Lezione 2 Un modello di produzione

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Lezione 2 Un modello di produzione"

Ippolito Corona
6 anni fa
Visualizzazioni

1 LABORATORIO RICERCA OPERATIVA Lezione 2 Un modello di produzione Laura Palagi Dipartimento di Ingegneria informatica automatica e gestionale A. Ruberti Sapienza Universita` di Roma

2 Un problema multi impianto Un azienda dispone di due impianti A e B. Ciascun impianto produce due prodotti: standard e deluxe Ogni unità di prodotto da luogo ad un profitto unitario riportato in tabella standard deluxe profitto unitario Ogni impianto A e B, gestisce due processi produttivi: smerigliatura (grinding) e lucidatura (polishing)

3 Un problema multi impianto I tempi di smerigliatura e lucidatura (espressi in ore per unità di ogni tipo di prodotto) nei due impianti sono diversi e riportati in tabella impianto A impianto B standard deluxe standard deluxe smerigliatura lucidatura L impianto A ha macchinari per la smerigliatura con capacità di 80 ore settimanali e per la lucidatura con capacità di 60 ore settimanali L impianto B ha macchinari per la smerigliatura con capacità di 60 ore settimanali e per la lucidatura con capacità di 75 ore settimanali

4 Un problema multi impianto Risorsa condivisa: disponibilitá di materiale grezzo Ogni prodotto (standard o deluxe) richiede 4 kg di materiale grezzo L azienda dispone di 120 kg di materiale grezzo a settimana Determinare il livello di produzione ottimo (ovvero che massimizza il profitto)

5 Un problema multi impianto impianto A impianto B autonomi nella produzione Condividono la disponibilitá di materiale grezzo Un possibile approccio consiste nel dividere A PRIORI il materiale grezzo tra i due impianti 120 kg. M Kg sono assegnati all impianto A 120-M Kg sono assegnati all impianto B

6 Un problema multi impianto Materiale grezzo divisa a priori tra le fabbrica: Impianto A e impianto B scelgono indipendentemente la strategia di produzione Dunque abbiamo due modelli matematici Impianto A Impianto B Dati diversi, ma modello matematico uguale max profitto Vincoli di processo ore smerigliatura ore lucidatura Vincolo disponibilità di materiale grezzo

7 Modello Matematico di impianto Le variabili di decisione per ciascun impianto sono le quantità di ciascun tipo di prodotto standard = x 1, deluxe = x 2 x 1, x 2 >= 0 La funzione obiettivo è il profitto che deve essere massimizzato (max) Profitto di un unità di prodotto standard max 10 x x 2 Profitto di un unità di prodotto deluxe Vincoli: Disponibilità di materiale grezzo 4 x x 2 <= quantità disponibile Kg di materiale grezzo per unità di prodotto standard Kg di materiale grezzo per unità di prodotto deluxe

8 Vincoli di Processo smerigliatura s 1, s 2 tempi di smerigliatura dei 2 prodotti relativi all impianto s 1 x 1 + s 2 x 2 <= ore dispon. lucidatura l 1, l 2 tempi di lucidatura dei 2 prodotti relativi all impianto l 1 x 1 + l 2 x 2 <= ore dispon. modello matematico di impianto max c 1 x 1 + c 2 x 2 m 1 x 1 + m 2 x 2 <= disponibilità s 1 x 1 + s 2 x 2 <= ore smerigliatura l 1 x 1 + l 2 x 2 <= ore levigatura x 1, x 2 >= 0

9 Modello Matematico dei due impianti standard in impianto A= x 1, deluxe in impianto A = x 2 standard in impianto B= x 3, deluxe in impianto B= x 4 max 10 x x 2 4 x x 2 <= M 4 x x 2 <= 80 2 x x 2 <= 60 x 1, x 2 >= 0 Modello per l impianto A max 10 x x 4 4 x x 4 <= 120-M 5 x x 4 <= 60 5 x x 4 <= 75 x 3, x 4 >= 0 Modello per l impianto B

10 Un problema multi impianto Materiale grezzo divisa a priori tra le fabbrica Un possibile scenario di allocazione di risorsa M=75 Kg sono assegnati all impianto A 120 kg. 120-M= 45 Kg sono assegnati all impianto B max 10 x x 2 4 x x 2 <= 75 4 x x 2 <= 80 2 x x 2 <= 60 x 1, x 2 >= 0 impianto A max 10 x x 4 4 x x 4 <= 45 5 x x 4 <= 60 5 x x 4 <= 75 x 3, x 4 >= 0 impianto B

11 Soluzione grafica impianto A Scenario M=75 Kg assegnati all impianto A max 10 x x 2 4 x x 2 <= 75 4 x x 2 <= 80 2 x x 2 <= 60 x 1, x 2 >= 0 Si tratta di un problema in due variabili e dunque è possibile risolverlo utilizzando il metodo grafico Disegnare il poliedro ammissibile Disegnare le rette di livello della funzione obiettivo Individuare un vertice ottimo

12 Soluzione grafica Impianto A Grafico l insieme delle possibile soluzioni ammissibili I punti non negativi indicati con costituiscono la x 2 regione ammissibile Il vincolo 4 x x 2 80 (smerigliatura) non gioca alcun ruolo nella definizione della regione ammissibile: anche rimuovendolo, l insieme F non cambia Cattivo uso della risorsa dedicata alla smerigliatura! x 1

13 Soluzione grafica impianto A Nel piano (x 1, x 2 ), si disegnano le rette di livello del profitto P TOT per valori crescenti x 2 =0 P TOT = 10 x x 2 =k Si tratta di un fascio di rette parallele =150 =300 è migliorabile non è realizzabile Determinare il massimo valore di k=p TOT che può essere realizzato per qualche valore ammissibile x 1

14 Soluzione geometrica: Impianto A x 2 soluzione ottima 2 x x 2 = 60 4 x x 2 = 75 * x Ore levigatura Dispon. materiale P* TOT = 10 x x 2 = = x 1

15 x 2 Osservazioni per Impianto A Aumentando la disponibilità di materiale si può migliorare la soluzione ottima Il massimo valore utile M di risorsa è quello che corrisponde al pieno utilizzo di entrambe le macchine P* TOT = x x 2 = 80 2 x x 2 = 60 * x P* TOT = 250 M = 4 (x 1 + x 2 )=90 x 1

16 In Excel

19 Soluzione grafica impianto B Scenario M= Kg assegnati all impianto B x 4 max 10 x x 4 4 x x 4 <= 45 5 x x 4 <= 60 5 x x 4 <= 75 x 3, x 4 >= 0 I due vincoli 5 x x 4 = 75 and 5 x x 4 = 60 non giocano alcun ruolo nella definizione della regine ammissibile x 3 Cattivo uso di 2 risorse!

20 Soluzione geometrica Nel piano (x 3, x 4 ), disegniamo le rette di livello del profitto PTOT per valori crescenti x 4 P TOT = 10 x x 4 =k x 3 =0 =100 Determinare il massimo valore di P TOT che può essere realizzato per qualche valore ammissibile Soluzione ottima * x x 3 = 0 4 x x 4 = 45 P TOT =

21 Osservazioni per Impianto B x 4 Aumentando la disponibilità di materiale si può migliorare la soluzione ottima Il massimo valore utile M di risorsa corrisponde al pieno utilizzo delle ore di lucidatura Il massimo valore utile M di risorsa NON è quello che corrisponde al pieno utilizzo di entrambe le macchine x 3 = 0 5 x x 4 = 75 x 3 * x P* TOT = M = 4 (x 3 + x 4 ) = 50

22 Uno sguardo d insieme sull azienda Questa soluzione è stata ottenuta con un arbitraria allocazione delle risorse standard deluxe produzione PROFITTO Produzione complessiva = somma della produzione nell impianto A e nell impianto B Profitto dell azienda = somma dei profitti dell impianto A e dell impianto B

23 L azienda nel nuovo scenario AZIENDA standard deluxe produzione 17,5 12,5 profitto 362,5 Produzione complessiva = somma della produzione nell impianto A e nell impianto B Profitto dell azienda = somma dei profitti dell impianto A e dell impianto B Questa soluzione è peggiore di quella precedente

24 Cambio di scenario: visione geometrica x x Impianto A x Nuovo ottimo per A x 1 x 4 x Impianto B x 3 Nuovo ottimo per B x P TOT = 250 P TOT = 112.5

25 Modello matematico per l azienda I due prodotti realizzati nell impianto A e nel B sono le variabili di decisione standard in impianto A= x 1, deluxe in impianto A = x 2 standard in impianto B= x 3, deluxe in impianto B= x 4 x 1, x 2, x 3, x 4 >= 0 La funzione obiettivo è il profitto complessivo da max-mizzare max 10 x x x x 4

26 Modello matematico per l azienda Vincoli: smerigliatura lucidatura Vincolo tecnologico 4 x x 2 <= 80 5 x x 4 <= 60 2 x x 2 <= 60 5 x x 4 <= 75 Impianto A Impianto B Impianto A Impianto B VINCOLO: Disponibilità di materiale primo 4 x x x x 4 <= 120 Vincolo comune

27 Modello matematico per l azienda max 10 x x x x 4 4 x x 2 <= 80 5 x x 4 <= 60 2 x x 2 <= 60 5 x x 4 <= 75 4 x x x x 4 <= 120 x 1, x 2, x 3, x 4 >= 0 Piu` di due variabili: NON possiamo risolvere graficamente

Documenti analoghi

Modelli di Ottimizzazione: definizione formale

Modelli di Ottimizzazione: definizione formale Insieme delle possibili alternative Un criterio di ottimizzazione Soluzione ammissibile (Feasible) x appartiene ad un insieme F f: F funzione obiettivo finito