 = ω c ɛr1 = ω c 10 ra/m) Quini: q 2 θ 0 ) = 1 2 ω 2 c sin 2 θ ] sin 2 ) 2 θ 0 a cui: q θ 0 ) = ω c sin 2 θ ] sin 2 ) 2 θ 0 2 Ne segue che: tan ψ = 10 sin θ sin 2 θ ] sin 2 ) 2 θ 0 2 ESCAM12-19

20 S.Barbarino - Esercizi svolti i Campi Elettromagnetici θ 0 qc/ω tan ψ ψ ESCAM12-20

21 S.Barbarino - Esercizi svolti i Campi Elettromagnetici ψ Angolo i rifrazione ψ P rimo mezzo: ɛ r1 = 10, µ r1 1, σ 1 = 0 S/m Secono mezzo: ɛ r2 = 2.56, µ r2 1, σ 2 = 0.92 S/m Angolo i incienza θ 0. ESCAM12-21

22 S.Barbarino - Esercizi svolti i Campi Elettromagnetici 12-8) Esercizio n. 1 el 1/10/2012 Un ona elettromagnetica piana i frequenza ν = 1 GHz, viaggiante in aria, incie sulla superficie i una lastra i legno. La permittivitá elettrica el legno ipene alla umiitá in esso contenuta, alla temperatura e alla sua costituzione fisico-chimica. Per un certo legno, assumiamo che la permettivitá complessa per ν = 1 GHz, per T = 20 0 C, per un legno i ensitá i 0.6 g/cm 3 nell ipotesi i legno secco) e per un contenuto i umiitá < 30%, sia: ɛ rc = 3 + i0.4 Si ponga, inoltre, µ r 1. Graficare il coefficiente i riflessione R in funzione ell angolo i incienza. vei es. n.1 el 19/7/2012) La costante i propagazione nel secono mezzo é: k 2 = β 2 + iα 2 ) = ω c ɛrc µ r Elevano al quarato e poneno µ r 1, si ha: Quini: β 2 2 α iα 2 β 2 = ω2 c 2 ɛ r c β2 2 α2 2 = ω2 c 2 Rɛ r c ) = ω2 c 2 3 2β 2 α 2 = ω2 c 2 Iɛ r c ) = ω2 c Si ha anche: β 1 = ω c ra/m) p 2 θ 0 ) = 1 β α2 2 + β2 1 sin2 θ 0 + 4β 22 α22 + ] β 22 α22 ) 2 β21 sin2 θ 0 { 1 } ω 2 ) 2 2 c sin 2 θ sin 2 θ 0 q 2 θ 0 ) = 1 β2 2 2 α2 2 β2 1 sin2 θ 0 + 4β 22 α22 + ] β 22 α22 ) 2 β21 sin2 θ 0 { 1 } ω 2 ) 2 3 sin 2 θ 2 c sin 2 θ 0 ESCAM12-22

23 S.Barbarino - Esercizi svolti i Campi Elettromagnetici Il coefficiente i riflessione R, per µ 1 µ 2, é: R = ρ 2 = q β 1 cos θ 0 ) 2 + p 2 q + β 1 cos θ 0 ) 2 + p 2 Il coefficiente i riflessione R, per µ 1 µ 2, é: θ 0 p 2 c 2 ω 2 qc ω R = ρ 2 q β 1 sin θ 0 tan θ 0 ) 2 + p 2 =ρ2 q + β 1 sin θ 0 tan θ 0 ) 2 + p 2 Num. Den. R Num. Den. R R R R /ρ 2 R /ρ Per θ 0 = 90 0 R é una forma ineterminata che eterminata ivieno numeratore e enominatore per tan θ 0 ) risulta 1. I numeratori e i enominatori i R e R inicati in tabella sono calcolati a meno i ω c. ESCAM12-23

24 S.Barbarino - Esercizi svolti i Campi Elettromagnetici Coefficiente i riflessione R. R θ 0 ESCAM12-24

25 S.Barbarino - Esercizi svolti i Campi Elettromagnetici 12-9) Esercizio n. 2 el 1/10/2012 Con riferimento al problema preceente si grafichi il coefficiente i riflessione R in funzione ell angolo i incienza. Si valuti l angolo pseuobrewster e il valore el coefficiente i riflessione a esso corrisponente Coefficiente i riflessione R. R Dalla tabella ell esercizio preceente e al grafico i R si euce che l angolo pseuobrewster θ pb vale 60 0 e il valore minimo el coefficiente i riflessione, in corrisponenza i tale angolo, é 0%. Questo significa che il legno si comporta come un ielettrico perfetto. Questo risultato é importante nel caso i riflessione i segnali raar che, ovviamente, sono piú eboli nel caso i materiale legnoso rispetto a materiale metallico. θ 0 θ pb ESCAM12-25

26 S.Barbarino - Esercizi svolti i Campi Elettromagnetici 12-10) Esercizio n. 1 el 25/10/2012 Il tellururo i camio CT e) é un composto chimico cristallino e stabile formato a camio e tellurio, presente nei pannelli solari fotovoltaici. Un fascio i luce viaggiante in aria e i lunghezza ona, rispetto al vuoto, = 0.5 µm incie, in irezione ella normale, su uno strato i CT e i spessore = 100 nanomm, posto su vetro i inice i rifrazione n 3 = 1.5. I parametri costitutivi el CT e sono: Calcolare il coefficiente i riflessione. n r = 3.01 e n i = 0.38 vei es. n.1 el 4/7/2012) Il sistema puó essere consierato come una lamina piana assorbente CT e) posta fra l aria e il vetro. Dalla teoria elle lamine piane assorbenti si euce che il coefficiente i riflessione é: ) 4πn i r e 2Rr12 r 23)cos R= 1+e 4πn i ) 2Rr 12 r 23 )cos 4πn r 4πn r ) )] 2Ir12 r 23)sin 4πn r + r 23 2 e ) 2Ir 12 r 23 )sin 4πn r )] + r 12 2 r 23 2 e 8πn i 8πn i Cominciamo con il calcolare alcune quantitá che servono per la valutazione ei coefficienti che figurano nella formula ella riflettivitá.: n 1 n r ) = ) = 2.01; n 1 + n r ) = ) = 4.01 n r n 3 ) = ) = 1.51; n r + n 3 ) = ) = 4.51 ] n1 n r )n 1 + n r ) n 2 i = ) 2 = ) ) nr n 3 )n r + n 3 ) + n 2 ] i = ) 2 = n1 + n r ) 2 + n 2 ] i = 4.01) ) 2 = ] n1 n r ) 2 + n 2 i = 2.01) ) 2 = nr + n 3 ) 2 + n 2 ] i = 4.51) ) 2 = ] nr n 3 ) 2 + n 2 i = 1.51) ) 2 = n 2 i n 1n 3 = ) = ESCAM12-26

27 S.Barbarino - Esercizi svolti i Campi Elettromagnetici Rr 12 r 23) = ] ] n1 n r )n 1 + n r ) n 2 i nr n 3 )n r + n 3 ) + n 2 i 4n 2 i n 1 n ) ) n 1 + n r ) 2 + n 2 i ] n r + n 3 ) 2 + n 2 i ] Ir12 r 23) = 2n ] ] in 3 n1 n r )n 1 + n r ) n 2 i + 2ni n 1 nr n 3 )n r + n 3 ) + n 2 i n 1 + n r ) 2 + n 2 i ] n r + n 3 ) 2 + n 2 i ] Rr 12 r 23 ) = ) ) = ] ] n1 n r )n 1 + n r ) n 2 i nr n 3 )n r + n 3 ) + n 2 i + 4n 2 i n 1 n ) ) n 1 + n r ) 2 + n 2 i ] n r + n 3 ) 2 + n 2 i ] Ir 12 r 23 ) = 2n ] ] in 3 n1 n r )n 1 + n r ) n 2 i 2ni n 1 nr n 3 )n r + n 3 ) + n 2 i n 1 + n r ) 2 + n 2 i ] n r + n 3 ) 2 + n 2 i ] ) ) Inoltre: Rr 12 ) = n2 1 n2 r n2 i n 1 + n r ) 2 + n 2 i Rr 23 ) = n2 r n n 2 i n r + n 3 ) 2 + n 2 i Ir 12 ) = 2n i n 1 n 1 + n r ) 2 + n 2 i Ir 23 ) = 2n i n 3 n r + n 3 ) 2 + n 2 i r 12 2 = n 1 n r ) 2 + n 2 i n 1 + n r ) 2 + n 2 i r 23 2 = n r n 3 ) 2 + n 2 i n r + n 3 ) 2 + n 2 i )2 0.38) )2 1.5) ) = = ESCAM12-27

28 S.Barbarino - Esercizi svolti i Campi Elettromagnetici ) sin 4πn r = sin 4π ) cos 4πn r exp 4πn i ) = cos 4π ) )] exp 4π )] exp ) )] exp 8πn i exp 8π )] exp ) Calcoliamo alcune espressioni parziali contenute nella espressione el coefficiente i riflessione: ) ) 1) 2Rr12r 23 ) cos 4πn r 2Ir λ 12r 23 ) sin 4πn r = ) ) ) ) = = )] ) )] 2) exp 4πn i 2Rr12 λ r 23) cos 4πn r 2Ir12 0 λ r 23) sin 4πn r ) ) = ) r 23 2 e 5) exp ) 8πn i = = = ) ) 4) 2Rr 12 r 23 ) cos 4πn r 2Ir 12 r 23 ) sin 4πn r = ) ) ) ) )] 4πn i ) )] 2Rr 12 r 23 ) cos 4πn r 2Ir 12 r 23 ) sin 4πn r = = ) ESCAM12-28

29 S.Barbarino - Esercizi svolti i Campi Elettromagnetici ) 6) r 12 2 r πn i e = ) ) )= = Finalmente: R= ) ) % ESCAM12-29

30 S.Barbarino - Esercizi svolti i Campi Elettromagnetici 12-11) Esercizio n. 2 el 25/10/2012 Con riferimento al problema preceente si valuti il coefficiente i trasmissione. Poiché risulta, in questo caso: il coefficiente i trasmissione é: T = 1+e 4πn i n 3 β 3 µ 1 β 1 µ 3 = n 3 n Rr12 ) + r 12 2] 1 + 2Rr 23 ) + r 23 2] e n ) 1 ) 2Rr 12 r 23 )cos 4πn r 2Ir 12 r 23 )sin 4πn r 4πn i ) )] + r 12 2 r 23 2 e 8πn i Poiché il coefficiente i trasmissione ha lo stesso enominatore el coefficiente i riflessione, proceiamo al calcolo el solo numeratore. Per questo calcoliamo le espressioni parziali contenute nel numeratore: 1 + 2Rr12 ) + r 12 2] = ) Rr23 ) + r 23 2] = ) Finalmente: T = % ) Fine Esercizi Campi e.m ESCAM12-30