Economia Applicata. Lezione 14 Giochi- Bertrand- Cournot- Stackelberg

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1 Economia Applicata Lezione 4 Giochi- Bertrand- Cournot- Stackelberg Prof. Giorgia Giovannetti giorgia.giovannetti@unifi.it Giorgia Giovannetti

2 w martedi 8 Intro giovedi Intro, elasticitá w martedi 7 Il concetto di mercato, esempi giovedi 9 richiami micro, curve dei costi w3 martedi 4 Domanda, equilibrio di mercato, statica comparata, curve dei costi giovedi 6 Curve dei costi, forme mercato: concorrenza, monopolio w4 martedi ESERCIZI concorrenza, monopolio, curve dei costi, ricavi giovedi 3 forme di mercato: concorrenza imperfetta e economia del benessere w5 martedi 8 esercizi su forme di mercato giovedi 30 forme di mercato concorrenza imperfetta e oligopolio w6 martedi 4 Oligopolio, curva di domanda ad angolo, benessere giovedi 6 Benessere Introduzione teoria dei giochi, w7 martedi Primo compito giovedi 3 Vacanza pasqua w8 martedi 8 Vacanza pasqua giovedi 0 Soluzioni compito w9 martedi 5 vacanza giovedi 7 giochi Bertrand, Cournot, Stackelberg w0 martedi giochi ripetuti, nozioni giovedi 4 Investimenti w martedi 9 Investimenti pubblici e privati giovedi investimenti e incertezza w martedi 6 investimenti analisi costi benefici giovedi 8 esercizi su investimenti w3 martedi 3 Q&A giovedi 5 Lezione su crisi w4 martedi 30 esempi acqua e terra giovedi secondo compito w5 martedi 6 giovedi 8

3 Outline di oggi Teoria dei giochi: introduzione Riassunto modello di Bertrand Ancora Bertrand: beni differenziati Modello di Cournot Cosa succede se uno dei due «giocatori» è un leader (ha informazione diversa e maggiore): Stackelberg esercizi

4 Teoria dei giochi Studio dei modelli matematici di cooperazione e conflitto tra individui intelligenti e razionali. Razionalità: ciascun individuo massimizza la sua utilità attesa rispetto a qualche credenza Intelligenza: ciascun individuo comprende la situazione in cui è coinvolto, compreso il fatto che gli altri individui sono intelligenti e razionali.

5 Cos è un gioco? Un gioco è descritto da quattro elementi:. I giocatori. Le regole: ordine delle mosse, azioni possibili, informazione 3. Esiti (per ogni possibile profilo di scelte) 4. Vincite o utilità attesa. (Pay offs) LE REGOLE DEFINISCONO L INSIEME DI AZIONI POSSIBILI IN OGNI CIRCOSTANZA PER OGNI GIOCATORE (STRATEGIE) IL RISULTATO (PAYOFF) DIPENDE DALLE STRATEGIE DI TUTTI I GIOCATORI

6 Azioni vs Strategie Azioni L insieme delle mosse a disposizione dei giocatori Strategia Piano completo di azione. La strategia specifica un azione per ognuna delle situazioni in cui il giocatore può essere chiamato a decidere (indipendentemente dal fatto che poi venga effettivamente a trovarsi in quella situazione NB: In alcuni casi possono coincidere!

7 Il termine gioco è utilizzato per definire un generico contesto strategico Gioco cooperativo I giocatori possono comunicare e stabilire accordi vincolanti prima di iniziare a giocare Gioco non cooperativo I giocatori non possono comunicare e stabilire accordi vincolanti prima di iniziare a giocare Le imprese prima di competere sul mercato stabiliscono accordi vincolanti I giocatori scelgono le proprie strategie indipendentemente (non agiscono in modo concertato) 7

8 CLASSIFICAZIONI GIOCHI STATICI I giocatori scelgono contemporaneamente GIOCHI DINAMICI I giocatori effettuano la loro scelta secondo una sequenza prestabilita di mosse DESCRIZIONE DI UN GIOCO NON COOPERATIVO FORMA NORMALE o STRATEGICA FORMA ESTESA 8

9 DESCRIZIONE IN FORMA NORMALE G(N, S, u) La descrizione in forma normale è caratterizzata da 3 elementi:. Un insieme di giocatori N = {,,..,n}. Un insieme di strategie pure (spazio delle strategie pure) S i a disposizione di ciascun giocatore i N s i S i indica una generica strategia pura S = S S S n strategie pure indica l insieme di tutte le possibili combinazioni di s = (s, s,, s n ) S indica una generica combinazione di strategie pure 3. Una funzione di payoff u i : S R per ciascun giocatore i N u i (s) è il payoff del giocatore i se i giocatori scelgono la combinazione di strategie s = (s, s,, s n ) 9

10 Giocatore Quando è facile trovare la soluzione: il caso di una strategia dominante Giocatore L R T B La combinazione R, B è la soluzione del gioco

11 Quando è facile trovare la soluzione: una strategia dominata: M è una strategia dominata

12 Quando è facile trovare la soluzione: tolta la strategia dominata, compaiono altre strategie dominate e dominanti?: C per il giocatore è dominata

13 Quando è facile trovare la soluzione: tolta anche la seconda strategia dominata, compaiono strategie dominanti (B,R)

14 Ancora sulle STRATEGIE DOMINATE GIOCATORE L C R T ; ; 0 ; M 0; 0 0; 0; 0 B ; ; 0 ; 4

15 Trovare la soluzione con il succedersi di congetture. E ragionevole attendersi L,T?

16 trovare la soluzione...

17 trovare la soluzione...

18 L'equilibrio di Nash

19 La soluzione del gioco considerando una strategia dominante: R domina debolmente le altre

20 R domina debolmente le altre perché, se sceglie M, è indifferente la scelta per il giocatore

21 Giocatore Un altro caso T M B Giocatore L C R

22 Giocatore T M B Giocatore L C R Le scelte C - T sono un equilibrio di Nash

23 Giocatore ma in questo gioco esiste un altro equilibrio di Nash T M B Giocatore L C R

24 Equilibri multipli

25 Giocatore Equilibri multipli T B Giocatore L R

26 Giochi in forma estesa - Albero del gioco - entrare o non entrare (e, non e : e ) - ritorsione, non ( r ritorsione (r, non r : e e r r = 0 = 50 = -0 = -0 = 0 = 0

27 Induzione a ritroso La soluzione del gioco e e r r = 0 = 50 = -0 = -0 = 0 = 0

28 Perché l'impresa entra non considerando il pericolo di ritorsione (minaccia non credibile) e e r r = 0 = 50 = -0 = -0 = 0 = 0

29 La ritorsione non è una minaccia credibile e e r r = 0 = 50 = -0 = -0 = 0 = 0

30 Far diventare credibile la minaccia e e b = 0 = 50 b e e = 0 = 50 r r r r = -0 = -0 = 0 = -0 = -0 = -0 = 0 = 0

31 b impegnarsi alla ritorsione, non b: b non impegnarsi b b e e = 0 = 50 e e = 0 = 50 r r r r = -0 = -0 = 0 = -0 = -0 = -0 = 0 = 0 Se l'impresa si impegna e non mantiene, paga una

32 Albero del gioco soluzione con induzione a ritroso b b e e = 0 = 50 e e = 0 = 50 r r r r = -0 = -0 = 0 = -0 = -0 = -0 = 0 = 0

33 L'impresa si è impegnata in modo vincolante e noto alla impresa b b e e = 0 = 50 e e = 0 = 50 r r r r = -0 = -0 = 0 = -0 = -0 = -0 = 0 = 0 La minaccia di ritorsione è diventata credibile e non entra

34 L'impegno vincolante alla ritorsione può essere presentato anche così: r r e = -0 = -0 e = 0 = 50 e = 0 = 0 e = 0 = 50 La minaccia di ritorsione credibile costringe a non entrare

35 Verificare di saper spiegare che cosa si intende per... Gioco in forma normale Gioco in forma estesa Strategia dominante Strategia dominata Soluzione di un gioco in forma normale Soluzione di un gioco in forma estesa Equilibrio di Nash Minaccia credibile e minaccia non credibile

36 Verificare di saper spiegare perché: Un impegno vincolante può avere valore ( 8 pag. strategico (Cabral La soluzione di un gioco ripetuto può essere diversa da quella del gioco che si gioca una sola volta. ( seguenti (Cabral pag. 83 e

37 La teoria dei giochi e la nozione di razionalità

38 Esempio: Il dilemma del prigioniero Due giocatori: prigionieri e Ogni prigioniero viene interrogato separatamente gioco a mosse simultanee : ognuno risponde senza sapere cosa risponderà l altro Ogni prigionierio ha a disposizione possibili strategie : Prigioniero : Tradire, Non Tradire Prigioniero : Tradire, Non Tradire Payoff n di anni di prigione (payoff espresso in termini negativi: minore è il n di anni maggiore il payoff)

39 Rappresentazione del gioco in forma normale Giocatore Giocatore Non Tradire Tradire Non Tradire -, - -0, 0 Tradire 0, -0-5, -5

40 Consideriamo il giocatore... Giocatore Giocatore Non Tradire Tradire Non Tradire - -0 Tradire 0-5 Qualsiasi decisione prenda il giocatore Tradire strategiala, TradireNon arispettoelevatopiùpayoffunfornisce Tradire èunastrategia dominante per il giocatore

41 Consideriamo il giocatore... Giocatore Giocatore Non Tradire Tradire Non Tradire - 0 Tradire -0-5 Tradire è strategia dominante anche per il giocatore

42 Giocatore Giocatore Non Tradire Tradire Non Tradire -, - -0, 0 Tradire 0, -0-5, -5 Quindi, l equilibrio del gioco sarà [Tradire, Tradire] Si noti che entrambi i giocatori potrebbero ottenere un payoff più alto nella combinazione [Non Tradire, Non Tradire] combinazione Pareto-efficiente

43 SEMPLICE GIOCO (IN FORMA NORMALE) GIOCATORE L R T 5; 5 3; 6 B 6; 3 4; 4 43

44 EQUILIBRIO DI NASH E SOLUZIONE EFFICIENTE GIOCATORE L R T 5; 5 3; 6 B 6; 3 4; 4 44

45 I CONCETTI: riepilogo STRATEGIA DOMINANTE: STRETTAMENTE MIGLIORE DI OGNI ALTRA SCELTA, INDIPENDENTEMENTE DALLE STRATEGIE DEGLI ALTRI GIOCATORI EQUILIBRIO DI NASH: N-PLA DI STRATEGIE DA CUI NESSUN GIOCATORE HA CONVENIENZA A DISCOSTARSI UNILATERALMENTE SPESSO NON ESISTONO STRATEGIE DOMINANTI, MA ESISTE (QUASI) SEMPRE ALMENO UN EQUILIBRIO DI NASH 45

46 EQUILIBRIO DI NASH x i : strategia del giocatore i x -i : vettore delle strategie degli altri giocatori i (x i, x -i ): payoff del giocatore i STRATEGIA DI RISPOSTA OTTIMA x i: i (x i, x -i ) i (x i, x -i ) x i x i EQUILIBRIO DI NASH x N = (x N i, x N -i): i (x N ) i (x i, x N -i) i e x i x N 46

47 IPOTESI RAZIONALITA DEI GIOCATORI CONVINZIONE SULLA RAZIONALITA DELLA CONTROPARTE SIMMETRIA DELLE CONVINZIONI SCELTE SIMULTANEE 47

48 Riassunto: Duopolio di Bertrand Competizione sui prezzi Bene omogeneo: Dato che il prodotto è omogeneo chi abbassa il prezzo toglie tutti i clienti all altra impresa e serve l intero mercato (purché abbia capacità produttiva disponibile). La rincorsa dei tagli si fermerà quando i profitti si annullano, ossia quando p = Cu = Cm = c Un risultato uguale a quello della concorrenza perfetta. NB: Un risultato simile si ha con beni differenziati 48

49 Riassunto: Duopolio di Bertrand 49

50 Riassunto: Duopolio di Bertrand 50

51 Riassumendo: IL MODELLO DI BERTRAND LA DOMANDA DI UN IMPRESA NEL MODELLO DI BERTRAND: E PARI A 0 SE L IMPRESA FISSA UN PREZZO SUPERIORE A QUELLO PRATICATO DALL ALTRA IMPRESA. COINCIDE CON LA DOMANDA DI MERCATO SE FISSA UN PREZZO INFERIORE. E PARI ALLA META DELLA DOMANDA SE FISSA UN PREZZO UGUALE

52 Summary: Duopolio di Bertrand 5

53 Dollari per biglietto Summary: La domanda dell impresa in Bertrand D (p) d B (p) Biglietti venduti al giorno

54 Dollari per biglietto D (p) d B (p) Biglietti venduti al giorno

55 Dollari per biglietto Summary: In g le due imprese si dividono il mercato ma l equilibrio è instabile perché non è un equilibrio autosanzionante D (p) p g g G c X g / X g Biglietti venduti al giorno

56 Dollari per biglietto Summary: Le imprese hanno l incentivo ad abbassare il prezzo per impadronirsi dell intero mercato passando da g ad h D (p) p g p h g h c H X g X h Biglietti venduti al giorno

57 Dollari per biglietto Summary: L equilibrio si realizza nel punto e in cui il prezzo è eguale al costo marginale D (p) p g p h g h c H e X g X h X e Biglietti venduti al giorno

58 Summary: equilibrio L EQUILIBRIO NEL MODELLO DI BERTRAND SI VERIFICA QUANDO LE DUE IMPRESE AVRANNO FISSATO UN PREZZO UGUALE AL COSTO MARGINALE

59 Summary: Duopolio di Bertrand: i prezzi come variabile strategica Consideriamo due imprese ugual in equilibrio con costi totali Ct = c q e Ct = c q. Che succede se una delle due imprese decide di abbassare (appena) il prezzo mentre l altra lo lascia fermo? Dato che il prodotto è omogeneo chi abbassa il prezzo toglie tutti i clienti all altra impresa e serve l intero mercato (purché abbia capacità produttiva disponibile). Questa strategia si chiama taglio del prezzo (undercutting). Anche l altra impresa dovrà fare la stessa cosa (e rilanciare ). La rincorsa dei tagli si fermerà quando i profitti si annullano, ossia quando p = Cu = Cm = c Un risultato uguale a quello della concorrenza perfetta. Questo equilibrio (di Nash), cui si arriva quando le imprese si fanno concorrenza nei prezzi, è detto equilibrio di Bertrand.

60 Summary: Strategie di prezzo L undercutting è efficace solo se l impresa è in grado di produrre di più (capacità produttiva disponibile). Perciò può essere conveniente, per entrambe le imprese, accordarsi per non averla. Assumiamo imprese diverse: Ct = c q e Ct = c q (con c < c In questo caso, se ha capacità ). produttiva disponibile, la prima impresa può escludere l altra impresa dal mercato: basta far scendere il prezzo appena sotto c. La prima impresa serve tutto il mercato e ottiene il profitto = (c - c )q* Non può, però, comportarsi come un monopolio, perché l altra impresa rientrerebbe (manca una barriera all entrata). Il prezzo, inferiore a quello praticato dal monopolista, che scoraggia l altra impresa dal rientrare si chiama prezzo limite.

61 Riassumendo: Bertrand con bene omogeneo Bertrand con beni differenziati Le quote di mercato ora non dipendono solo dal prezzo, ma da differenze nel design, nelle caratteristiche e durata del prodotto di ogni impresa Ipotesi: duopolio con CF = 0 e CV = 0 Domanda impresa : Q = - P + P Domanda impresa : Q = - P + P P ora può differire da P 6

62 Bertrand con beni differenziati Scelta ottima di prezzo Impresa : P ( P PQ - P P P ) PP Prezzo che rende max il Curva di reazione - 4P P 3 4P ; P 3 (3 4 Curva di reazione dell' impresa : P P 3 4 P profitto dell' impresa : P dell' impresa : 0 4 P ); P 4 6

63 Bertrand con beni differenziati P Curva di reazione impresa 4 Curva di reazione impresa Equilibrio di Nash 4 P 63

64 Equilibrio di Nash 64

65 MODELLI DI INTERAZIONE STRATEGICA NELL ECONOMIA INDUSTRIALE COURNOT (838) VARIAZIONI CONGETTURALI APPROCCIO STRATEGICO 65

66 Oligopolio Definizione di equilibrio Le imprese fanno il meglio che possono e non hanno incentivo a cambiare prezzo o quantità Tutte le imprese tengono conto delle decisioni dei rivali e presumono che i rivali facciano lo stesso Equilibrio di Nash: ogni impresa massimizza il proprio obiettivo assumendo per date le azioni delle imprese rivali 66

67 Oligopolio Il modello di Cournot (80-877) Duopolio Due imprese in competizione tra loro Bene omogeneo L output dell impresa rivale è considerato fisso Curva di reazione: la quantità che massimizza il profitto dell impresa è una funzione decrescente della quantità attesa prodotta dalla rivale 67

68 Decisione di quantità dell impresa P Se l impresa pensa che la rivale non produca nulla la sua curva di domanda D (0) è la domanda di mercato. D (0) Se l impresa pensa che l impresa produca 50 unità, la sua curva di domanda si sposterà a sinistra per una ammontare pari a 50 unità. D (75) R (0) Se l impresa pensa che l impresa produca 75 unità, D si sposterà a sinistra di 75 unità. R (75) C C costante.5 5 R (50) 50 D (50) Qual è l ouput dell impresa se la rivale produce 00 unità? Q 68

69 Curve di Reazione e Equilibrio di Cournot Q La curva di reazione dell impresa mostra la quantità che essa produce a fronte della quantità che si ritiene verrà prodotta dalla rivale. Le x corrispondono all esempio precedente. La curva di reazione dell impresa mostra la quantità che essa produce a fronte della quantità attesa prodotta dall impresa. Curva di reazione Impresa Q* (Q ) 50 x Equilibrio di Cournot Nell equilibrio di Cournot ogni impresa valuta correttamente la produzione del rivale e così massimizza i propri profitti. 5 Curva di reazione Impresa Q* (Q ) x x x Q 69

70 Duopolio:un esempio Esempio: duopolio con curva di domanda lineare Domanda di mercato: P = 30 - Q dove Q = Q + Q C = C = 0 Ricavo totale, R - PQ (30 Q) Q Impresa 30Q 30Q - - ( Q Q Q ) Q - Q Q 70

71 Duopolio: un esempio R' Se R R' Q Q 5 - Q Equilibrio dicournot 0 C' 30 - Q Curva di reazione dell' impresa, da 30 - Q - Q Q 5 - Q In modo analogo, curva di reazione dell' impresa Q 5 - (5 - Q ); Q Q Q 0 P 30 - Q 0 Q 0 Derivata di R rispetto a Q, oppure R 30Q 30( Q R' - Q 30 - Q - Q - Q Q Q ) - ( Q - Q - Q Q ) ( Q - ( Q Q ) Q Q Q ) - Q - (30Q - Q - QQ ) Addendo irrilevante in caso di variazione tendente a 0; rilevante nel caso di variazioni finite; provare a calcolare R con due prezzi diversi e R ; l addendo è determinante per l esattezza del risultato 7

72 Duopolio: un esempio Q 30 Curva di reazione Impresa La curva di domanda è P = 30 - Q e i costi marginali sono pari a zero 5 Equilibrio di Cournot 0 Curva di reazione Impresa Q 7

73 Duopolio: un esempio Massimizzazione del profitto nel caso di collusione R PQ (30 - Q) Q 30Q - Q R' R Q 30 - Q R' 0 seq 5, con R' C' 0 Derivata di R rispetto a Q, oppure R 30Q - Q 30( Q Q) - ( Q Q) - (30Q - Q ) R' Q 30Q 30 Q - Q - Q Q - Q Q Q 30 - Q - Q 30 - ( Q ) - 30Q Q Curva di collusione: Q + Q = 5, da cui Q = Q = 7,5 Mostra le combinazioni Q e Q che massimizzano i profitti totali Quantità inferiore e profitti superiori rispetto all equilibrio di Cournot 73

74 Duopolio: Cournot e collusione Q 30 Curva di reazione Impresa Per l impresa, la collusione è la situazione migliore seguita dall equilibrio di Cournot e da quello di concorrenza perfetta 5 0 Equilibrio concorrenziale (P = C ; Profitto = 0) Equilibrio di Cournot Equilibrio collusivo 7.5 Curva di collusione Curva di reazione Impresa Q 74

75 Confronto: equilibrio di concorrenza, di Cournot e collusivo Q 30 Curva di reazione Impresa Per l impresa, la collusione è la situazione migliore seguita dall equilibrio di Cournot e da quello di concorrenza perfetta 5 0 Equilibrio concorrenziale (P = C ; Profitto = 0) Equilibrio di Cournot Equilibrio collusivo 7.5 Curva di collusione Curva di reazione Impresa Q 75

76 Difficoltà della collusione L accordo garantisce un maggior profitto (ciò non sorprende, visto che equivale alla decisione di un monopolista). Se è possibile un accordo vincolante (una fusione o un intesa) esso verrà preferito all equilibrio di Cournot. Se però un accordo vincolante (un gioco cooperativo) non è possibile (per esempio, perché proibito dalla legge), non è detto che la collusione (la terza strada) venga realizzata. La collusione è un accordo non vincolante (un gioco non cooperativo); non ci sono sanzioni per chi non la rispetta. Può convenire non rispettarla? Il punto è che la collusione non è un equilibrio di Nash. Se una delle due imprese si impegna alla scelta collusiva, all altra conviene tradire il patto, scegliendo la risposta ottima a quella scelta, che non è la scelta collusiva.

77 y y m y n y a 0 y a y n y m Defezione R D A d y N D Vediamo perché la collusione non è un equilibrio di Nash. Sappiamo che l equilibrio di Cournot-Nash è il punto di incontro delle due curve di reazione (il punto N). Nel grafico l accordo è il punto A (ricordare che y a = y m /). Se però un impresa si impegna a produrre y a, all altra conviene produrre y d (che è la quantità corrispondente sulla curva di reazione). Questa scelta viene chiamata defezione : d y R y è la risposta ottima quando l altra impresa rispetta l accordo. Chi defeziona ottiene un profitto maggiore, d = a (9/8); chi rispetta l accordo quando l altra impresa defeziona ottiene un profitto minore, l = a (3/4).

78 L'INTERAZIONE CONTINUATIVA NEI MODELLI DI COURNOT E DI BERTRAND NON SI CONSIDERA LA POSSIBILITA' CHE LE IMPRESE TENGANO CONTO NEL PRENDERE LE DECISIONI DELLE REAZIONI DELLE ALTRE IMPRESE ALLE PROPRIE DECISIONI QUESTA IPOTESI E' DEBOLE SOPRATUTTO NEI CASI D'INTERAZIONE CONTINUATIVA

79 CALCOLO DEI COSTI E DEI BENEFICI DELLA COOPERAZIONE E DELLA VIOLAZIONE NEL CASO D'INTERAZIONE CONTINUATIVA BENEFICI DELLA VIOLAZIONE: T( c - s ) COSTI DELLA VIOLAZIONE: ( s - d ) dal T+ GIORNO IN POI DOVE c = PROFITTI DELLA VIOLAZIONE UNILATERALE s = PROFITTI DELLA COOPERAZIONE d = PROFITTI DELLA VIOLAZIONE RECIPROCA con c > s > d

80 FATTORI CHE RENDONO PIU' O MENO PROBABILE LA COLLUSIONE TEMPO CHE PASSA PRIMA CHE LA VIOLAZIONE VENGA SCOPERTA PROBABILITA' DI ESSERE SCOPERTI PESANTEZZA E CREDIBILITA' DELLA SANZIONE FACILITA' DI CONCLUDERE UN ACCORDO

81 Vantaggio della prima mossa: il modello di Stackelberg ( ) Stesse ipotesi dell esempio precedente su domanda e costo marginale L impresa decide la quantità da produrre prima e l impresa decide successivamente alla decisione dell impresa Di conseguenza, l impresa deve considerare la reazione dell impresa, mentre quest ultima prende la quantità dell impresa come fissa e reagisce secondo la propria funzione di reazione: Q = 5 - /Q 8

82 Il problema è diverso per le due imprese Il Follower: Max profitto Costruzione funzione di reazione Il follower determina il livello di prodotto data la scelta del leader Il Leader: anticipa la funzione di reazione del follower Il leader si rende conto che le sue azioni influenzano la scelta del follower Vantaggio della prima mossa Quindi f (y ) il leader considera la reazione del follower nel determinare il suo livello di prodotto

83 L equilibrio di Stackelberg Il modello, anche se di tipo "sequenziale", resta basato su un analisi di statica comparata in quanto le congetture vengono considerate date e quindi esogene Ricavo la funzione di reazione del leader Ricavo per sostituzione l output del follower Ricavo output totale dell industria (somma dei due output)

84 Il modello di Stackelberg L impresa sceglie Q ottimo: R' C ', C' 0 quindi R' R PQ 30 Q - Q - Q Q 0 Sostituendo a Q la curva di reazione dell impresa : R R' R' 30Q 5Q R 0; Q - Q - Q - Q 5 Q e (5-5 - Q Q Q 7.5 ) 84

85 Conclusioni Il modello di Stackelberg L output dell impresa è il doppio di quello dell impresa Anche i profitti sono doppi Domande: Perché è vantaggioso muovere per primi? Quale modello (Cournot or Stackelberg) è più appropriato a descrivere la realtà? 85