Esame di Probabilità e Statistica del 23 agosto 2010 (Corso di Laurea Triennale in Matematica, Università degli Studi di Padova).

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1 Esame di Probabilità e Statistica del 3 agosto 00 Corso di Laurea Triennale in Matematica, Università degli Studi di Padova). Cognome Nome Matricola Es. Es. Es. 3 Es. 4 Somma Voto finale Attenzione: si consegnano SOLO i fogli di questo fascicolo. Esercizio. Jane ha tre figli, ciascuno di loro con uguale probabilità di essere maschio o femmina indipendentemente dagli altri. Definiamo gli eventi: A : {tutti i figli sono dello stesso sesso}, B : {c è almeno un maschio}, C : {ci sono almeno un maschio e una femmina}.. Definire un opportuno spazio probabilizzato per modellizzare il fenomeno.. Calcolare le probabilità dei 3 eventi definiti sopra. 3. Mostrare che A è indipendente da B, B è indipendente da C ma A e C sono dipendenti. 4. Dire cosa cambia nelle domande precedenti nel caso in cui Jane abbia 4 figli. Esercizio. Siano X e Y variabili aleatorie discrete, con densità discreta congiunta p X,Y x, y) : C x + y )x + y)x + y + ), x, y. Calcolare le densità marginali di X e di Y suggerimento: esprimere la densità discreta congiunta come per a, b, c opportuni). a + x+y. Quanto vale la costante C? 3. Calcolare E[X] ed E[Y ]. b + x+y c x+y+ 4. Quanto vale la covarianza tra X e Y?

2 Esercizio 3. funzione Una variabile aleatoria reale X si dice di Cauchy se ha come densità la ft) : π + t ), t R Nel seguito, sia X una variabile aleatoria di Cauchy.. Dimostrare che X non ammette speranza finita.. Dimostrare che Y : /X è ancora di Cauchy. 3. Calcolare la funzione di ripartizione di Z : a +X. 4. Calcolare la densità di Z. Esercizio 4. Siano X n ) n i.i.d. P o), con > 0, e poniamo X n : n X X n ).. Fissato η > 0, stimare con la disuguaglianza di Chebichev la probabilità P{ X n > η}. Stimare la stessa quantità usando l approssimazione normale. 3. Supponendo che e n 0000, confrontare le due stime per η 0, η 0 e η 3 0. Valori utili della funzione di ripartizione di una normale standard: Φ) 0.843, Φ) 0.977, Φ3)

3 Soluzioni Esercizio.. Una possibile scelta è Ω : {M, F } 3, A : PΩ), P uniforme, che fa in modo che i sessi dei 3 figli siano indipendenti tra loro.. Abbiamo PA) P{MMM, F F F }) 8 4, PB) P{MMM, MMF, MF M, F MM}) 4 8, PC) PA c ) Abbiamo PA B) P{MMM}) 8 PA)PB) e quindi A e B sono indipendenti; questo implica che anche B e C A c sono indipendenti, mentre A e C non sono ovviamente) indipendenti perchè PA C) P ) PA)PC). 4. Se Jane ha 4 figli, allora un possibile spazio probabilizzato è dato da Ω : {M, F } 4 e ancora A : PΩ) e P uniforme. Abbiamo poi che PA) P{MMMM, F F F F }) 6 8, PB) P{MMMM, MMMF, MMF M, MF MM, F MMM}) 5 6, PC) PA c ) Infine, A e C continuano a non essere indipendenti, e stavolta nemmeno A e B e quindi B e C) possono essere indipendenti poichè PA)PB) 5, che è diversa da ogni 8 possibile probabilità su Ω, A, P), e in particolare da PA B) P{MMMM}) Esercizio.. Seguendo il suggerimento, abbiamo p X,Y x, y) ax + y) + ax + y) + bx + y) b + cx + y) cx + y) x + y )x + y)x + y + ) Uguagliando i coefficienti del polinomio in x + y) nel numeratore con la definizione nel testo, troviamo il sistema a + b + c 0, a c 0, b C. 6.

4 che ha come unica soluzione a, b, c) C,, ). Possiamo allora calcolare, per ogni x, p X x) y C x + y ) x + y + C x + y + x ) x + e per ogni y, p Y y) x C x + y ) x + y + C x + y + y ) y +. Poichè bisogna avere x p Xx), abbiamo e quindi C. p X x) C x x x ) C x + 3. Poichè sia X che Y sono non negative, la speranza esiste sicuramente per entrambe le variabili aleatorie ed è uguale, rispettivamente, a E[X] xp X x) x e allo stesso modo E[Y ] +. x x ) x + x x Poichè sia E[X] che E[Y ] sono infinite, la covarianza non è ben definita. Esercizio 3.. Basta calcolare E[ X ] R t + π + t ) dt t 0 π + t ) dt π [log + t )] Calcoliamo la funzione di ripartizione di Y : per ogni y R, F Y y) P{/X y} P{X /y} + che è C su R, quindi la densità di Y viene ad essere f Y y) F Y y) π + y ) ) y ) /y π + t ) dt πy + ) per ogni y R. Siccome la variabile aleatoria Y non è ben definita solo nel punto 0, possiamo dire che ammette come densità la densità di Cauchy su tutto R.

5 3. Supponiamo che a > 0. Innanzitutto 0 Z a q.c., e quindi per ogni z 0, a) si ha { } a F Z z) P + X z P {X a } { } a z P X z { } a P X z a z π + t dt π [arctg t] a z π arctg a z dove abbiamo usato il fatto che X è simmetrica, avendo come densità una funzione pari. Si ha poi F Z z) 0 per z 0 e F Z z) per z a. 4. Siccome F Z è C su tutto R, basta calcolare f Z z) F Zz) π + a ) z a a ) z z per z 0, a) e f Z z) 0 altrimenti. π za z) Esercizio 4.. Dal corso sappiamo che E[ X n ] e Var [ X n ]. Allora per ogni η > 0 abbiamo n P{ X n > η} Var [ X n ] η nη. Se si può applicare l approssimazione normale, abbiamo { P{ X n > η} P{ η X n η} P η X n /n /n { } n n P η S n η ) n Φ η Φ η ) n + Φ η η /n } ) n 3. Con i numeri del testo abbiamo che la probabilità richiesta è maggiorata dalle seguenti quantità: η dis. di Chebichev /4 0.5 /9 0. appr. normale Φ) Φ) Φ3) 0.006

6 Esame di Probabilità e Statistica del 3 agosto 00 Corso di Laurea Triennale in Matematica, Universitá degli Studi di Padova) docente: Tiziano Vargiolu) Hanno superato la prova: Balsemin Lorenzo.5 Bartolini Cecilia 0.5 Cecchetto Martino 0 Coletto Davide.5 Favaretto Maddalena 7 Giacon Federico 30.5 Giubilato Daniela Licari Francesca 7 Melchiori Anna 8.5 Pasqualetto Martina 7.5 Passarini Ada 3.5 Piccolo Francesco.5 Prevedello Anna.5 Prevedello Giulio 7 Raimondo Alessandro 9 Sgarabottolo Alessandro 9.5 Zanatta Luana 7.5 Visione compiti, registrazione voti e orali: mercoledì 5 agosto ore.00 aula AB/45.