Esercizi sulle leggi di Kirchhoff e sulle potenze

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1 sercizi sulle leggi di Kirchhoff e sulle potenze sercizio n Scriere tutte le possibili LK per il circuito in figura considerando due dierse conenzioni per le LK. a b c d e Si fissi un sistema di riferimento per le correnti: i a i i b i c i6 i5 d e i7 ssumiamo la conenzione secondo cui sono positie le correnti entranti nei nodi, negatie quelle uscenti. Otteniamo il seguente sistema di equazioni (la somma algebrica delle correnti entranti in un nodo è istante per istante nulla):

2 nodo a: i i nodo b: i i i nodo c: i i i (*) 5 6 nodo d: i i i 7 5 nodo e: i i i 6 7 ssumiamo ora la conenzione secondo cui sono positie le correnti uscenti dal nodo e negatie quelle entranti (la somma algebrica delle correnti uscenti da un nodo è istante per istante nulla). Otteniamo il seguente sistema di equazioni: nodo a: i i nodo b: i i i nodo c: i i i (**) 5 6 nodo d: i i i 7 5 nodo e: i i i 6 7 Il sistema (**) può essere ottenuto dal sistema (*) moltiplicando ogni equazione per -. I due sistemi sono quindi equialenti, cioè ammettono la stessa soluzione. iò è necessario in quanto i due sistemi descriono lo stesso circuito con lo stesso sistema di riferimento delle correnti (è cambiata la conenzione sui segni delle correnti ma non il sistema di riferimento).

3 sercizio n ato il circuito in figura, dimostrare che è i i. a b ia N ib Fissiamo un sistema di riferimento per le correnti: ia i i N i ib i i5 Scriiamo la LK in corrispondenza di ciascun nodo assumendo positie le correnti uscenti da un nodo (la somma algebrica delle correnti uscenti da un nodo è istante per istante nulla). nodo : i i i a nodo : i i i nodo : i i i 5 nodo : i i i b 5

4 Sommando membro a membro le equazioni del sistema si ha: i a ib i a ib Un altro modo più generale di esprimere la LK consiste nel definire una superficie gaussiana (superficie chiusa) ed una conenzione per le correnti: La somma algebrica di tutte le correnti che fuoriescono dalla (o entrano nella) superficie gaussiana è istante per istante nulla Fissiamo una superficie gaussiana come quella indicata in figura e assumiamo come positie le correnti entranti nella superficie: ia i i N i ib i i5 Σ Le sole correnti che attraersano le gaussiana sono i a e i b per cui possiamo scriere con la conenzione delle correnti positie entranti nella superficie Σ : i a i b i a ib

5 sercizio n ato il circuito in figura, ricaare le correnti i e i. a i b i i c i i 5 i d e i i 5 f on il fissato sistema di riferimento per le correnti, scriiamo le LK nei nodi a e d (occorrono due equazioni ): nodo a: i i5 i nodo d: i i5 i i Si tratta di un sistema di due equazioni nelle due incognite i e i, che possiamo risolere col metodo di sostituzione: i i i i, i 5

6 sercizio n ato il circuito in figura: scriere tutte le possibili LKT, aendo fissato un sistema di riferimento per le tensioni di lato e il erso di percorrenza delle maglie. Successiamente si alutino le tensioni e, nel caso in cui V, 5V, V. Fissiamo un sistema di riferimento per le tensioni di lato come indicato in figura: e disegnamo le dierse maglie che si possono indiiduare nel circuito, per ciascuna delle quali fissiamo arbitrariamente un erso di percorrenza:

7 maglia maglia maglia Scriiamo la LKT per ciascuna maglia (la somma algebrica delle tensioni di lato è nulla istante per istante): maglia : maglia : maglia : questo punto sostituiamo i alori delle tensioni date per ricaare quelli delle tensioni incognite: 5 V 5 V

8 sercizio n 5 ato il circuito in figura: F G 5 H e fissato il nodo 5 come riferimento, si scriano le tensioni di lato in funzione delle tensioni nodali riferite al nodo 5. Si alutino inoltre le tensioni di lato sapendo che e V, e 5V, e 8V, e V, e 5 V. Per tensione nodale di un nodo si intende la tensione nodo-nodo tra il nodo in questione e quello di riferimento. Fissiamo un sistema di riferimento per le tensioni di lato come indicato in figura: F G 5 H Si può dimostrare infatti che la tensione tra una generica coppia di nodi k e j del circuito e pari alla differenza delle rispettie tensioni nodali: kj e k e j In particolare quindi anche la tensione di lato, che è una tensione nodo-nodo tra il nodo supposto a tensione maggiore () e l altro, si può esprimere in funzione delle tensioni nodali dei nodi che rappresentano i ertici del lato.

9 Possiamo quindi scriere le seguenti relazioni: e e5 e e e5 e e e e e F e e5 e G e e e e F e e5 e Sostituendo i alori dati otteniamo: e e V e e e V 5 5 e e 5 V F e e 8 V e e e 5V G e e 8 V 5 e e 8 5 V F e e e V 5

10 sercizio n 6 ato il circuito in figura: a b T V c d 5 V V e determinare la tensione punto-punto tra i nodi b e d quando l interruttore T è aperto. tale scopo enunciamo la L.K.T. relatiamente ad una sequenza chiusa di nodi: Per ogni circuito concentrato connesso, lungo una qualsiasi sequenza chiusa di nodi, in ogni istante t, la somma delle tensioni punto-punto (prese nello stesso ordine della sequenza di nodi) è uguale a zero Impostiamo allora la L.K.T. alla sequenza chiusa di nodi a-b-d-c-a: ab bd dc ca questo punto esprimiamo le tensioni punto punto in funzione delle tensioni di lato note: ab dc ca e sostituiamo il tutto all interno dell equazione di equilibrio: bd ab dc ca V

11 sercizio n 7 ato il bipolo in figura: i( ( in cui abbiamo fissato la conenzione dell utilizzatore, calcolare la potenza istantanea assorbita nei seguenti casi: Si ha: ) ( V i( ) ( V i( ) ( 9V i( ) p ( ( i( V W > potenza assorbita ) p ( ( i( V ( ) 6W < potenza erogata ) p ( ( i( 9V 9W > potenza erogata

12 sercizio n 8 ato il circuito in figura: i i V 5V 9/8V i 8 i determinare la potenza assorbita da ciascun elemento e erificare la conserazione della potenza. La somma algebrica delle potenze assorbite da tutti gli elementi di un circuito è nulla in ogni istante. In primo luogo determiniamo le tensioni ai capi dei bipoli e scriendo le LKT alle maglie e poi. tale scopo fissiamo delle polarità di riferimento per le tensioni incognite e dei ersi di percorrenza delle maglie: i - _ i V 5V 9/8V i 8 i maglia : 5 V 9 5 maglia : V 8 8 questo punto determiniamo le correnti nei rami del circuito in cui non sono note, aendo fissato arbitrariamente dei ersi di riferimento:

13 i - _ i i V 5V 9/8V i i i 8 i nodo : nodo : nodo : i i 8 i i i i i i 8 i i 7 Note le correnti e le tensioni ai capi di ciascun elemento, possiamo alutare la potenza assorbita da ciascuno di essi: 5 elemento (conenzione utilizzatore): p i 8 5W > assorbita 8 elemento (conenzione utilizzatore): p i W > assorbita elemento (conenzione generatore): p i 5 5W > erogata elemento (conenzione utilizzatore): p i 7 W < erogata 9 elemento (conenzione utilizzatore): p i 8 9W > assorbita 8 questo punto per erificare la conserazione della potenza sommiamo tutte le potenze calcolate. tale scopo assicuriamoci che per ogni elemento sia stata adottata la stessa conenzione. Notiamo che per tutti gli elementi è stata fissata la conenzione dell utilizzatore eccetto che per l elemento, per il quale è stata fissata quella del generatore. necessario allora riportare la potenza calcolata per questo elemento alla conenzione dell utilizzatore e per far ciò bisogna cambiare il segno della potenza p (con la conenzione dell utilizzatore una potenza erogata è negatia). questo punto si ha: p p p p p In alternatia possiamo erificare l equilibrio tra potenza assorbita e potenza erogata, a prescindere dai segni e dalle conenzioni: p assorbita 5 9 6W

14 p erogata 5 6W Poniamo in forma ettoriale le tensioni e le correnti del circuito che soddisfano le L.K.: ) T (,,,, ettore delle tensioni che soddisfano la LKT i ) T ( i, i, i, i, i ettore delle correnti che soddisfano la LK Sostituiamo i alori: 5 9 (,, 5,, ) 8 8 i (8,,,7,8) in cui per l elemento abbiamo scambiato la polarità della tensione, e quindi abbiamo inertito il segno, per riportarlo alla conenzione dell utilizzatore (aremmo potuto in alternatia inertire il erso della corrente i ). Se moltiplichiamo scalarmente i due ettori otteniamo: i i i i i e questo risultato corrisponde alla conserazione della potenza erificata sopra.

15 sercizio n 9 ato il circuito in figura: i i V V V i p W i calcolare la tensione e la corrente i e erificare la conserazione della potenza. alcoliamo la tensione scriendo la LKT alla maglia : maglia : V alcoliamo la corrente i scriendo la LK al nodo : nodo : p i i i i i p i alcoliamo la tensione scriendo la LKT alla maglia : maglia : V questo punto possiamo calcolare il alore di i : mentre è eidentemente: p i i i p Note le correnti e le tensioni ai capi di ciascun elemento, possiamo alutare la potenza assorbita da ciascuno di essi:

16 elemento (conenzione utilizzatore): p i W > assorbita elemento (conenzione utilizzatore): p i W > assorbita elemento (conenzione generatore): p i 6W > erogata elemento (conenzione utilizzatore): p i W > assorbita elemento (conenzione utilizzatore): p i 6W > assorbita Riportiamo la potenza dell elemento alla conenzione dell utilizzatore (cambiando semplicemente il segno) e sommiamo i contributi dei diersi elementi: p p p p p 6 6 erificando così la conserazione della potenza.

17 sercizio n La corrente e la tensione in un bipolo ariano nel tempo come indicato in figura: [V] t(s) i [] 5 5 t(s) Tracciare la potenza fornita al bipolo per t >. Qual è l energia totale fornita al bipolo tra ts e t5s? Il bipolo utilizza la conenzione degli utilizzatori. La potenza istantanea p( è definita come il prodotto dei alori delle tensione e della corrente all istante t: p ( ( i( In primo luogo determiniamo le espressioni analitiche delle dierse rette che costituiscono l andamento di e di i: t ( i( t p( 6t t 5 ( 5t 8 i( t p( t 6t 5 t 5 ( 5 i ( t 75 p ( 5t 75 alcoliamo i alori della potenza agli estremi di ciascun interallo di tempo: p( ) W p( ) 6W p(5) (5) 6 5 5W p( 5) W

18 questo punto possiamo determinare l andamento della potenza in tutto l interallo [;5]: p( t L energia scambiata da un bipolo in un interallo di osserazione t, ) ale: Nel nostro caso abbiamo quindi: w t ( t, t ) p( dt t t t ( i( dt ( t da cui: 5 5 (,5) p( dt p( dt p( dt 5 p( 5 w dt 5 5 (,5) 6tdt ( t 6 dt ( 5t w 75 dt ) (,5) 6 tdt t dt 6 tdt 5 tdt w dt t t t t w 5 5 (,5) [ t]

19 In definitia: w (,5) () 6 (5) () (5) 6 () (5) 5 (5) 75[5 5] w (75) (,5) w 75 5 (,5) 6 5[ ] 75 w 75 (,5) 8[ 5] 5[ ] w (,5) J Tale energia è pari all area sottesa dalla cura della potenza sull asse dei tempi. Poiché stiamo adottando la conenzione dell utilizzatore possiamo dire che in ogni istante di tempo t [;5] il nostro componente sta assorbendo potenza perché è sempre: p ( L energia complessiamente assorbita ale allora 58 J.

20 sercizio n Un bipolo è collegato ad un generatore di corrente i aente la seguente forma d onda: i [] i - [V] t(s) t(s) La corrispondente tensione ha la forma d onda indicata sopra. eterminare la potenza p( e l energia w( assorbita dal bipolo. Tracciare il grafico di p( e w(. In primo luogo determiniamo le espressioni analitiche delle dierse rette che costituiscono l andamento di e di i: t ( 6t i ( p( 6t t ( 6t 6 i ( p ( 6t 6 t ( i ( t p ( L andamento della potenza istantanea è allora dato da: p [W] t(s)

21 ed è identico a quello della tensione. alcoliamo l andamento dell energia w( a partire da quello della potenza istantanea, essendo: dw( t p( w( p(τ ) dτ dt Se supponiamo che la potenza è nulla fino all istante possiamo scriere: dτ 6τdτ t. 5 t w ( dτ 6τdτ ( 6τ 6) dτ t t dτ 6τdτ ( 6τ 6) dτ dτ t t Si ha quindi: t t. 5 t t w ( [ t ] 6τ dτ 6dτ t [t ] 6τdτ 6dτ t t t. 5 t w ( [t ] 6t t [t ] 6( ) t In definitia: t t. 5 w ( [t ] 6t t [ ] 6( ) t

22 In definitia: t t. 5 w ( t 6t t 6 t alcoliamo i alori dell energia agli estremi di ciascun interallo di tempo considerato: w( ) J w( ). 75J w ( ). 5 questo punto possiamo determinare l andamento dell energia nell interallo [;]: