Modelli matematici di di sistemi dinamici

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1 Modelli matematici di di sistemi dinamici Modelli di sistemi dinamici lineari, tempo-invarianti Sistemi di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti Similarita` nel modellare fenomeni fisici di natura diversa: sistemi meccanici circuiti elettrici sistemi termodinamici e fluidodinamici 1

2 Modelli matematici di di sistemi meccanici Sistemi meccanici in moto traslatorio: F=ma (Legge di Newton, equazione del moto) F,a: grandezze vettoriali componenti elementari: masse, molle, ammortizzatori M f 1 f 2 x K x 1 x 2 x 1 B x 2 2

3 Modelli matematici di di sistemi meccanici Equazioni che descrivono l equilibrio delle forze applicate: f 1 f 2 x x 1 x 2 x 1 x 2 Df (t) = f 1 (t) - f 2 (t) = M d 2 x(t) dt 2 f (t) = K(x 1 (t) - x 2 (t)) f (t) = B d dt (x 1 (t) - x 2 (t)) 3

4 Cruise control Esempio: controllo di velocita` bv m x + b m x = u m a x u X(s) = v = x a = v = ẋ s 2 X(s) - sx(0) - x (0) + b m 1/m s s + b /m ( ) ( s + b/m)x(0) + v(0) U(s) + s s + b /m X(s) U(s) = 1/m s s + b /m ( ) ( ) u - b x = m ẋ ( sx(s) - x(0) ) = U(s) m 4

5 Cruise control v + b m v = u m Legami tra u, x e v a partire da condizioni iniziali nulle sv (s) - v(0) + b m V (s) = V (s) U(s) = 1/m s + b/m V (s) = U(s) m 1/m ( s + b /m) U(s) + v(0) s + b/m ( ) X(s) U(s) = 1/m s s + b/m ( ) ( ) U(s)=0 V (s) = v(0) s + b/m ( ) fi v(t) = v(0)e - b m t 5

6 Cruise control Modello di stato: x 1 = x = v = x 2 È x = x È Í = x 1 Í Î v Î x 2 x 2 = v = x = a = - b m v + u m = - b m x 2 + u m È x = 0 1 È Í x + 0 Í u Î 0 -b/m Î 1/m u Æ x fi y = x = x 1 fi y = [ 1 0]x u Æ v fi y = v = x 2 fi y = [ 0 1]x J=0 6

7 Cruise control H(s) = H(sI - F) -1 G + J È s -1 (si - F) -1 G = 0 s + b -1 È 0 Í Í 1 Î Í m Î Í m = È 1 s + b = m 1 È 0 Í Í 1 s( s + b/m) Î Í 0 s Î Í m = 1 s s + b /m y = x : y = v : 1 [ s( s + b/m) 1 0 ] Í 1/m Î s/m 1 s( s + b/m) [ 0 1] Í 1/m Î s/m È È = = 1/m s s + b/m ( ) s/m s s + b /m ( ) È 1/m Í Î s/m ( ) = 1/m ( s + b /m) 7

8 Quarter-car model Esempio: sospensione m 2 k s m 1 b y v car x k s (y - x) x,y: scostamenti dal valore di equilibrio ( elimino la forza di gravita`) b( y - x ) m 1 x m 2 y r k w k w (x - r) k s (y - x) b( y - x ) 8

9 Quarter-car model b( y - x ) + k s (y - x) - k w (x - r) = m 1 x -b( y - x ) - k s (y - x) = m 2 y x + b ( x - y ) + k s (x - y) + k w x = k w r m 1 m 1 m 1 m 1 y + b ( y - x ) + k s (y - x) = 0 m 2 m 2 s 2 X(s) + b m 1 s(x(s) -Y(s)) + k s m 1 (X(s) -Y(s)) + k w m 1 X(s) = k w m 1 R(s) s 2 Y(s) + b m 2 s(y(s) - X(s)) + k s m 2 (Y(s) - X(s)) = 0 c.i. nulle 9

10 Quarter-car model Legame tra r ed y: ricavo l espressione di X(s) in funzione di Y(s) dalla 2 a eq. e sostituisco nella 1 a eq. X(s) = s 2 + b s + k s m 2 m 2 b s + k s m 2 m 2 Y(s) Y(s) R(s) = p 1 s + p 0 s 4 + q 3 s 3 + q 2 s 2 + q 1 s + q 0 Esercizio: modello di stato con x = [x, x, y, y ] T 10

11 Testina HDD Sistemi meccanici in moto rotatorio monodimensionale: M=Ia Esempio: servoposizionamento testina HDD M c +M d q 2 I 2 k,b M c +M d I 1 q 1 q 1 k(q 1 -q 2 ) b( q 1 - q 2 ) I 2 q 2 q 2 k(q 1 -q 2 ) b( q 1 - q 2 ) I 1 q 1 I 1 q 1 + b( q 1 - q 2 ) + k(q 1 -q 2 ) = M c + M D I 2 q 2 - b( q 1 - q 2 ) - k(q 1 -q 2 ) = 0 11

12 Pendolo Esempio: il pendolo T c q mg l I = ml 2 ( ) = I T c - l mgsinq q + g l sinq = T c ml 2 q = ml 2 q q + g l q = T c 0 ml 2 s 2 Q(s) - sq(0) - q (0) + g l Q(s) = T c (s) ml 2 Q(s) = 1 ml 2 T c (s) s 2 + g/l + sq(0) + q (0) s 2 + g/l 12

13 Carro-ponte Esempio: il carro-ponte u m t x q I,m p u N m t P m t x = -b x + u - N ẋ x b x 13

14 Carro-ponte Cinematica del pendolo: j i x r r = i(x + lsinq) - jlcosq lq 2 l q l q ẋ r = i x + l q icosq + jsinq = i r = i( x + l q cosq) + jl q sinq = i x + l (iq cosq + jq sinq) ( ( ) r = i x + l i q cosq -q 2 sinq ( )) +j q sinq + q 2 cosq ( ) + l ( ) x + l q icosq + jsinq +l q 2 Ê icos Ê q + p ˆ Á Ë 2 + jsin Ê q + p ˆ ˆ Á Á Ë 2 Ë ( ) = q 2 -isinq + jcosq 14

15 Carro-ponte Cinematica e dinamica del pendolo: ortogonale al pendolo m p g P N lq 2 q l q ẋ l + pendolo fisso P sinq + N cosq - m p gsinq = m p l q + m p x cosq -Plsinq - Nlcosq = I q ( I + m p l 2 ) q + m p glsinq = -m p l x cosq ml 2 q + mglsinq = T c I:momento di inerzia attorno al baricentro 15

16 Carro-ponte Per il moto del carrello: m p g N lq 2 q l q ẋ m t x = -b x + u - N N = m p x + l q cosq - lq 2 sinq ( ) (m p + m t ) x + b x + m p l q cosq - m p lq 2 sinq = u Per q piccoli : sinq q, cosq 1. Inoltre si assume che q 0 Ï ( I + m p l 2 ) q + m p glq = -m p l x Ì Ó (m p + m t ) x + b x + m p l q = u 16

17 Carro-ponte Trascurando l attrito (b=0): Ï ( Ô I + m p l 2 ) q + m p glq = -m p l x Ì (m p + m t ) x + m p l q = u fi x = u - m pl q Ô M, m p + m t = M Ó ( I + m p l 2 ) q + m p glq = -m p l u - m pl q M Ê I + m p l 2 - m 2 pl 2 ˆ Á Ë M q + m p glq = -m p l u M Q(s) U(s) = -m p l ( M( I + m p l 2 ) - m 2 p l 2 )s 2 + Mm p gl 17

18 Carro-ponte Dal carro-ponte al pendolo inverso: equilibrio attorno alla posizione verticale (q=p). Definisco q =q-p Linearizzando attorno a q=p, sinq -q, cosq -1. Inoltre si assume che q 0 Per b=0: Ï ( I + m p l 2 ) q - m p gl q = m p l x Ì Ó (m p + m t ) x + b x - m p l q = u Q (s) U(s) = m p l ( M( I + m p l 2 ) - m 2 p l 2 )s 2 - Mm p gl 18

19 Modelli matematici di di circuiti elettrici Circuiti elettrici: elementi statici: resistenze, trasformatori ideali elementi dinamici: induttanze, capacita` ingressi forniti da generatori di tensione e/o di corrente i v(t) = Ri(t) + i v(t) = L di(t) + dt i i(t) = C dv(t) + dt v(t) = v s i(t) = i s 19

20 Bridged-T Esempio: ponte a T ➊ + + R 1 À + + C 2 + v i C 1 Õ v C1 = v 2 = x 1 v C2 = v 1 - v 3 = x 2 v 1 = v i = u v 3 = u - x 2 = v o = y R 2 Ã + v o v 1, v 2, v 3 : riferite a Õ KCL À: KCL Ã: v 1 - v 2 = v 2 - v 3 dv + C 2 1 R 1 R 2 dt v 2 - v 3 d(v + C 1 - v 3 ) 2 R 2 dt Ï x 1 = u - x 1 - x 1 - u + x 2 Ô C 1 R 1 C 1 R Ì 2 Ô x 2 = - x 1 - u + x 2 Ó C 2 R 2 = 0 20

21 Bridged-T Rappresentazione matriciale: È 1 Ê ˆ Á - 1 Í C F = Í 1 Ë R 1 R 2 C 1 R Í Î Í C 21 R 2 C 2 R 2 [ ] J =1 H = 0-1 È 1 Ê ˆ Í Á C G = Í 1 Ë R 1 R 2 Í 1 Î Í C 2 R 2 21

22 Amplificatori operazionali i o i - R o v - - R v v o =A(v + -v - ) - + v v + i o v o i + v + =0 Operazionale ideale: R 1 =, R o =0, A =, e v o tale che Ï i + = i - = 0 Ì Ó v + - v - = 0 22

23 Sommatore con op-amp ideale R f v 1 i 1 v 2 i 2 v + = 0 fi v - = 0 i 1 = v 1 R 1, i 2 = v 2 R 2 R 1 - i out R 2 i1 + i2 + iout = 0 v 1 R 1 + v 2 R 2 + v out R f = 0 v out Ê v out = - R f v 1 + R ˆ f Á v 2 Ë R 1 R 2 23

24 Integratore con op-amp ideale C i in + i out = 0 v in + C dv out R in dt = 0 R in i out i in v - in v out dv out dt = - v in v CR out (t) = - 1 t Ú in R in C v in (t)dt + v out (0) 0 24

25 Modelli di di sistemi elettromeccanici Interazione tra correnti elettriche e campi magnetici: Legge dei motori: un conduttore di lunghezza l m percorso da una corrente di i A e` collocato ortogonalmente alle linee di un campo magnetico di intensita` B T e` soggetto ad una forza (ortogonale al piano formato da i e B) di intensita` F=Bli N. Legge dei generatori: in un conduttore di lunghezza l m che si muove a velocita` v m/s ortogonalmente alle linee di un campo magnetico di intensita` B T si stabilisce una tensione di intensita` e(t)=blv V. 25

26 Altoparlante Cono+interazione aria: massa M, attrito viscoso b M x = -b x + Bli x 1 = x x 2 = x x 1 = x 2 x 2 = - b M x 2 + Bl M i F = Bli 26

27 Altoparlante Circuito di ingresso: v a R x 1 = x 2 x 2 = - b M x 2 + Bl M i i ecoil L x 3 = - R L x 3 - Bl L x 2 + v a x x 3 = i e coil = Bl x L di dt È Í F = Í 0 -b / M Bl / M Î Í 0 -Bl /L -R / M + Ri + Bl x = v a x 3 = - R L x 3 - Bl L x 2 + v a È 0 Í G = Í 0 Î Í 1/L 27

28 Motore in in continua Angolo Spazzola i a q m Albero Cuscinetti Spazzola Magnete dello Statore Avvolgimenti del Rotore Statore J m q m = T - bq m = K t i a - bq m L a di a dt + R a i a = v a - e = v a - K e q m v a R a L a i a q m e = K e T = K t i a e = K e q m T q m b q m 28

29 Motore in in continua q m = K t i a - b q m J m J m di a dt = - R a L a i a + 1 L a v a - K e L a q m x 1 = q m x 2 = q m x 3 = i a u = v a È Í F = Í 0 -b/j m K t /J m Î Í 0 -K e /L a -R a /L a Ï Ô x 1 = x 2 Ô x 2 = - b x 2 + K t Ì x 3 Ô J m J m Ô x 3 = - K e x 2 - R a x u Ó Ô L a L a L a È 0 Í G = Í 0 Î Í 1/L a Simile al modello dell altoparlante: circuito elettrico che guida un carico meccanico 29

30 Motore in in continua Funzione di trasferimento tra tensione di armatura e posizione angolare dell albero (da c.i. nulle): J m s 2 Q m (s) + bsq m (s) = K t I a (s) sl a I a (s) + R a I a (s) = V a (s) - K e sq m (s) V s( J m s + b)q m (s) = K a (s) - sk e Q m (s) t R a + sl a Q m (s) V a (s) = L a trascurabile : s J m s + b K t [ ] ( )( R a + sl a ) + K e K t Q m (s) V a (s) = I a (s) = V a (s) - sk e Q m (s) R a + sl a K t /R a J m s 2 + ( b + K e K t /R a )s 30

31 Analogia Analogia: la metodologia di derivazione dei modelli non e` basata sulla natura fisica delle grandezze in gioco ma sui legami formali tra le funzioni che descrivono le grandezze in gioco Analogia: due sistemi descriventi fenomeni di natura fisica diversa possono essere descriti da equazioni uguali Esempio: analogia tra sistemi elettrici e sistemi meccanici 31

32 Analogia punti in movimento nodi della rete masse capacita` verso massa molle induttanze ammortizzatori resistenze velocita` tensioni forze correnti 32

33 Analogia K 1 f M 1 d 2 x 1 (t) dt 2 M 2 d 2 x 2 (t) dt 2 M 1 x 1 B 1 K 2 M 2 = f (t) - K 1 x 1 (t) - B 1 d dt (x 1(t) - x 2 (t)) x 2 d = B 1 dt (x dx 1(t) - x 2 (t)) - K 2 x 2 (t) - B 2 (t) 2 dt 33

34 Analogia Cerco il legame tra f(t) e x 2 (t): Dx 1 (t) = 1 B 1 d dt D dx(t) dt Dx(t) 0 = -B 1 D(x 1 (t) - x 2 (t)) + M 2 D 2 x 2 (t) + K 2 x 2 (t) + B 2 Dx 2 (t) D 2 x 1 (t) = 1 B 1 ( x 2 (t) + M 2 D 2 x 2 (t) + K 2 x 2 (t) + B 2 Dx 2 (t)) ( Dx 2 (t) + M 2 D 3 x 2 (t) + K 2 Dx 2 (t) + B 2 D 2 x 2 (t)) D 3 x 1 (t) = 1 B 1 ( D 2 x 2 (t) + M 2 D 4 x 2 (t) + K 2 D 2 x 2 (t) + B 2 D 3 x 2 (t)) 34

35 Analogia f (t) = M 1 D 2 x 1 (t) + K 1 x 1 (t) + B 1 D(x 1 (t) - x 2 (t)) Df (t) = M 1 D 3 x 1 (t) + K 1 Dx 1 (t) + B 1 D 2 (x 1 (t) - x 2 (t)) Df (t) = M 1 M 2 B 1 D 4 x 2 (t) + M 1 B 2 B 1 D 3 x 2 (t) + Ê + M 1 (B 1 + K 2 ) + K 1 M ˆ 2 Á + M 2 - B 1 D 2 x 2 (t) Ë B 1 B 1 Ê + K 1 B ˆ Ê 2 Á + B 2 Dx 2 (t) + K 1 (B 1 + K 2 ) ˆ Á + (B 1 + K 2 ) x 2 (t) Ë B 1 Ë B 1 35

36 Analogia f(t) i(t) dx 1 (t) dt v 1 (t) M 1 1 B 1 M 2 dx 2 (t) dt v 2 (t) 1 1 K 1 1 B 2 K 2 36

37 Linearizzazione In generale i modelli dei sistemi da controllare sono non lineari La maggior parte delle tecniche di controllo si basa sull ipotesi di linearita` del processo Linearizzazione: derivazione di un sistema lineare che approssima il sistema non lineare nell intorno di un punto di equilibrio (analisi alle variazioni o ai piccoli segnali) Teoria di Lyapunov: la (asintotica) stabilita` del sistema linearizzato garantisce la stabilita` del sistema non lineare in un intorno del punto di equilibrio Si progetta una legge di controllo stabilizzante per il sistema linearizzato e la si applica al sistema non lineare che rimane stabile nell intorno del punto di equilibrio 37

38 Linearizzazione Modello non lineare (tempo-invariante): In forma di stato: x 1 (t) = f 1 ( x 1 (t),k,x n (t),u(t)) Ï Ô Ì Ô Ó x n (t) = f n q(y (1),K, y (n ),u (1),K, u (m) ) = 0 M ( x 1 (t),k, x n (t),u(t)) y(t) = h( x 1 (t),k,x n (t),u(t)) Punto di equilibrio x 0 (con u=u 0 ): Ï x = f(x,u) Ì Ó y = h(x,u) Ï x 0 = f(x 0,u 0 ) = 0 Ì Ó y 0 = h(x 0,u 0 ) 38

39 Linearizzazione Perturbando l equilibrio: x(t) = x 0 + dx(t) È f(x, f(x 0,u 0 ) + f È Î Í x dx + f x=x 0 Î Í u du x=x 0 u= u 0 u= u 0 = Fdx + Gdu x (t) = x 0 + d x (t) = d x (t) = f(x,u) = Fdx(t) + Gdu(t) d x (t) = Fdx(t) + Gdu(t) u(t) = u 0 + du(t) Il modello e` valido per dx e du piccoli 39

40 Linearizzazione Esempio: x 1 = y x 2 = y y - y sin y + arctan y = (1+ y )u x 1 = x 2 = f 1 (x,u) Equilibrio in x 1 =x 2 =u 0 =0 È f 1 f 1 Í x F = 1 x Í 2 Í f 2 f 2 Î Í x 1 x 2 È = 0 1 Í Î -1 0 x =0 1 x 2 =0 u=0 x 2 = y = y sin y - arctan y + (1+ y )u = x 2 sin x 1 - arctan x 1 - (1+ x 2 )u = f 2 (x,u) È 0 1 = x 2-1 Í sin x u Î Í 1+ x 1 x1 =0 x2 =0 u =0 È f 1 Í G = u Í f Í 2 Î u È = 0 Í Î -1 x1 =0 x 2 =0 u=0 È 0 = Í Î -1- x 2 x1 =0 x 2 =0 u=0 40

41 Linearizzazione Linearizzazione tramite retroazione: si cancella la nonlinearita` tramite il controllo Esempio: il pendolo ml 2 q + mlgsinq = T c T c = u + mlgsinq ml 2 q = u E` un controllo in retroazione (devo conoscere q) Il controllo e` una funzione nonlineare delle variabili che descrivono il processo 41