a 11 s 1 + a 12 s a 1n s n = b 1 a 21 s 1 + a 22 s a 2n s n = b 2..

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1 Matematica II Ogni sistema di m equazioni lineari in n incognite x 1 x 2 x n si uo raresentare nella forma a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m dove a 11 a 12 b m indicano numeri reali refissati Una soluzione di un tale sistema lineare e una n la ordinata (s 1 s 2 s n ) di numeri reali che sostituiti ordinatamente ai simboli x 1 x 2 x n delle incognite rendono vera ogni uguaglianza cioe tale che a 11 s 1 + a 12 s a 1n s n = b 1 a 21 s 1 + a 22 s a 2n s n = b 2 a m1 s 1 + a m2 s a mn s n = b m Risolvere un sistema significa determinare eslicitamente tutte le sue soluzioni Un sistema lineare che non ossiede soluzioni si dice inconsistente un sistema lineare una ed una sola soluzione si dice determinato un sistema lineare che ossiede iu di una soluzione si dice indeterminato Due sistemi lineari si dicono equivalenti quando hanno lo stesso insieme delle soluzioni Uno dei modi di decidere se un sistema e inconsistente determinato indeterminato e er risolverlo e dato dal rocesso di eliminazione di Gauss i cui assi sono dei seguenti tii: sommare un multilo di un equazione ad un altra equazione; scambiare due equazioni; moltilicare un equazione er uno scalare non nullo Queste oerazioni si dicono oerazioni elementari sulle equazioni di un sistema Ciascuna di esse trasforma un sistema in un altro sistema ad esso equivalente; cio deriva al fondo dalla loro invertibilita In generale il rocesso di eliminazione di Gauss consiste nel sommare oortuni multili della rima equazione alla seconda terza ultima equazione in modo 1

2 da eliminare da esse la rima incognita x 1 Cosi il sistema lineare iniziale di m equazioni nelle n incognite x 1 x 2 x n viene sostanzialmente ricondotto a un sistema di m 1 equazioni nelle n 1 incognite x 2 x n Questo sistema viene a sua volta ricondotto a un sistema di m 2 equazioni nelle n 2 incognite x 3 x n ; fino ad ottenere un sistema costituito da un unica equazione Nel corso del rocesso ossono resentarsi come vedremo alcune eventualita che richiedono qualche aggiustamento Il sistema lineare considerato e univocamente determinato dalla matrice a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 a m1 a m2 a mn b m che viene detta matrice comleta del sistema Alle oerazioni elementari sulle equazioni del sistema corrisondono le seguenti oerazioni sulle righe R 1 R 2 R m della sua matrice comleta: sommare un multilo di una riga ad un altra riga in simboli R i := R i + λr j ; scambiare due righe in simboli R i := R j R j := R i ; moltilicare una riga er uno scalare non nullo in simboli R i := µr i con µ 0; che vengono dette oerazioni elementari er righe Al rocesso di eliminazione di Gauss corrisonde il rocesso che consiste nel sommare oortuni multili della rima riga alla seconda terza ultima riga in modo da annullare tutti gli elementi della rima colonna al di sotto di a 11 ; nella matrice cosi ottenuta si sommano oortuni multili della seconda riga alla terza ultima riga in modo da annullare tutti gli elementi della seconda colonna al di sotto di a 22 ; Nel corso del rocesso ossono resentarsi come vedremo alcune eventualita che richiedono qualche aggiustamento Consideriamo il sistema lineare x 1 +2x 2 +3x 3 +x 4 +x 5 = x 1 +2x 2 +3x 3 +2x 4 +3x 5 = q x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 = r 3x 1 5x 2 7x 3 4x 4 5x 5 = s 2

3 dove i termini noti non sono secificati La matrice comleta del sistema e Sommando oortuni multili della rima riga alla seconda terza e quarta riga si ottiene la nuova matrice q r s + 3 che ha tutti gli elementi della rima colonna sotto il rimo nulli Ora non si uo usare la seconda riga er annullare gli elementi della seconda colonna al di sotto del secondo; ossiamo ero farlo se rima scambiamo la seconda riga con la terza: q r s r q s + 3 r q s + r + 2 Ora non si uo usare la terza riga er annullare gli elementi della terza colonna al di sotto del terzo e non si uo rimediare scambiando la terza riga con la quarta; ossiamo ero usare la terza riga er annullare gli elementi della quarta colonna al di sotto del terzo: r q s + r + q + A questo unto il rocesso sulla matrice e terminato Il sistema lineare corrisondente e x 1 +2x 2 +3x 3 +x 4 +x 5 = x 2 2x 3 = r +x 4 +2x 5 = q 0 = s + r + q + 3

4 che e equivalente al sistema iniziale Ora esistono soluzioni se e solo se i arametri raresentativi dei termini noti soddisfano la condizione s + r + q + = 0 Per semlicita suoniamo ora che = 1 q = r = 0 s = 1 dimodoche il sistema diviene x 1 +2x 2 +3x 3 +x 4 +x 5 = 1 x 2 2x 3 = 1 +x 4 +2x 5 = 1 Questo sistema uo essere risolto eslicitando le incognite x 1 x 2 x 4 cioe le rime incognite che comaiono nelle varie equazioni in funzione delle altre x 1 +2x 2 +x 4 = 3x 3 x 5 +1 x 2 = 2x 3 1 x 4 = 2x 5 1 x 1 = x 3 +x 5 x 2 = 2x 3 +1 x 4 = 2x 5 1 La soluzione generale si ottiene uguagliando le incognite x 3 ed x 5 a arametri liberi; si uo dunque dire che il sistema ammette una doia infinita di soluzioni in breve 2 soluzioni Per descrivere la ortata generale del rocedimento seguito nella discussione del sistema secifico considerato dobbiamo introdurre un adeguata terminologia Dato un vettore non nullo a = (a 1 a 2 a n ) indichiamo la rima comonente non nulla di a col termine ivot di a Data una matrice A e denotate le sue righe con R 1 R 2 R m diciamo che A e a scala er righe se il ivot di R 1 viene rima del ivot di R 2 che a sua volta viene rima del ivot di R 3 che a sua volta ed infine si hanno eventualmente delle righe nulle Un sistema lineare a scala e un sistema lineare in cui la rima incognita che comare nella rima equazione viene rima della rima incognita che comare nella seconda equazione che a sua volta viene rima della rima incognita che comare nella terza equazione che a sua volta ed infine si hanno eventualmente delle equazioni in cui non comare alcuna incognita Si ha che un sistema lineare e a scala se e solo se la matrice incomleta dei suoi coefficienti e a scala er righe 4

5 Possiamo ora enunciare i seguenti fatti generali ogni matrice si uo trasformare mediante oerazioni elementari er righe in una matrice a scala er righe; ogni sistema lineare si uo trasformare mediante oerazioni elementari sulle equazioni in un sistema lineare a scala; ogni sistema lineare di m equazioni in n incognite e equivalente ad un sistema lineare a scala di m equazioni in n incognite un sistema lineare a scala e inconsistente se e solo se contiene un equazione inconsistente cioe del tio 0 = b con b 0 5