Approssimazioni. π= Approssimazione per troncamento alla quarta cifra decimale del numero π π

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1 Approssimazioni π= Approssimazione per troncamento alla quarta cifra decimale del numero π π Approssimazione per arrotondamento alla quarta cifra decimale del numero π π

2 Approssimazioni Il troncamento di un numero reale alla k-sima cifra decimale consiste nel dimenticarsi le cifre decimali successive alla k- sima. Si introduce in questo modo un errore che può variare da 0 fino a 10 -k L arrotondamento di un numero reale alla k-sima cifra decimale consiste nel procedere come per il troncamento se la k+1-sima cifra è 0, 1, 2,3,4 (approssimazione per difetto). Se invece la k+1-sima cifra è 5,6,7,8,9, si aumenta di uno la k- sima cifra (approssimazione per eccesso), eliminando poi tutte le cifre successive alla k-sima. Si introduce in questo modo un errore che può variare da 0 fino ad un massimo di (k+1)

3 Petromyzon marinus

4 ERRORI DI MISURA Misure ripetute (materiale secco su vetrino) della lunghezza del diametro maggiore di un globulo rosso (ellittico) di una Lampreda di mare, hanno dato i seguenti risultati: 11.5 µm, 11.3 µm, 12.1 µm, 11.7 µm Che cosa possiamo dire della lunghezza effettiva del diametro maggiore di quel globulo rosso?

5 ERRORI DI MISURA 11.5 µm, 11.3 µm, 12.1 µm, 11.7 µm Possiamo osservare che i dati variano da 11.3µm, (valore minimo ottenuto) a 12.1µm, (valore massimo ottenuto) Possiamo cercare il valore centrale di questo intervallo che varia da 11.3 a 12.1 Otteniamo 11.7 Possiamo valutare le differenze da questo valore ed i valori misurati, otteniamo =0.4, = = = 0.4

6 ERRORI DI MISURA Dunque le differenze, in valore assoluto, dal valore centrale 11.7 dell intervallo [11.3, 12.1] hanno valore massimo 0.4 (errore assoluto). Possiamo riassumere dicendo che, in base alle nostre misure, il valore vero della lunghezza del diametro maggiore di questo globulo rosso è 11.7 ± 0.4 µm In notazione scientifica (1.17±0.04) 10-5 m L errore assoluto in notazione scientifica è m

7 ERRORI DI MISURA In notazione scientifica (1.17±0.04) 10-5 m L errore assoluto in notazione scientifica è m La lunghezza D effettiva del diametro maggiore di questo globulo rosso ha come cifre significative 1.1, mentre la cifra 7 è puramente indicativa e ci dice che D sarà più vicina a 11.9µm, che non a 11.1µm 11.7µm si dice valore stimato di D 0.4 µm si dice errore assoluto

8 ERRORI DI MISURA Tornando a π= Se approssimiamo π Possiamo scrivere π= 3.14±0.002 Intendendo con questo che il valore effettivo di π si trova compreso tra e π 3.142

9 Dopo avere ripetutamente misurato il diametro maggiore D di questo globulo rosso, ne misuriamo anche il diametro minore d, ottendo con procedimento analogo, i seguenti risultati 11.5 µm il valore stimato di d 0.3 µm l errore assoluto Dunque abbiamo D =11.7±0.4 µm, d =11.5±0.3 µm Vogliamo valutare la misura dell area A di questo globulo rosso, utilizzando la formula A=π(D/2)(d/2) Poiché i due diametri sono stati misurati con un certo errore, come facciamo a valutare l errore con cui stimeremo l area?

10 Vediamo di condurre un analisi generale della propagazione degli errori in un prodotto. Indichiamo con x e y le due misure positive da moltiplicare, indichiamo con v 1 e v 2 i rispettivi valori stimati e con e 1 ed e 2 i rispettivi errori assoluti, si ha x= v 1 ± e 1, y = v 2 ± e 2 dunque v 1 e 1 x v 1 + e 1, v 2 e 2 y v 2 + e 2 Poiché sono tutte quantità positive si può dire che (v 1 e 1 )(v 2 e 2 ) x y (v 1 + e 1 )( v 2 + e 2 ) Da cui si ottiene che il valore stimato del prodotto v xy = v 1 v 2 + e 1 e 2 per l errore assoluto si ha e xy = v 1 e 2 + e 1 v 2

11 Nel caso dell area del nostro globulo rosso, si ottiene D/2 = (5.85±0.2)µm, d/2 = (5.75±0.15)µm, dunque per il valore stimato del loro prodotto è = = µm 2 Quindi il valore stimato del prodotto differisce dal prodotto dei valori stimati per 0.03, infatti, in questo caso, il prodotto degli errori assoluti è dell ordine di 10-2 ed influisce sulla seconda cifra decimale. D altra parte l errore assoluto del prodotto è = µm 2 ed influisce già sulle unità

12 Appare inutile quindi un valore stimato con quattro cifre decimali, possiamo prendere come valore stimato 33.64, che corrisponde all arrotondamento del prodotto dei valori stimati, aumentando leggermente l errore assoluto a 2.06, si ottiene per il prodotto dei semidiametri la stima 33.64±2.06 contro la stima esatta di ±2.0275, l intervallo di estremi e 35.7, contro l intervallo di estremi e Resta il fatto che, essendo l errore assoluto dell ordine di 2 unità, possiamo dire che il prodotto dei semidiametri ha una misura compresa tra 31 e 35 µm 2

13 Un errore assoluto di circa 2µm 2 è grande o piccolo? Quello che conta è che l errore assoluto e sia piccolo rispetto al valore stimato v, cioè sia piccolo il rapporto e/v che chiameremo errore relativo Nei nostri calcoli è 2.06/

14 In generale abbiamo già visto che il valore stimato del prodotto x y di due misure è v xy = v 1 v 2 + e 1 e 2 Possiamo scrivere anche v xy = v 1 v 2 [1 + (e 1 / v 1 ) (e 2 /v 2 )] Quindi se gli errori relativi sono piccoli (ad es. <10-1 ) si può ragionevolmente approssimare v xy v 1 v 2 Inoltre abbiamo già visto che l errore assoluto del prodotto è dato da e xy = v 1 e 2 + e 1 v 2 che possiamo anche scrivere e xy = v 1 v 2 (e 1 / v 1 + e 2 / v 2 ) Vediamo l errore relativo del prodotto e xy / v xy = (e 1 / v 1 + e 2 / v 2 )/[1 + (e 1 / v 1 ) (e 2 /v 2 )]

15 Vediamo l errore relativo del prodotto e xy / v xy = (e 1 / v 1 + e 2 / v 2 )/[1 + (e 1 / v 1 ) (e 2 /v 2 )] Se gli errori relativi di ciascuna misura sono <10-1 il numero al denominatore sarà compreso tra 1/( ) ed 1, quindi sarà un numero che differisce da 1 per meno di 1/100, possiamo quindi approssimare l errore relativo del prodotto con la somma degli errori relativi e xy / v xy (e 1 / v 1 + e 2 / v 2 )

16 Nei nostri calcoli l errore relativo è 2.06/ La somma degli errori relativi è 0.2/ / Completiamo la stima dell area del globulo rosso moltiplicando il prodotto dei semidiametri per π utilizzando la stima π= 3.14±0.002, otteniamo per l area A la seguente stima A= ±6.6 µm 2

17 Valore stimato ed errore assoluto per l inverso 1/x di una misura positiva x= v 1 ± e 1, ricordiamo che 1/( v 1 + e 1 ) 1/x 1/( v 1 e 1 ) Valore stimato v 1/x = 1/2(1/( v 1 + e 1 ) + 1/( v 1 e 1 ))=1/v 1 (1/(1-(e 1 /v 1 ) 2 ) Se l errore relativo della stima di x è <10-1, possiamo approssimare v 1/x 1/v 1 Errore assoluto e 1/x = 1/2(1/( v 1 e 1 ) - 1/( v 1 + e 1 ))= v 1/x (e 1 / v 1 ) Errore relativo e 1/x / v 1/x = e 1 / v 1

18 Valore stimato ed errore assoluto per il quoziente x/y di due misure positive x= v 1 ± e 1, y= v 2 ± e 2 Valore stimato v x/y v 1 /v 2 Errore assoluto e x/y v 1 /v 2 (e 1 / v 1 + e 2 / v 2 ) Errore relativo e x/y / v x/y ( e 1 / v 1 + e 2 / v 2 )

19 Valore stimato ed errore assoluto per la somma di due misure positive x= v 1 ± e 1, y= v 2 ± e 2 Valore stimato v x+y = v 1 + v 2 Errore assoluto e x+y = e 1 + e 2 Errore relativo e x+y / v x+y = ( e 1 + e 2 )/ (v 1 + v 2 )

20 Valore stimato ed errore assoluto per la differenza x-y di due misure positive x= v 1 ± e 1, y= v 2 ± e 2 Valore stimato v x-y = v 1 - v 2 Errore assoluto e x-y = e 1 + e 2 Errore relativo e x-y / v x-y = ( e 1 + e 2 )/ (v 1 v 2 )