Sistemi principali di normali ad una varietà giacenti nel suo o 2. Nota di

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1 Sistemi principli di normli d un vrietà gicenti nel suo o 2. Not di Giuseppe Vitli Pdov. In un mio recente lvoro *) ho considerto, per ogni superficie il cui j si di 2 k dimensioni (k 2, 3), un sistem ortogonle di k direzioni del cr 2 perpendicolri ll superficie, sistem che risponde d un definizione simmetric rispetto ll'insieme delle sue direzioni, e che ho chimto sistem principle. I risultti ottenuti in detto lvoro suggeriscono nche l definizione di nloghi sistemi principli per le vriet' più' di due dimensioni. Nell prte l dell presente not io do' l descrizione di tli sistemi. L trttzione dell questione in form generle suggerisce ltri modi di introdurre dei sistemi ortogonli di perpendicolri ll vriet' gicenti nel cr s, l cui definizione h il crttere di simmetri richiesto, e che conducono d ltri sistemi, contrrimente qunto vevo ritenuto probbile durnte l compilzione dell mi not citt. Le molteplici mniere di introdurre tli sistemi ortogonli, e che sono suggerite dl contenuto dell l prte di quest not, sono esposte nell 2 prte, e fr queste ve ne e' un che conduce d un sistem di normli che per le superficie generiche dello spzio linere 4 dimensioni coincide con quello che il Tonolo ) h 2 recentemente trovto con considerzioni geometriche.!) G. Vitli. Sopr lcuni invrinti ssociti d un vriet' e sopr i sistemi principli di normli delle superficie". [Annles de l Société Polonise de Mthémtique. T. VII. Année pp ]. *) A. Tonolo. Determinzione di un prticolre sistem di normli delle superficie dell' S 4. [Memori dell R. Acc. di Torino] in corso di stmp.

2 1. Si PARTE 243 l'equzione di un vriet' d n dimensioni dello spzio hilbertino ), ed indichimo con g il cmpo di vribilità' dell t. 1 Indichimo poi con f t l derivt di / rispetto d u h e ponimo ' [1] L form [2] d' il qudrto dell'elemento linere dell ed il suo discriminnte e' diverso d zero. Ponimo ed indichimo con W il determinnte di ordine formto coi fcendo percorrere nello stesso ordine lle coppie rs e pq tutte le v combinzioni con ripetizione 2 2 dei numeri [3] e mettendo in un medesim rig tutti gli elementi coll stess coppi rs ì ed in un stess colonn quelli coll medesim coppi pq. In un ltro mio recente lvoro *) dimostro che e quindi si può' concludere che Indico con il reciproco moltiplicto per 4 di in W, dove vle zero od 1 secondo che r ed s sono differenti od uguli. *) G. Vitli. Geometri nello spzio hilbertino". [Atti del R. Istituto Veneto Tomo LXXXVIT Prte second, pp ]. *) G. Vitli. Clcolo indiretto di lcuni determinnti". [K. Istituto Veneto. Tomo LXXXVIII ] in corso di stmp 16*

3 244 Il sistem e' un sistem controvrinte 4 pici di clsse (cioè' nel clcolo ssoluto di Ricci). 2. Indichimo con le derivte seconde covrinti di f rispetto ll form [2]. Se e' un covrinte 2 indici di l clsse, noi diremo il suo pseudoreciproco il controvrinte Si vede fcilmente che si h e diremo che e' lo pseudo-reciproco del controvrinte Se sono due covrinti due indici di clsse, e se sono i loro pseudo-reciproci, noi porremo Si h subito In prticolre sr' 3. Def. Se e' il numero delle dimensioni del di un noi diremo sistem principle di normli di in ogni insieme di h prmetri normli per cui si

4 245 per ogni coppi i, j di numeri diversi scelti fr i numeri dove 4. Teor. Ogni vriet' mmette uno od infiniti sistemi principli di normli nel Dim. Considerimo l'equzione M in cui indic il determinnte formto cogli elementi come il determinnte W e' stto formto coi 1 il grdo di [4] e' = v. Ponimo Poiché' inftti e' Io dico che per ogni sistem rele delle Per noti teoremi *) noi possino ffermre che l [4] h tutte rdici reli, e che se e' un su rdice rele upl, l crtteristic dell mtrice e' ugule Le rdici di [41 diverse d zero sono in numero di k. Si un rdice divers d zero di [41, e supponimo che ess si upl. L crtteristic dell mtrice di sr' ed il sistem di equzioni lineri nelle [5] h, se infinite soluzioni che sono tutte le combinzioni lineri ') A. Cpelli, istituzioni di nlisi lgebric" [Npoli. Ed. Pellerno Qurt edizione, pg , n* 1567, pg , n. 1569].

5 246 di di esse fr loro indipendenti, e quindi i prmetri di direzioni [6] corrispondenti tutte queste soluzioni dnno tutte le direzioni di uno spzio linere r dimensioni. Sceglimo un sistem di r soluzioni delle [5] in modo che i corrispondenti prmetri [6j formino un sistem ortogonle di prmetri normli, il che, nell nostr ipotesi di t > 1, si può' fre in infiniti modi. Se t = 1 si h un solo prmetro normle [6] (individuto ll'infuori del segno, il che non h importnz), e noi prenderemo questo prmetro. Ftto questo per tutte le rdici ={= 0 di [4] si rriv (ed nche in più' mniere) in possesso di k prmetri normli dell [4] e corri ciscuno dei quli corrisponde d un rdice spondentemente d ess si h ossi [7] Ponimo ed bbimo [7'j e quindi i sistemi sono pseudo-reciproci, e noi potremo scrivere e som Moltiplicndo i due membri dell [7] per mndo rispetto pq, si h [8]

6 247 e tenendo conto delle [6] [9] Or se i prmetri sono fr loro ortogonli, ossi e, poiché' sr' [10] [8'j Se poi l [8] scmbindo fr loro i e ; divent e dlle [8] ed [8'] si deducono le [9] e [10]. Allor i prmetri [6] formno un sistem ortogonle. Rest provre che per ogni coppi Or, tenendo presente le, si h Dunque il sistem [6] e' un sistem principle di normli in ed il teor. e dimostrto. E' interessnte clcolre le Si h subito M dlle [8], tenendo conto del ftto che i prmetri [6] sono normli si h dunque [12] 5. Considerimo i prmetri [6] come un sistem crtesino ortogonle nello spzio (euclideo k dimensioni) pprtenente

7 248 l e perpendicolre ll indichimo con le coordinte di un punto rispetto questo sistem, e considerimo il cono qudrico Q di equzione Il sistem delle [6'] e' un k-edro ortogonle utopolre di questo cono. Per gli studi d me ftti per n = 2, si s che per n = 2 e k = 3 questo cono e' il cono geodetico. Per n > 2, il cono geodetico non e' in generle un cono qudrico, m h qulche relzione con il cono Q. Vle il Te or. Il cono geodetico e' contenuto nel cono Q. D i m. Un punto del cono geodetico si dto d dove [13] Ricordndo le [6'], esso e' llor dto e dovrnno essere le proporzionli lle Si lo pseudo-reciproco di Allor dove K e' un conveniente fttore di proporzionlit'. M, tenendo presente l'espressione di dove dunque Ed osservndo che d [13J si ricv

8 249 si h, tenendo conto delle [11] e delle [12], e questo prov ppunto che il cono geodetico pprtiene l cono Q. Cor. Se k n, il cono geodetico coincide col cono Q, e quindi e' un cono qudrico. Dim. Inftti se k = n, il cono geodetico h lo stesso numero di dimensioni del cono Q, dunque esso coincide con Q. PARTE Le considerzioni dell prte l, escluse quelle del n 5, si possono ripetere nche qundo l posto del sistem si mettesse un ltro sistem simmetrico rispetto gli indici di ciscun delle coppie rs e pq e rispetto queste due coppie, col corrispondente determinnte W diverso d zero, ed in prticolre se si pone con oppure se, indicndo con il reciproco di e se il sistem in cui e sono numeri noti, h il discriminnte diverso d zero, ponendo con In questo ultimo cso, se si possono ripetere nche le considerzioni del n Sino v covrinti 2 indici di clsse, ed indichimo con Z il determinnte di ordine v che h per elementi dell i-esim rig le e costnte in ogni colonn l coppi di indici rs. Evidentemente un sostituzione invertibile che port dlle vribili ti lle vribili v mut il determinnte Z in

9 250 dove P e' il determinnte formto cogli elementi dlle relzioni definiti come il determinnte W e' stto formto coi M P e' un determinnte di Scholtz-Hunydy ) formto col determinnte 1 funzionle A delle u rispetto lle v, e vle Dunque e' un invrinte, e se noi indichimo con i complementi lgebrici divisi per degli elementi dell prim rig di Z, si vede che [14] e' un invrinte. Or, se noi tenimo fissi gli ultimi vedimo che il sistem e' fisso. Questo sistem e' tle che, qulunque si il sistem l funzione [14] e' un invrinte. Si può' dunque con * eludere che il sistem e' un controvrinte due indici di l clsse. 3. Supponino or di poter ssocire ll vriet' covrinti simmetrici due indici di clsse 1 indipendenti d t. Ad essi ccompgnimo il sistem f r s e con questi v 1 covrinti fbbrichimo un sistem controvrinte come il precedente e che noi indicheremo con Ponimo poi dove il h lo stesso significto che h nell prte l di quest not. Allor tutte le considerzioni precedenti si possono ripetere sostituendo lle ossi lle le *) E. Psc l «I determinnti" [U. Hoepli ed. Milno. Second edizione pp ).

10 Nel cso di si ottengono le normli di Tonol o prendendo l posto delle uguli i minori di 2 ordine presi con segno lternto e divisi per dell mtrice e quindi, essendo con Effettivmente il Tonol o h trttto il solo cso delle superficie nell'$ 4, m sono le formule d lui trovte che mi hnno suggerito le estensioni che sono contenute i n l. 2 e 3 dell prte 2.

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