Dinamica Relativistica

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1 L Generlizzzione Reltiistic delle Leggi dell Meccnic Principio d inerzi ereditto dll meccnic clssic: Dinmic Reltiistic Reltiità Energi e Ambiente Fossombrone PU Polo Scolstico L. Donti 3 mggio Deinisce l clsse dei SdR inerzili e ne postul l esistenz. Corinz rispetto lle trsormzioni di Lorentz: L nuo legge così soddiserà utomticmente il principio di reltiità ed il postulto dell inrinz dell elocità dell luce. Vlidità del principio di corrispondenz: Grndezze e le leggi isiche nell loro nuo ormulzione deono ricondursi quelle clssiche nel limite di elocità piccole rispetto quell dell luce. Pro. Domenico Glli Alm Mter Studiorum Uniersità di Bologn DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic Conserzione dell Quntità di Moto Conserzione dell Quntità di Moto II Considerimo l urto elstico in igur tr due sere di ugule mss m. Considerimo un SdR S in cui le due sere bbino inizilmente elocità opposte: i = i " i = î + bˆ i i = î bˆ Qundo le due sere urtno per i loro F i centri pss un rett prllel ll sse. L orz d urto F è perciò prllel ll sse. Nell urto si inertono perciò le componenti delle elocità mentre le componenti restno inrite. i F In termini mtemtici: " i = î bˆ " = î + bˆ i = î + bˆ = î bˆ L quntità di moto totle prim dell urto è: Q i = m i + m i = Mentre dopo l urto è: Q = m + m = = m " î bˆ + m" î + bˆ = = m " î + bˆ + m" î bˆ = Dunque l quntità di moto si conser nell urto. i F F i DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 3 DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 4

2 Trsormzioni di Glileo Trsormzioni di Glileo II Considerimo or lo stesso urto isto in un SdR S che si muoe lungo l sse con elocità V = rispetto S V = utilizzndo le trsormzioni di Glileo: i = i " V = " " = " F i i = i = "b i = i " V = " = i F i i = i i = b i = " V = " " = " i = = b = " V = " = i = = "b i Per qunto rigurd l quntità di moto: Q i = m + m i = "m + = "m Q i = m + m i = "mb + mb = Q = m + m = "m + = "m Q = m + m = +mb " mb = Conrontndo: Q " Q Q i = Q i = Q i = Q i i V = F F i i i i DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 5 DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 6 Trsormzioni di Glileo III Trsormzioni di Lorentz = " V " V = c " V z = z c " V c L quntità di moto clssic si conser nell urto nche nel SdR S. Dunque l quntità di moto clssic : Q = m + m si conser nell urto in entrmbi i SdR considerti. i i V = i F F i i i Considerimo or lo stesso urto isto nel SdR S che si muoe con elocità V = rispetto S utilizzndo V = le trsormzioni di Lorentz: = i " V " " " V = c " " i = " F i = + " V = " V = "b c " " i = "b i F i + i = i " V " V = " i c " = i i c = " V = b b c " = i c " i i DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 7 DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 8

3 Trsormzioni di Lorentz II = " V " V = c " V z = z c " V c Trsormzioni di Lorentz III Anlogmente per le elocità inli: " V " " = " V = c " " = " + = " V = b c " " = b + " V = " V = " c " = c = " V = "b "b c " = c " = " V i i V = F F i i i i Per qunto rigurd l quntità di moto: = " = + = "b + Q i = "m + + Q i = "mb + + " V = b = " mb " " = + = b + Q = "m + + Q = mb + "mb + " = "b = " i i V = F F i i i i DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 9 DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic Trsormzioni di Lorentz IV Trsormzioni di Lorentz V D cui: Q i = " m + + Q i = mb " + + Perciò: Q Q Q i = Q i " Q i " Q " = Q = " m + + Q = mb " + " V " i i V = F F i i i i L quntità di moto non si conser nell urto nel SdR S utilizzndo le trsormzioni di Lorentz. Dunque l quntità di moto clssic : Q = m + m si conser nell urto nel SdR S m non nel SdR S se si utilizzno le trsormzioni di Lorentz per pssre d un SdR ll ltro. i i V = F F i i i i DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic

4 Quntità di Moto Reltiistic Quntità di Moto Reltiistic II Per r sì che il principio di conserzione dell quntità di moto si lido in tutti i SdR è necessrio rideinire l quntità di moto. Cerchimo llor un nuo deinizione di quntità di moto che: Si inrinte per trsormzioni di Lorentz; L componente dell quntità di moto clssic si scrie per un singolo punto mterile: clssic Q = m = m t Il numertore non cmbi pssndo un SdR in moto reltio lungo mentre cmbi t. Si riduc ll espressione clssic nel limite << c principio di corrispondenz. Occorre che l componente dell quntità di moto si indipendente dll componente dell elocità del SdR in cui si osser l urto. Potremmo llor prendere il tempo proprio " inece del tempo t perché non cmbi: t = " = reltiistic Q = m = m" t = " m = m = " DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 3 DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 4 Quntità di Moto Reltiistic III Quntità di Moto Reltiistic IV Deinimo quindi l quntità di moto reltiistic: Q = m = mc " Poiché risult: = " c = " = c L quntità di moto reltiistic così deinit: Q = m = mc " si conser negli urti in tutti i SdR inerzili. = " = c si h: Q = m """ m "c Dunque il principio di corrispondenz è soddistto. DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 5 DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 6

5 Mss Reltiistic Mss Reltiistic II Possimo nche esprimere l quntità di moto reltiistic dett m l mss clssic come: Q = m = m c " come: Q = m doe l quntità: m = m = m " è dett mss reltiistic. Nell espressione dell mss reltiistic: = m = m m " l mss clssic m è nche l mss nel SdR in cui il corpo è in quiete. L mss m è perciò dett mss riposo o mss inrinte: È inrinte per trsormzioni di Lorentz in qunto per deinizione è l mss nel SdR in cui il corpo è in quiete. DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 7 DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 8 Mss Reltiistic III Il Secondo Principio dell Dinmic L umento reltiistico dell mss: m = m = m " È stto eriicto in ri esperimenti di delessione di elettroni; È eriicto inoltre nel unzionmento di tutti gli ccelertori di prticelle. Il Secondo Principio dell Dinmic detto nche Legge di Newton si scrie: F = d Q dt Q = m In meccnic clssic essendo m costnte si può scriere nche nell orm: F = d Q dt = d m = m d dt dt = m In meccnic reltiistic è necessrio considerre l dipendenz dell mss dll elocità: F = d Q dt = d m dt " = m d dt + dm = m + dm dt dt per cui orz e ccelerzione non hnno più l stess direzione. DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 9 DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic

6 Il Secondo Principio dell Dinmic II Il Secondo Principio dell Dinmic III Utilizzndo l mss riposo m si può scriere: Q = m = m F = d Q dt = d dt m = m d Clcolndo l derit di " si h: d dt = d dt = 3 " " + d dt dt = m " d + dt = d " " dt = " " " 3 " = d dt = d dt = = d dt + d dt = = + = = Aremo quindi: F = d Q dt = d dt m Inine: = m d " F = m 3 + m + " dt = m 3 + m L orz h un componente prllel ll ccelerzione e un componente prllel ll elocità. d dt = " 3 DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic Energi Reltiistic Energi Reltiistic II Considerimo l identità mtemtic: = = " " " " = L quntità " è un inrinte per trsormzioni di Lorentz essendo sempre ugule. Moltiplicndo l mbo i membri dell relzione " = per m c 4 pure inrinte per trsormzioni di Lorentz si ottiene: = m c 4 m c 4 " Ricordndo che Q = m = m c " oero: Q = m " si ottiene per qunto isto: = m c 4 m c 4 " m c 4 " m c 4 = m c 4 m c 4 " Q = m c 4 Considerimo or nel primo termine l quntità m. Nel limite non reltiistico << c si h: m = m c " m + = m c + m " c " + " DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 3 DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 4

7 Energi Reltiistic III Energi Reltiistic IV T " c m m + m c Potremo scriere l precedente identità inrinte: m c 4 " Q = m c 4 come: Nel II termine riconoscimo l energi cinetic clssic T c. Possimo llor deinire l energi totle reltiistic come: E = m = m c " E Q = m c 4 Essendo il II membro inrinte per trsormzioni di Lorentz nche il I membro è inrinte: E " Q = E " Q DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 5 DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 6 Energi Reltiistic V Energi Reltiistic VI I 3 termini dell equzione: L energi cinetic reltiistic si può scriere come: E Q = m c 4 T r = E E = E m = hnno tutti le dimensioni di un energi l qudrto. Il termine: = " m m = = " m E = m Come bbimo isto: è l energi che il corpo possiede qundo l su elocità è null. È detto perciò energi riposo. T r = m c """ m <<c + m """ <<c c T r " "" <<c T c = m DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 7 DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 8

8 Energi Reltiistic VII Energi Reltiistic VIII Si osseri inoltre che dlle deinizioni: " Q = m E = m diidendo l prim per l second e ricndo Q si ottiene: Q = E Un corpo in quiete possiede un energi non null: Meccnic clssic: l energi è deinit meno di un costnte dditi rbitrri. L reltiità iss il lore di tle costnte ttribuendole un signiicto ben deinito: Quntità di energi contenut nell mss del corpo. Un prte dell energi riposo o tutt può trsormrsi in energi cinetic o in un ltr orm di energi. Nuo legge di conserzione: Generlizz le due leggi clssiche di conserzione: Mss; Energi meccnic. DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 9 DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 3 Conserzione dell Energi Reltiistic Conserzione dell Energi Reltiistic II Nell Fisic Clssic l energi meccnic si conser. Nell Chimic Clssic si conser l mss legge di Loisier. Nei processi reltiistici tr nuclei o prticelle subnucleri le trsormzioni di mss in energi cinetic engono continumente: Nell Fisic Reltiistic mss ed energi meccnic possono non conserrsi: È possibile conersione di mss in energi o iceers. Tutti si conser l somm dell energi meccnic e dell mss quest ultim moltiplict per. P. es. un prticell può decdere in due prticelle più leggere somm msse < mss mdre e più eloci: Prte dell mss dell prticell mdre si è trsormt in energi cinetic. Viceers cendo scontrre protoni d ltissim energi in un ccelertore di prticelle si possono ottenere prticelle di mss molto superiore ll somm delle msse dei protoni: Prte dell energi cinetic si è trsormt in mss. DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 3 DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 3

9 Trsormzione dell Quntità di Moto e dell Energi Trsormzione dell Quntità di Moto e dell Energi II Voglimo or trore come cmbino quntità di moto ed energi nel pssggio d un SdR inerzile un ltro. Abbimo deinito l quntità di moto reltiistic come: Q = m " Q = m " Q = m z z " Inoltre dlle deinizioni di energi e tempo proprio: t = " = " = t E = " m = m t Dlle espressioni: t E = m " Q = m " Q = m " Q = m z z " considerndo che m c e " sono inrinti per trsormzioni di Lorentz si ede che le 4 grndezze: Q = E c Q Q Q z " = m ctz ctz = s si debbono trsormre per trsormzioni di Lorentz come le grndezze ct z che costituiscono un qudriettore. Dunque nche l qutern ordint 4impulso: Q = E c Q Q Q z " rppresent un qudriettore dello spzio di Minkowsk. DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 33 DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 34 Trsormzione dell Quntità di Moto e dell Energi III Trsormzione dell Quntità di Moto e dell Energi IV Dunque dlle trsormzioni delle coordinte troimo le trsormzioni di energi e quntità di moto medinte un sostituzione: " ct E c Q Q z Q z " c t = ct = ct = z = z " E c = + E c Q. / + Q = Q E. c / Q = Q Q z = Q z Aremo inoltre per l norm di Minkowski qudrt del 4ettore: Q = E Q = m Q Q Q z = E c Q = m E Q = m c 4 DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 35 DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 36

10 Trsormzione dell Quntità di Moto e dell Energi V Altri Qudriettori Aremo in conclusione per le trsormzioni dirette e inerse: + E c = " E c Q Q = " Q E c Q = Q. Q z = Q z + E c = " E c + Q Q = " Q + E c Q = Q. Q z = Q z Ricordimo che l interllo di tempo proprio " di un prticell in moto con elocità oero l interllo di tempo misurto nell SdR in cui l prticell è in quiete si scrie: " = t = t doe t è l interllo di tempo misurto nel SdR in cui l prticell si muoe con elocità. Utilizzndo l interllo di tempo proprio " si possono costruire ltri qudriettori 4ettori: Tutti i qudriettori si trsormno per Trsormzioni di Lorentz come il qudriettore ct z; Per trore le leggi di trsormzione è suiciente sostituire le componenti come bbimo tto per il 4ettore energiimpulso. E c Q Q Q z " DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 37 DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 38 QudriVelocità QudriVelocità II L 4elocità è deinit come il 4ettore: = u = d ct z d u = d ct z d d ct z = d ct z " dt dt = " c = " c z L 4elocità è un 4ettore tngente ll line di unierso nello spzio di Minkowski. Si h inoltre l relzione tr 4impulso e 4elocità: Q = E c Q " = m c m = m c = m u = c z " = t = t L norm di Minkowski qudrt dell 4elocità: = " c z u = d ct z d è dt d: u = " " " z u = = " = " Tutti i corpi si muoono nello spziotempo ll elocità dell luce: Un oggetto in quiete nello spzio si muoe comunque nel tempo; Se un oggetto si muoe più elocemente nello spzio llor si muoe più lentmente nel tempo diltzione del tempo. " = c " = DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 39 DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 4

11 QudriAccelerzione QudriAccelerzione II L 4ccelerzione è deinit come il 4ettore: = du d = " d dt " c" " " z = " d dt " c" Siluppndo si h: = = d dt c z " = t = t d dt = 3 " d d = c dt dt + d dt d dt + d dt d dt + d z z = dt = 4 c " z + z = " = 4 c 4 + Aremo quindi per l 4ccelerzione : = du d = " d dt " c" = " 4 c " 4 + " L 4ccelerzione è il 4ettore normle ll line di unierso. Derindo l espressione: u = u u = rispetto si h inoltre: du d "u = u = I 4ettori elocità e ccelerzione sono sempre ortogonli tr loro. DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 4 DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 4 QudriForz QudriForz II L 4orz è deinit come il 4ettore: " Q = m F = dq d = " d E dt c E = m Q = du d = d dt c Dt l deinizione di Energi e Quntità di Moto reltiistic si h: F = dq d = " d E dt c Q = " d dt " m c" m F = m = m " d dt " c" = m Si ricordi che per il Secondo Principio dell Dinmic si h per i 3ettori: " F = m 3 + m per cui l potenz loro per unità di tempo si scrie: F = m " 3 c + m " = m " 3 c + = " = m " 3 c + + /. = m " 3 = du d = " d dt " c" DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 43 DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 44

12 QudriForz III L 4orz si può scriere come: = du d = " d dt " c" " F = m = m 4 c " 4 + = " m 4 c m 4 Si h pertnto: F = m 4 " c m 4 F = F " F c " + m = F " F c = " 4 c " 4 + " " " F = m 3 + m c F " = m 3 " L componente temporle dell 4orz è legt l loro compiuto dll orz per unità di tempo. + m Pro. Domenico Glli Diprtimento di Fisic domenico.glli@unibo.it DOMENICO GALLI Dinmic Reltiistic 45