Capitolo 2: Automi a stati finiti

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1 Cpitolo 2: Automi stti finiti 1 Sistemi stti Voglimo introdurre un sistem che modelli un semplice meccnismo di interzione con un sctol ner, dott di un ingresso e di un uscit. Supponimo che tle sistem poss ricevere in ingresso messggi, dti d un lfeto finito S = {σ 1,σ 2,,σ l }, e produrre in uscit un vlore in {0,1}che può essere osservto. Un esperimento sul sistem consiste nei due pssi: 1. Viene presentt un sequenz di messggi, descritt d un prol w Σ*. 2. Al termine, viene effettut un osservzione: se il risultto è 1 l prol viene ccettt, ltrimenti respint. Poiché possimo ccedere l sistem solo ttrverso esperimenti, il comportmento del sistem è descritto dll insieme di prole ccettte; questo sistem è quindi visto come riconoscitore di linguggi. Esso può essere modellto ttriuendo l sistem un insieme di possiili stti interni Q, con le seguenti richieste: 1. Ad ogni istnte il sistem si trov in un preciso stto q Q e questo stto può essere modificto solo ttrverso un messggio σ Σ invito in ingresso. L legge che descrive l modific di stto interno cust dll rrivo di un messggio è dt dll funzione di trnsizione (o di stto prossimo) δ: ΣxQ Q. Se il sistem si trov nello stto q ed rriv il messggio σ, il sistem pss nello stto δ(q, σ). 2. Prim dell rrivo di ogni messggio, il sistem si trov in uno stto inizile q o Q. 3. L osservzione sul sistem è descritt d un funzione di uscit λ: Q {0,1}: se il sistem è nello stto q, il risultto dell osservzione è λ(q). Si osservi che l funzione λ è univocmente individut ssegnndo l insieme di stti F = {q λ(q) =1}; tli stti sono detti stti finli. Messggio in ingresso σ Σ Stto q Osservzione in uscit o {0,1} Formlmente: Definizione 1.1 Un utom stti A è un sistem A = < Q, Σ, δ, q o, F >, dove Q è un insieme di stti, Σ è un lfeto finito, δ: ΣxQ Q è l funzione di trnsizione, q o Q è lo stto inizile, F Q è l insieme degli stti finli che definisce un funzione λ: Q {0,1}, dove: λ(q) = se q F llor 1 ltrimenti 0 Se l insieme Q è finito, l utom è detto stti finiti. 19

2 L funzione δ: ΣxQ Q può essere estes univocmente d un funzione δ*: Σ*xQ Q definit induttivmente d: 1. δ*(q, ε)=q, 2. δ*(q, wσ)= δ(δ*(w,q), σ) per ogni w Σ*. In sostnz δ*(q, w) è lo stto in cui rriv il sistem, inizilizzto con q, dopo ver pplicto le zioni corrispondenti ll sequenz w di messggi. Il linguggio L(A) riconosciuto dll utom A è dto d: L(A) = {w w Σ* e δ*(q o,w) F } = {w w Σ* e λ(δ*(q o, w))=1 } Con uso di notzione, per semplicità, l funzione δ* srà in seguito denott con δ. Un utom stti finiti può essere ulteriormente rppresentto come digrmm degli stti, cioè come un grfo orientto in cui i vertici (indicti in circonferenze) rppresentno gli stti e i lti (etichettti con simoli di S ) le possiili trnsizioni tr stti. Lo stto inizile viene indicto con un frecci in ingresso mentre gli stti finli vengono indicti con un doppi circonferenz (vedere esempio 2.1). Esempio 2.1 Si consideri l utom A= < S, Q, d, q 0, F> dove: S={,} Q={q 1, q 2 } d: {,}x{ q 1, q 2 } { q 1, q 2 } dt dll tell : d q 1 q 1 q 2 q 2 q 2 q 1 Stto inizile: q1 F={q 2 } Il suo digrmm stti è il seguente: q 1 q 2 Si osservi che ogni prol w Σ* induce nel digrmm degli stti un cmmino, dllo stto inizile q o d uno stto q, così che il linguggio ccettto dll utom è dto dlle prole che inducono cmmini che portno dllo stto inizile in uno stto finle. Nel corso di questo cpitolo studimo gli utomi come riconoscitori di linguggi. In prticolre ffrontimo prolemi di sintesi (dto un linguggio, costruire un utom che lo riconosce) e di sintesi ottim (dto un linguggio, costruire il più piccolo utom che lo riconosce). Dimo poi due crtterizzzioni dell clsse dei linguggi riconosciut d utomi stti finiti, l prim medinte le grmmtiche di tipo 3 e l second medinte le cosidette espressioni regolri. 20

3 2 Osservilità e indistinguiilità di stti Dto un utom stti A = < Q, Σ, δ, qo, F >, il comportmento di A è il linguggio L(A) = {w w Σ* e δ(q o, w) F } = {w w Σ* e λ(δ(q o, w))=1 } Essenzilmente il comportmento è ottenuto di risultti degli esperimenti sull utom, poiché λ(δ(q o, w)) è il risultto di un osservzione dopo che l utom h processto l sequenz di messggi descritt dll prol w. Uno stto q Q è detto osservile se esiste un prol w Σ* per cui q = δ(qo, w); un utom A è detto osservile se tutti i suoi stti sono osservili. Esempio 2.2 Nel seguente utom lo stto q 3 è irrggiungiile o non osservile, mentre q 1 e q 2 sono osservili: q 3 q 1 q 2 Gli stti non osservili in un utom sono irrilevnti per qunto rigurd il riconoscimento e possono essere trnquillmente soppressi rendendo l utom osservile: per questo motivo in seguito supponimo di trttre solo utomi osservili. Dto un utom A = < Q, Σ, δ, qo, F >, due stti q,q Q sono detti distinguiili se si può trovre un prol w Σ* per cui λ(δ(q, w)) λ(δ(q, w)): è cioè possiile distinguere con un esperimento il comportmento dell utom inizilizzto con q d quello inizilizzto con q. Se vicevers per ogni prol w Σ* vle che λ(δ(q, w))= λ(δ(q, w)), diremo q e q che sono indistinguiili, scrivendo q q. Questo signific che non è possiile distinguere con esperimenti il comportmento dell utom inizilizzto con q d quello inizilizzto con q. Ovvimente due stti sono indistinguiili se e solo se non sono distinguiili. Proposizione 2.1 è un relzione di equivlenz, verific cioè le proprietà: 1. Riflessiv: q (q q) 2. Simmetric: q,q (q q q q) 3. Trnsitiv: q,q,q (q q e q q q q ). verific inoltre l proprietà: 4. Se q q, llor δ(q, z) δ(q, z) per ogni z Σ*. Dimostrzione: E immedito dll definizione mostrre che è un relzione di equivlenz. Verifichimo quindi solo l proprietà 4. Supponimo che q q. Per prole w,x Σ* vle che δ(δ(x, q), w)= δ(q, wx) e δ(δ(x, q,w))= δ(q, wx); ne segue che per ogni prol w Σ* vle λ(δ(δ(q,x),w))=λ(δ(q, wx))= λ(δ(q, wx))= λ(δ(δ(q,x),w)), poiché q q. Questo prov che δ(q,z)) (δ(q,z). 21

4 Esempio 2.3 Si consideri il seguente utom, rppresentto dl digrmm degli stti: q 2 q 0 q 1 q 3 q 4 In tle utom q1 e q3 sono indistinguiili, q2 e q4 sono indistinguiili mentre sono tutti gli stti q0, q1 e q 2 sono distinguiili tr loro. L presenz in un utom A di stti indistinguiili ci permette di costruire un nuovo utom A, ottenuto d A identificndo gli stti indistinguiili tr loro. A h quindi meno stti di A pur riconoscendo lo stesso linguggio. Più precismente, osservimo che l relzione prtizion l insieme degli stti Q in clssi di equivlenz; indichimo con [q] l clsse di equivlenz contenente q, cioè l insieme di stti q con q q. Possimo or costruire un nuovo utom A che h come stti le clssi di equivlenz [q], come funzione di trnsizione δ([q], σ) = [δ(q, σ)], come stto inizile l clsse di equivlenz [q o ], come funzione λ l funzione λ([q] )= λ(q). Si osservi che, cus dell Proposizione 2.1, tli definizioni sono en poste e che il nuovo utom riconosce lo stesso linguggio del precedente: L(A)=L(A ). Esempio 2.4 Riprendendo Esempio 2.3, si ottiene l utom A dove: osservili: q 0 q 1 q 2 22

5 3 Sintesi di utomi Affrontimo in quest sezione il prolem di sintesi di utomi: dto un linguggio L Σ*, costruire un utom che riconosc L. Considereremo in prticolre il più grnde utom osservile che riconosce L e il minimo utom che riconosce L. Osservimo che un utom A ssoci d ogni prol w Σ* lo stto δ(q o,w), definendo dunque un funzione f: Σ* Q dove f(w)= δ(qo, w). In un utom osservile, per ogni stto q esiste un prol w Σ* tle che q= δ(q o, w): l funzione f risult quindi essere suriettiv. Nel più grnde utom osservile per un linguggio L prole diverse corrispondono stti diversi, cioè se w w deve essere δ( q o, w) δ( q o, w ). L funzione f: Σ* Q risult llor un corrispondenz iunivoc: indicheremo con [w] lo stto corrispondente ll prol w. Dto un linguggio L Σ*, il più grnde utom osservile per L è l utom GL= < Q, Σ, δ, qo, F > dove: 1. Q={[x] x Σ*} 2. δ([x], σ) = [xσ] 3. q o = [ε] 4. F = {[y] y L} Si osservi che gli stti di G L sono essenzilmente le prole in Σ*, quindi per qulsisi L l utom G L h sempre infiniti stti. Esempio 3.1 Il grfo degli stti GL per il linguggio L={ n m m,n>0} è il seguente: [ε] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] 23

6 Tornndo l cso generle, osservimo che due stti [x], [y] in G L sono indistinguiili se, per ogni w, xw L yw L. L utom minimo M L per L è ottenuto identificndo gli stti indistinguiili in G L, con l costruzione presentt in Sezione 2. Come ci si può spettre, l utom minimo è, fr tutti gli utomi che riconoscono lo stesso linguggio, quello che h il minimo numero di stti. Proposizione 3.1 Se A = < Q, Σ, δ, q o, F > è un utom che riconosce L, il numero di stti di M L non può superre quello di A. Dimostrzione: Sino [x], [y] due stti distinguiili in G L, e quindi per un opportun prol w vle d esempio che xw L m yw L. Allor gli stti δ(q o, x) e δ(q o, y) sono stti di A distinti, poiché λ(δ(δ(qo, x), w)= λ(δ(qo, xw)) = 1, m λ(δ(δ(qo, y), w)= λ(δ(qo, yw)) = 0. Sino or [x 1 ], [x 2 ], [x 3 ], tutti gli stti di M L ; poiché [x 1 ], [x 2 ], [x 3 ], sono stti distinguiili in G L, per qunto detto sopr δ(q o, x 1 ), δ(q o, x 2 ), δ(q o, x 3 ), sono stti distinti in A. A possiede lmeno tnti stti qunto M L, d cui l tesi. L utom minimo per un linguggio L può essere dunque determinto dl seguente procedimento: 1. Consider l utom G L (descritto d un lero con infiniti nodi) 2. Prtendo dll rdice [ε], visit l lero in mpiezz e modificlo, fino qundo ci sono nuovi nodi d visitre. Visitndo il nodo [wσ], cui rriv un rco etichettto σ dl nodo [w], se [wσ] è indistinguiile d un nodo [x] già precedentemente visitto llor colleg [w] [x] con un rco etichettto σ e cncell il sottolero di rdice [wσ]. 3. Il nodo inizile del grfo degli stti di è [ε], i nodi finli sono quelli del tipo [x] con x L. Esempio 3.2 Si L={ n m m,n>0}. Per costruire M L si prt visitre in mpiezz G L dll rdice [ε]. 1. [] è distinguiile d [ε], poiché ε L m L. 2. [] è distinguiile si d [ε] che d [], poiché L m ε L e L m L. 3. [] è indistinguiile d [], come si verific fcilmente. Colleg llor [] se stesso con un rco etichettto e sopprimi il sottolero di rdice []. 4. [] è distinguiile d [ε], d [] e d [], come si verific fcilmente (per esempio, [] è distinguiile d [] perché L m L). 5. [] è indistinguiile d [], come si verific fcilmente. Colleg llor [] se stesso con un rco etichettto e sopprimi il sottolero di rdice []. 6. [] è indistinguiile d [], come si verific fcilmente. Colleg llor [] se stesso con un rco etichettto e sopprimi il sottolero di rdice []. 7. [] è indistinguiile d [], come si verific fcilmente. Colleg llor [] [] con un rco etichettto e sopprimi il sottolero di rdice []. 8. [] è indistinguiile d [], come si verific fcilmente. Colleg llor [] se stesso con un rco etichettto e sopprimi il sottolero di rdice []. 9. Non esistendo nuovi nodi d visitre, l costruzione è termint. L utom minimo per L={ n m m,n>0} è llor descritto dl seguente grfo degli stti: 24

7 [ε] [] [] [,] Esempio 3.3 Si L={ n n n>0}. Osservimo che, in G L, per k,n>0 e se k n vle che [ k ] è distinguiile d [ n ], poichè n n L m k n L. Ne segue che in M L gli stti [], [ 2 ],, [ k ], sono distinti: l utom minimo contiene dunque infiniti stti, quindi il linguggio L={ n n n>0} non può essere riconosciuto d utomi stti finiti. 4 Automi stti finiti e grmmtiche di tipo 3 In quest sezione provimo che i linguggi regolri (di tipo 3) sono esttmente quelli riconosciuti d utomi stti finiti; gli utomi stti finiti risultno dunque i riconoscitori corrispondenti quei sistemi genertivi che sono le grmmtiche di tipo 3. Proposizione 4.1 Per ogni linguggio L riconosciuto d un utom stti finiti esiste un grmmtic G di tipo 3 tle che L=L G. Dimostrzione: Si A = < Q, Σ, δ, q o, F > un utom stti finiti che riconosce L. Dto A, costruimo l seguente grmmtic G=< S,Q,P, q o > dove: 1. L insieme dei metsimoli coincide con gli stti dell utom. 2. L ssiom è lo stto inizile. 3. q k σq j è un regol di produzione di G se q j = δ(q k, σ). 4. q k ε è un regol di produzione di G se q k F. Per induzione sull lunghezz dell prol, si prov che: (1) qj = δ( q0, w) se e solo se q0 G* w qj per ogni prol w Se l(w)=0, cioè w=ε, l proprietà (1) è verifict. Supponimo che l proprietà si verifict per tutte le prole di lunghezz l più n, e considerimo un prol wσ di lunghezz n+1. Supponimo che q j =δ(q 0, w) e che q= δ(q 0, wσ), così che q= δ(q j, σ) poiché δ(q 0, wσ)= δ(δ( q 0, w), σ),poiché l(w)=n, per ipotesi di induzione esiste un unico q j tle che q 0 G * w q j ; per l regol di costruzione dell grmmtic numero 3, l unic regol in G che permette di riscrivere qj con un prol inizinte per q è qj σq. Ne segue: q = δ(q 0, wσ) se e solo se q 0 G * wσq 25

8 Se q j è stto finle, llor osservimo ulteriormente che q 0 G * w se e solo se q 0 G * wq j e q j è finle (per l regol di costruzione dell grmmtic numero 4). Concludimo che q 0 G * w se e solo se δ(q0, w) F, che equivle dire: se e solo se w L. Esempio 4.1 Si dto il seguente utom, descritto dl digrmm degli stti: q 0 q 1 q 2 Il linguggio ccettto dll utom è generile dll grmmtic con ssiom q0 e dlle seguenti regole di produzione: q0 q1, q2 q1, q1 q2, q 2 ε Aimo visto che, per ogni utom stti finiti è possiile costruire un grmmtic di tipo 3 che gener il linguggio riconosciuto dll utom. Ponimoci il prolem inverso: dt un grmmtic di tipo 3, costruire un utom che riconosce il linguggio generto dll grmmtic. Si consideri, questo rigurdo, un grmmtic G =< S,Q,P,S> di tipo 3; per l Proposizione 5.2 in Cp.1 possimo supporre, senz perdit di generlità, che l grmmtic conteng solo regole del tipo A σb, A ε. Cercndo di invertire l costruzione dt in Proposizione 4.1, possimo costruire un grfo con rchi etichettti S come segue: 1. Vertici del grfo sono i metsimoli in Q. 2. Nel grfo c è un rco d A B etichettto σ se A σb è un produzione di G. 3. Nodo inizile è S 4. A è un nodo finle se A ε è un regol di G. Esempio 4.2 Dt l grmmtic G =< S,Q,P,S> con regole di produzione q 0 q 0 q 0 q 1 q 1 q 0 q 0 e Il grfo con rchi etichettti ssocito è il seguente: q 0 q 1 26

9 Interpretndo i metsimoli come stti, osservimo che il grfo precedente non è il grfo degli stti di un utom. In un utom, inftti, dto uno stto q e un simolo σ esiste un unico stto prossimo δ(σ,q); nel grfo precedente, ci sono invece due trnsizioni etichettte con σ che portno d q0 due distinti stti q 0 e q 1. Possimo interpretre questo ftto come un specie di non determinismo: se il sistem si trov in un dto stto (d esempio q 0 ), l rrivo di un messggio non port necessrimente d uno stto prossimo univocmente individuto dllo stto presente e dl messggio, ensì port in uno tr un insieme di stti possiili (nel nostro esempio q 0 o q 1 ). Questo port ll seguente definizione: Definizione 4.1 Un utom stti finiti non deterministico A è un sistem A = < Q, Σ, R, q o, F >, dove Q è un insieme finito di stti, Σ è un lfeto finito, R: QxΣxQ {0,1} è l relzione di trnsizione, q o Q è lo stto inizile, F Q è l insieme degli stti finli. L funzione R: QxΣxQ {0,1} può essere univocmente rppresentt dll relzione R QxΣxQ, dove (q, σ, q ) R se e solo se R(q, σ, q )=1. Allo stesso modo, R: QxΣxQ {0,1} può essere rppresentt dll funzione R : QxΣ P(Q), dove P(Q) è l insieme delle prti di Q e R (q, σ) = {q R(q, σ, q )=1}. L utom stti finiti nondeterministico è rppresentile d un grfo etichettto, i cui vertici sono gli stti di q e d q q c è un rco etichettto con σ se e solo se R(q, σ, q )=1. Il grfo vrà un vertice specile corrispondente llo stto inizile e ltri vertici opportummetne mrcti corrispondenti gli stti finili. Un prol w= x 1 x m è riconosciut dll utom non deterministico A se ess induce nel grfo degli stti lmeno un cmmino s 0, s 1,, s m dllo stto inizile s 0 = q o uno stto finle s m F, cioè se: 1. s0 = qo 2. R(s 0, x 1, s 1 )= = R(s k, x k+1, s k+1 )= =R(s m-1, x m, s m )=1 3. s m F Il linguggio L(A) riconosciuto dll utom non deterministico A è l insieme delle prole riconosciute. Osservimo che un utom stti finiti A = < Q, Σ, δ, q o, F > è un prticolre utom non deterministico A = < Q, Σ, R, qo, F >, in cui R(q, σ,q )=1 se e solo se q =δ(q, σ). L relzione R è equivlente in tl cso d un funzione δ: ΣxQ Q, ed ogni prol w= x 1 x m induce un unico cmmino prtente dllo stto inizile. Ovvimente esistono utomi stti finiti non deterministici che non sono utomi stti (si ved Esempio 4.2). Ciò nonostnte, i linguggi riconosciuti d utomi non deterministici coincidono con quelli riconosciuti d utomi deterministici: Proposizione 4.2 Per ogni linguggio L riconosciuto d un utom stti finiti non deterministico finiti esiste un utom stti finiti che lo riconosce. Dimostrzione: Si A = < Q, Σ, R, q o, F > un utom stti finiti non deterministico che riconosce L. Possimo costruire il seguente utom deterministico A = < Q', Σ, δ, q o, F > che riconosce lo stesso linguggio come segue: 27

10 1. Q = 2 Q, cioè gli stti del nuovo utom A sono i sottoinsiemi degli stti di A. 2. Se X Q, llor δ(x, σ)={q R(q,σ,q )=1 e q X}, cioè δ(x, σ) è l insieme di stti ccessiili d X con un rco etichettto con σ. 3. q o = { q o } 4. F = {X X Q e X F Ø}, cioè F è formto di sottoinsiemi di Q che contengono lmeno un stto in F. Per induzione sull lunghezz dell prol, cus delle condizioni 2. e 3. di dimostr fcilmente che: δ( q o, x 1 x m,) = {q x 1 x m induce un cmmino q o, s 1,, s m d q o llo stto s m = q} Per l 4. segue infine che x1 xm è riconosciut d A se e solo se è riconosciut d A. Esempio 4.2 Dto l utom non deterministico descritto dl seguente grfo: q 0 Un utom deterministico equivlente, che riconosce cioè lo stesso linguggio, ottenuto con l costruzione mostrt in Proposizione 4.2, è il seguente: q 1 Ø Not ene: nel grfo così ottenuto non viene visulizzto lo stto {q 1 } in qunto tle stto non è osservile. Possimo questo punto concludere: {q 0 } Teorem 4.1 Le due seguenti ffermzioni sono equivlenti: (1) L è generto d un grmmtic di tipo 3 (2) L è riconosciuto d un utom stti finiti Dimostrzione: (1) implic (2). E il contenuto di Proposizione 4.1. (2) implic (1). Dt un grmmtic G di tipo 3 che gener L, si costruisce il grfo etichettto ssocito, che può essere interpretto come utom stti finiti non deterministico che riconosce L. Si costruisce infine come in Proposizione 4.2 un utom stti finiti che riconosce L. {q 0, q 1 } 28

11 In Proposizione 4.2 imo mostrto che per ogni utom non deterministico stti finiti esiste un utom deterministico equivlente. V per contro osservto che, se l utom non deterministico h M stti, il nuovo utom deterministico può vere fino 2 M stti, cos che rende inutilizzile l costruzione in molte ppliczioni. 5 Automi stti finiti e espressioni regolri In quest sezione introducimo un clsse di espressioni (le espressioni regolri) ed ssocimo in modo nturle d ogni espressione un linguggio. Mostrimo poi che l clsse di linguggi denotti d espressioni regolri è l clsse di linguggi riconosciuti d utomi stti finiti (Teorem di Kleene). Definizione 5.1 Dto un lfeto Σ, le espressioni regolri su Σ sono definite induttivmente: 1. Ø, ε, σ (per σ Σ) sono espressioni regolri 2. se p, q sono espressioni regolri, llor (p+q), (p.q), (p*) sono espressioni regolri Richimimo or che, dti linguggi L 1, L 2 e L sull lfeto Σ: 1. Unione di L 1 e L 2 è il linguggio L 1 L 2 ={x x L 1 o x L 2 } 2. Prodotto di L 1 e L 2 è il linguggio L 1. L 2 ={xy x L 1 e y L 2 } 3. Chiusur (di Kleene) di L è il linguggio L*= L 0 L 1 L k = U L k =0 Ad ogni espressione regolre p ssocimo un linguggio L (e diremo che p denot L) come segue: 1. Ø denot il linguggio vuoto, ε denot il linguggio {ε}, σ denot il linguggio {σ} 2. se p,q,m denotno rispettivmente L1, L2 e L, llor (p+q), (pq), (m*) denotno rispettivmente L 1 L 2, L 1. L 2, L*. Esempio 5.1 ***+()* è un espressione regolre che denot il linguggio L dove: L = {w w= j k l (j,k,l 0) o w=() k (k 0)}. Il linguggio {w w= 2k+1 ( k 0) } è denotto dll espressione regolre.()*, oppure d ()* o ()*()* (o d ltre ncor). Osservimo che le espressioni regolri denotno linguggi in modo composizionle: un dt espressione indic le operzioni di unione, prodotto e chiusur che, pplicte i linguggi-se Ø, {ε}, {σ}, permettono di ottenere il linguggio denotto. Questo permette l uso di tecniche induttive per mostrre proprietà dei linguggi denotti d espressioni regolri. Ad esempio, per mostrre che un proprietà P vle per tutti i linguggi denotti d espressioni regolri, st provre che: 1. I linguggi se Ø, {ε}, {σ} verificno l proprietà P 2. Se i linguggi A,B verificno l proprietà P, llor A B, AB, A* verificno l proprietà P. Esempio 5.2 Dt un prol w=x 1 x 2.. x m, l su trspost w R è l prol w R = x m x m-1.. x 1 ; dto un linguggio L, il suo trsposto L R è il linguggio {w w R L}. Voglimo provre che se L è denotto d un espressione regolre, llor nche L R lo è. A tl rigurdo, st osservre: k 29

12 1. Ø R = Ø, {ε} R = {ε}, {σ} R = {σ}, 2. (A B) R = A R B R, (AB) R = B R A R, (A*) R = (A R )* Le regole precedenti permettono, conoscendo l espressione che denot L, di costruire l espressione che denot L R. Per esempio, se (+)(c+)* denot L, llor (c+)*(+) denot L R. I linguggi denotti d espressioni regolri sono tutti e soli quelli riconosciuti d utomi stti finiti, come enuncito nel seguente: Teorem (di Kleene) 5.1 Le due seguenti ffermzioni sono equivlenti: (1) L è denotto d un espressione regolre (2) L è riconosciuto d un utom stti finiti Dimostrzione: (1) implic (2). Bst provre che: 1. Ø, {ε}, {σ} sono riconosciuti d utomi stti finiti 2. Se A, B sono riconosciuti d utomi stti finiti, llor A B, AB, A* lo sono. Per il punto 1., st osservre che: σ sono utomi che riconoscono rispettivmente Ø, {ε}, {σ}. Per il punto 2., supponimo che A,B sino riconosciuti d utomi stti finiti. Per l Proposizione 4.1, A è generto d un grmmtic G =< S,Q,P,S > di tipo 3 e B è generto d un grmmtic G =< S,Q,P,S > di tipo 3. Senz perdit di generlità, possimo supporre che le regole sino del tipo q k σq j oppure q k ε, ed inoltre che Q e Q sino insiemi disgiunti. Si verific fcilmente che:. A B è generto dll grmmtic G 1 =< S,Q 1,P 1,S 1 >, dove Q 1 contiene i metsimoli in Q, i metsimoli in Q e un nuovo metsimolo S 1, mentre P 1 contiene le regole in P, le regole in P e le nuove regole S 1 S, S 1 S.. AB è generto dll grmmtic G 2 =< S,Q 2,P 2,S >, dove Q 2 contiene i metsimoli in Q e in Q, mentre P1 contiene le regole in P, d esclusione di quelle del tipo q ε, tutte le regole in P e le nuove regole q S per ogni metsimolo q in Q per cui q ε è un regol in P. c. A* è generto dll grmmtic G 3 =< S,Q, P 3, S >, dove P 3 contiene le regole in P più le nuove regole q S per ogni metsimolo q in Q per cui q ε è un regol in P. (2) implic (1) Si L riconosciuto dll utom stti finiti A = < Q, Σ, δ, q o, F >; voglimo esiire un espressione regolre che denot L. A tl rigurdo, per ogni stto qk considerimo l utom Ak = < Q, Σ, δ, qk, F > che differisce d A solo per lo stto inizile, che è q k nziché q 0. Si X k il linguggio riconosciuto d A k, così che L=X 0. Osservimo che: 1. ε X k se e solo se q k è stto finle. 2. σw X k se e solo se δ(q k,σ)=q j e w X j. Per ogni stto finle qk, possimo quindi scrivere l equzione: 30

13 X k = {ε} ( σ Σ,δ(qk, σ)=qj σ X j ) Anlogmente, per ogni stto non finle q s possimo scrivere l equzione: X s = ( σ Σ,δ(σ,qs)=qj σ X j ) Aimo or un sistem in cui le incognite sono linguggi; il numero di incognite è inoltre pri l numero delle equzioni. V segnlto inoltre che il sistem è linere destr (l prte sinistr di ogni equzione è un vriile, mentre l prte destr è un unione di prodotti, ed in ogni prodotto l incognit compre l più un volt ed in ultim posizione). Allo scopo di risolvere tle sistem, comincimo con lo studio dell equzione (#) X=AX B dove A,B sono linguggi e supponimo che ε A. Tle equzione mmette un sol soluzione che è X=A*B - A*B è un soluzione, come si verific immeditmente: A(A*B) B=A({ε} A A 2... A k..)b B=( A A 2... A k..)b B=( A A 2... A k.. {ε})b=a*b - Tle soluzione è inoltre l sol. Supponimo inftti che ci sino due soluzioni distinte X,Y tli che X=AX B e Y=AY B. Si h l lunghezz dell più cort prol che distingue X d Y (si trov in un linguggio e non nell ltro) e si inoltre s l lunghezz dell più cort prol in A ( s>0 poiché per ipotesi ε A). L più cort prol che distingue AX B d AY B risult llor di lunghezz h+s>h: ssurdo, poiché X=AX B e Y=AY B. Il sistem può essere risolto per sostituzione: si fiss un equzione e un incognit in ess contenut, l si risolve come (#) e si sostituisce il risultto in ogni ltr equzione, pplicndo poi opportunmente l proprietà distriutiv. Si ottiene un sistem dello stesso tipo, con un equzione in meno ed un incognit in meno. Al termine ogni linguggio X k, e quindi in prticolre L= X 0, verrà ottenuto pplicndo Ø, {ε}, {σ} un numero finito di volte le operzioni di unione, prodotto e chiusur. Esempio 5.3 Dto il seguente utom che riconosce il linguggio L, trovre l espressione regolre che denot L. Detto q 0 lo stto inizile e q 1 l ltro stto, ottenimo il sistem (utilizzndo per comodità il simolo + invece di ): X0=ε+ X1+X0 X 1 = X 0 +X 1 Risolvendo l second equzione: X 1 = *X 0 Sostituendo l soluzione dt dll second equzione nell prim e rccogliendo: X0 = ε +(*X0)+ X0= ε + *X0+ X0= ε + (* + ) X0 Risolvendo: X 0 = (* +)* ε=(* +)*=L 31

14 Esempio 5.4 Il linguggio L={w w {,}* e non è fttore di w} è riconosciuto dl seguente utom non deterministico: Trovre l espressione regolre che determin lo stesso linguggio. Detto q0 lo stto inizile e q1 l ltro stto, ottenimo il sistem (utilizzndo come prim il simolo + invece di ): X 0 = X 0 +X 1 +ε X 1 = X 0 Sostituendo l soluzione dt dll second equzione nell prim e rccogliendo: X0 = (+)X0+ε Risolvendo: X 0 = (+)*ε D cui L= X 0 = (+)*, ottenendo un espressione regolre che denot L. Un delle impliczioni del teorem di Kleene è l chiusur dei linguggi regolri sotto unione, prodotto e chiusur di Kleene: se A e B sono linguggi regolri, llor A B, AB, A* lo sono. E ulteriormente possiile provre che i linguggi regolri sono chiusi rispetto lle operzioni di complemento e intersezione: Teorem 5.2 Se A, B sono linguggi regolri, llor A c e A B lo sono. Dimostrzione: Se A è regolre llor è riconosciuto d un utom stti finiti deterministico < Q, Σ, δ, qo, F >. E immedito verificre che l utom < Q, Σ, δ, qo, Q\F >, identico l precedente slvo l ver scmito gli stti non finli con gli stti finli, riconosce A c. Quindi i linguggi regolri sono chiusi rispetto l complemento. Essendo chiusi rispetto ll unione, sono llor chiusi rispetto ll intersezione, poiché per l legge di De Morgn: A B = (A c B c ) c 6 Espressioni regolri in UNIX Le espressioni regolri sono molto uste in UNIX come formlismo per specificre linguggi sull lfeto dei crtteri. Molti comndi importnti effettuno inftti elorzioni su testi e possono essere pplicti linguggi specificti ttrverso sottoclssi di espressioni regolri (oppure, in certi csi, estensioni delle espressioni regolri). Tr essi citimo wk, ed, ex, grep, pg, sed, lex e vi. Presentimo qui due esempi: - le espressioni regolri semplici e il comndo grep; - le espressioni regolri estese e il comndo lex. 32

15 6.1 Espressioni regolri semplici Aimo visto che, dto un lfeto Σ, le espressioni regolri su Σ sono opportune prole sull lfeto Σ esteso coi simoli Ø, ε, +,., *, (, ). Tli prole sono ottenute prtire di simoli Ø, ε, σ (per σ Σ) pplicndo itertivmente l seguente regol: se p, q sono espressioni regolri, llor nche (p+q), (p.q), (p)* lo sono. Sottoclssi di espressioni regolri possono essere ottenute ponendo restrizioni ll precedente regol di formzione, togliendo eventulmente le prentesi se il linguggio denotto dll espressione non cmi ( d esempio, ((+)+c) può essere riscritto come (++c)). Vedimo lcuni esempi: Dto un lfeto Σ, le clssi su Σ sono espressioni regolri del tipo (x 1 + x x n ), dove x k è un letter in Σ. Ad esempio, se Σ = {,,c,d}, llor (++c+) oppure ( + d) oppure (c) sono clssi, mentre * oppure cd oppure (+c)*d non lo sono. Il linguggio denotto d un clsse è un sottoinsieme di Σ. Le espressioni regolri semplici sono espressioni regolri del tipo (c 1.c 2..c n ), dove c k è o un clsse, o un clsse seguit d *. Ad esempio ((+d).(+c)*.(+d)) è un espressione regolre semplice, che denot il linguggio di prole che inizino col simolo oppure d, seguito d un prol sull lfeto {,c} e terminno col simolo oppure d. (*+*) è invece un espressione regolre m non è un espressione regolre semplice. Essenzilmente, le espressioni regolri semplici in UNIX sono espressioni regolri semplici sull lfeto dei crtteri ASCII, con due vvertimenti: - lcuni crtteri ASCII sono usti in UNIX per denotre operzioni, quindi non possono essere usti direttmente come crtteri; tli crtteri potrnno tuttvi essere codificti con opportune prole. - Poiché i crtteri ASCII sono 256, si sono inventti trucchi per specificre lcuni sottoinsiemi di crtteri in mnier comptt. Per qunto rigurd il primo punto, escluderemo i crtteri ^, $,., \, -, [, ], *, +,?, {, },, (, ),, /, %, <, >, che denotno operzioni in UNIX e ci limiteremo considerre i rimnenti crtteri. Indicheremo con Σ i rimnenti crtteri, che vengono ordinti con un ordine totle: Σ = { <0<1< <9< <A<B< <Z< <<< <z< } Un intervllo dell ordine totle può essere identificto di suoi estremi: con x-y denotimo quindi tutti i crtteri z tli che x z y. L insieme degli intervlli è llor il linguggio I(Σ) = Σ-Σ = {x-y x,y Σ}; si osservi che Σ I(Σ) form un codice. Le clssi di crtteri in UNIX sono le prole nel linguggio [((Σ I(Σ))*] [^(Σ I(Σ))*], e cioè le prole del tipo [x 1 x 2 x n ] o [^ x 1 x 2 x n ] con x k Σ I(Σ). Ogni clsse w di crtteri viene interprett come il sottoinsieme K(w) Σ, definito come segue: - se x, y Σ llor K([x]) = {x}, mentre K([x-y]) ={z x z y, z Σ} - K([x 1 x 2 x n ]) = K([x 1 ]) K([x 2 ]) K([x n ]) - K([^x 1 x 2 x n ]) = Σ \ K([x 1 x 2 x n ]) 33

16 Esempio 6.1 K([A]) = {A}, K([A]) = {,,A}, K([3-7]) = {3,4,5,6,7}, K([13-79]) = K([1]) K([3-7]) K([9]) = {1,3,4,5,6,7,9}, K([^3-5A-D]) = Σ \ {3,4,5,A,B,C,D}= {.., 0,1,2,6,7,..,9,, E,F,.., Z,,,,..,z, }. Le espressioni regolri semplici in UNIX sono espressioni regolri del tipo c 1 c 2. c n, dove c k è o un clssi di crtteri, o un clssi di crtteri seguit d *. Interpretndo come prim le clssi di crtteri come sottoinsiemi di Σ, il simolo * come chiusur di Kleene e l sequenz come prodotto di linguggi, ogni espressione regolre semplice è interprett come linguggio contenuto in Σ*. Esempio 6.2 [1-3][d] vle il linguggio {1,2,3} {,d}= {1,1d,2,2d,3,3d} [1-3]*[d] vle il linguggio {1,2,3}* {,d}, cioè le prole sull lfeto {1,2,3} seguite d oppure d. 6.2 String mtching in UNIX: il comndo grep Un importnte prolem che si ritrov frequentemente nell elorzione di testi è lo string mtching. Nell versione più semplice, tle prolem richiede, dte due prole p,t Σ* dette rispettivmente pttern e testo, di determinre se il pttern è un fttore del testo, cioè se t=xpy per opportuni x,y. Tle prolem può essere esteso considerndo un linguggio L come pttern e chiedendo in quli posizioni di t compiono prole di L. Il comndo grep (Glol Regulr Expression Printer) risolve in UNIX un prolem di string mtching in cui il linguggio pttern viene specificto d un espressione regolre semplice e il testo è un file di testo ASCII. Per esempio, per ricercre l prol utom in un file di testo UNIX chimto dispens.txt sterà digitre il comndo: grep utom dispens.txt In uscit verrnno visulizzte tutte le righe del file dispens.txt contenenti l prol utom. 6.3 Espressioni regolri estese Essenzilmente, le espressioni regolri semplici sono conctenzioni di clssi o clssi iterte. Prtendo dlle espressioni regolri semplici, si possono ottenere le espressioni regolri estese pplicndo itertivmente l regol: se r, s sono espressioni regolri estese, llor (rs), (r s), (r)*, (r)+, (r)? sono espressioni regolri estese. Ad esempio, ([-d1]2)* [f]? è un espressione regolre estes. Interpretndo opportunmente l conctenzione e come operzioni inrie su linguggi, *,+,? come operzioni unrie sui linguggi, ogni espressione regolre estes denot un linguggio sull lfeto Σ dei crtteri. In prticolre, se X e Y sono linguggi su Σ, llor: - XY = {xy x X,y Y} (Usule prodotto di linguggi) - X Y = X Y (Usule unione di linguggi) - X* = {ε} X X 2 X k (Usule chiusur di Kleene) - X+ = X X 2 X k (in precedenz denotto con X + ) - X? = {ε} X 34

17 Ad esempio, usndo l precedente denotzione, l espressione regolre estes, ([-d1]2)* [f]? denot il linguggio {2,2,c2,d2,12}* {ε} {f}. 6.4 Anlizztore lessicle in UNIX: il comndo lex Le frsi dell itlino scritto sono potenzilmente infinite, m costituite d prole, normlmente di poche lettere, riconosciili perché seprte tr loro. Queste prole formno il lessico, e l nlisi grmmticle le divide in gruppi logicmente omogenei : i nomi, gli rticoli, i veri e così vi. Esempio 6.3 sul-cstello-di-veron tte-il-sole--mezzogiorno è un frse, frmmento di un not poesi di Crducci, vist come prol contenente i simoli specili -,. Nell frse sono fcilmente individuili le prole del lessico: sul, cstello,., mezzogiorno. L nlisi del lessico non è in grdo, ovvimente, di ttriuire significto ll frse, pur potendo costituire un utilissim pre-elorzione per l comprensione. Un situzione nlog si riscontr in linguggi rtificili quli i linguggi di progrmmzione. Il significto di un progrmm, scritto in un dto linguggio di progrmmzione, viene ttriuito operzionlmente dl compiltore. Il compiltore è un lgoritmo che, ricevendo in ingresso il testo T di un progrmm scritto in un dto linguggio di progrmmzione (detto linguggio sorgente) lo trduce in un corrispondente progrmm Z scritto in un linguggio (detto linguggio oggetto) direttmente eseguiile dll elortore. L prim fse del processo di compilzione è l cosiddett nlisi lessicle. Ogni linguggio di progrmmzione h un suo lessico. Gli elementi del lessico sono divisi in gruppi logicmente omogenei tlvolt detti token. Essi sono d esempio gli identifictori di vriili (come PIPPO, delt,x,.), le costnti (come 100, 3.14,.), gli opertori (come +, *, -, :, =, ^,.), i commenti (seguiti e preceduti d opportuni segnltori), le prole chive del linguggio (if, do,while, ) e così vi. I linguggi corrispondenti i token sono generlmente molto semplici, denotili con espressioni regolri; di conseguenz l individuzione di prefissti token in un testo T richiede: 1. l costruzione degli utomi stti finiti che riconoscono i linguggi corrispondenti i token; tli utomi esistono grzie l teorem di Kleene; 2. l scnsione del testo T d prte degli utomi precedentemente costruiti. Ogniqulvolt un sottostring del testo T viene riconosciut pprtenente un token, l nlizztore lessicle ttiv delle zioni, che comportno l sostituzione dell sottostring con un nuov string. All fine ottenimo un nuov rppresentzione intern V del testo T, utile per l compilzione. Il comndo lex di Unix fcilit l costruzione di nlizztori lessicli implementndo utomticmente i punti 1. e 2. sopr riportti. Il progrmmtore deve solo definire i token che vuole riconoscere (scrivendo l espressione regolre estes che denot il token) e le zioni d compiere ogni qul volt un certo token viene riconosciuto (implementndo tli zioni con semplici istruzioni nel linguggio C). Dimo un esempio, semplificndo scopo didttico. Il seguente file "tokens" specific le espressioni regolri estese che denotno i token; di finco d ogni espressione viene indict l'zione d intrprendere, scritt in C: 35

18 %% [ \t\n] ; \{ printf("begin\n"); \} printf("end\n"); [()] printf("%s\n",yytext); "//"[^\n]*[\n] printf("rem: //\n"); if else printf("key: %s\n",yytext); [A-Z-z][A-Z-z0-9]* printf("vr: %s\n",yytext); == \> \< \<= \>=!= printf("opc: %s\n",yytext); [0-9]+(\.[0-9]+)? printf("num: %s\n",yytext); [A-Z-z]+\([A-Z-z"]*\);? printf("fun: %s\n",yytext); %% L vriile "yytext" contiene l sottostring di testo ppen riconosciut. Ad esempio, considerimo il testo T =. ORDINA(pippo). Non ppen l nlizztore lessicle legge l string ORDINA(pippo) l utom corrispondente ll espressione [A-Z-z]+\([A-Zz"]*\);? riconosce tle string che viene post in yytext. Viene infine eseguit l zione printf("fun: %s\n",yytext); con l effetto di sostituire ORDINA(pippo) con fun: ORDINA(pippo). Il comndo: lex tokens gener il progrmm C "lex.yy.c", che corrisponde ll'nlizztore lessicle d noi desiderto. Digitndo or il comndo: cc lex.yy.c -ll -o lexicl compilimo il progrmm C "lex.yy.c", ottenendo il file eseguiile "lexicl". Per vedere l effetto dell ppliczione di lexicl un testo, considerimo come testo il seguente file "prog.c" contenente un semplice progrmm C: //frmmento di un progrmm C min() { if (udget>= ) stmp("ok"); else stmp("ko"); } Mndimo in esecuzione lexicl sul testo prog.c medinte il comndo: lexicl<prog.c A questo punto l uscit video srà: rem: // fun: min() BEGIN key: if ( vr: udget opc: >= num: ) fun: stmp("ok"); key: else fun: stmp("ko"); END 36