Appunti per Algebra Superiore

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1 Apputi per Algebra Superiore Moica Idà April 29, 2009 Qui aello sigifica sempre aello commutativo uitario; A deota sempre u aello e K u campo. 1 A- algebre Defiizioe 1.1 Ua A-algebra R è u aello o ecessariamete commutativo é uitario, dotato di ua struttura di A-modulo tale che il gruppo additivo dell aello e quello dell A-modulo siao uguali, e che la moltiplicazioe itera e quella estera siao compatibili, el seso che per ogi a A, x, y R, si abbia a(xy) = (ax)y = x(ay). Si osservi che questo equivale a dire che R è ua A-algebra se è u A-modulo e se è muito di ua operazioe associativa χ : R R R (r, s) rs tale che l applicazioe χ sia bilieare. Diciamo che R è ua A-algebra uitaria, rispettivamete commutativa, se è uitario, rispettivamete commutativo come aello. Nel seguito cosideriamo solo A-algebre uitarie, quidi co A-algebra d ora i poi itediamo A-algebra uitaria ; ci capiterà ivece spesso di cosiderare A-algebre o commutative. Defiizioe 1.2 Se R è u aello o commutativo, chiamiamo cetro di R il sottoaello Z(R) di R così defiito: Z(R) := {x B, xy = yx y R}. Proposizioe-Defiizioe 1.3 a) Sia R u aello uitario ma o ecessariamete commutativo, e φ : A R u morfismo d aelli tale che Imφ Z(R); allora, φ iduce su R ua struttura di A-modulo che lo rede ua A-algebra, el modo seguete: per ogi a A, r R, la moltiplicazioe ar dello scalare a A per l elemeto r R è il prodotto itero φ(a)r ell aello R. b) Sia R ua A-algebra, e φ : A R l applicazioe così defiita: φ(a) := a1 R, per ogi a A; allora φ è u morfismo d aelli, e di A-moduli, la cui immagie è coteuta el cetro Z(R) di R. Il morfismo di aelli φ è detto il morfismo strutturale di R. Dimostrazioe: esercizio. Defiizioe 1.4 Siao R e S A-algebre, co morfismi strutturali φ e ψ rispettivamete; u morfismo di A-algebre f : R S è u morfismo di aelli che rede commutativo il diagramma seguete: R φ f A S ψ. 1

2 Si vede facilmete che f : R S è u morfismo di A-algebre se e solo se è cotemporaeamete morfismo di aelli e di A-moduli. U isomorfismo di A-algebre è u morfismo di A-algebre biettivo. Osservazioe 1.5 Sia R ua A-algebra.Cosiderado A co la struttura aturale di A-algebra, cioè co il morfismo strutturale id A, il morfismo strutturale di R è u morfismo di A-algebre. Esempio 1.6 Sia K u campo e sia V u K-spazio vettoriale. Il K-spazio vettoriale Ed(V ) co l operazioe di composizioe diveta ua K-algebra. Il suo morfismo strutturale è φ : K Ed(V ) a a id V : V V v av (omotetia di ragioe a) Se dim K V 2, questo è u esempio di K-algebra o commutativa. Il K-spazio vettoriale M (K) delle matrici quadrate di ordie a coefficieti i K co il prodotto righe per coloe diveta ua K-algebra. Il suo morfismo strutturale è ψ : K M (K) a ai Se 2, ache questa è ua K-algebra o commutativa. Se V è fiitamete geerato co dim K V =, e se B è ua base fissata per V, l applicazioe f B : Ed(V ) M (K) che associa ad ogi g : V V la sua matrice rispetto alla base B è u isomorfismo di K-algebre. Esempio 1.7 Sia R u aello; allora R è ua Z-algebra, co morfismo strutturale φ : 1 R. Ifatti se R o è commutativo, è comuque sempre vero che {1 R } Z(R), perché se ad esempio > 0 si ha (1 R )x = (1 R }{{ R )x = x x = x(1 }}{{} R R ) = x(1 }{{} R ), e aalogamete se < 0 utilizzado 1 R. Questa struttura di Z-algebra su R cosiste semplicemete el pesare all aello R ache come Z-modulo cosiderado il gruppo abeliao (R, +). Ricordiamo che Imφ è detto il sottoaello fodametale di R. Esempio 1.8 L aello di poliomi A[X 1,..., X ] è ua A-algebra commutativa il cui morfismo strutturale mada a el poliomio costate a. Osservazioe 1.9 Sia R 0 ua K-algebra; allora il morfismo strutturale φ : K R essedo u morfismo di aelli co domiio u campo è ecessariamete iiettivo. Quidi R cotiee (ua copia isomorfa di) K come sottoaello. Defiizioe 1.10 Sia R u aello o ecessariamete commutativo, e sia I R. Diciamo che I è u ideale a siistra, rispettivamete ideale a destra, se I è u sottogruppo del gruppo additivo di R, e se vale: x I, r R rx I, rispettivamete x I, r R xr I. Diciamo che I è u ideale bilatero se è u ideale sia a siistra che a destra. U ideale bilatero dà ua relazioe di equivaleza su R, compatibile co il prodotto di R; co R/I deotiamo l aello (o ecessariamete commutativo) quoziete. 2

3 Diciamo che u sottoisieme I di ua A-algebra R è u ideale bilatero della A-algebra R se è u ideale bilatero per R; se è ideale bilatero, è ache sotto A-modulo (ifatti se I è u ideale bilatero, e a A, x I, si ha ax = a(1 R x) = (a1 R )x I). Quidi R/I è ua A-algebra. Diciamo che u sottoisieme S di ua A-algebra R è ua sottoalgebra di R se è cotemporaeamete sottomodulo e sottoaello di R. Se X è u sottoisieme di ua A-algebra R, l ideale bilatero della A-algebra R geerato da X è l itersezioe di tutti gli ideali bilateri di A-algebra coteeti X, e viee deotato co < X >. Si vede facilmete che < X >= { i=1 a i x i b i, a i, b i R, x i X}. Defiizioe 1.11 U aello R (o ecessariamete commutativo) è detto aello graduato di tipo N, rispettivamete di tipo Z, se esiste ua famiglia {R } N, rispettivamete {R } Z, di sottogruppi del gruppo additivo di R tale che R = N R, rispettivamete R = Z R, e per ogi i, j N, rispettivamete i, j Z, si ha R i R j R i+j (cioè a i R i, a j R j a i a j R i+j ). Gli elemeti di R soo detti omogeei di grado. Se x R, la decomposizioe (uica) di x come somma fiita: x = x j, x j R j, è detta la decomposizioe i elemeti omogeei di x. Sia R u aello graduato; allora R 0 è u sottoaello di R (ifatti deg(1) = 0 poichè se deg(x) = > 0, 1x = x ha acora grado ). Se R 0 è commutativo, allora R è u R 0 -modulo per ogi. Defiizioe 1.12 U ideale bilatero a di u aello graduato R = Z R è detto ideale bilatero omogeeo se a = Z (a R ). Questo sigifica che se x R, e x = x j, x j R j, è la decomposizioe di x i elemeti omogeei, allora x a x j a ( è chiara; d altra parte, se x = x j a, allora x j a R j ). Si vede facilmete che a è omogeeo se e solo se a ammette u sistema di geeratori che siao tutti omogeei. Ifatti: sia a =< {f j } j J >, co gli f j omogeei; sia x = a j f j b j co a j, b j R u qualsiasi elemeto di a; allora decompoedo a j, b j elle loro compoeti omogeee, si vede che le compoeti omogeee di x soo somme di prodotti di elemeti omogeei dell aello per gli f j, e quidi stao i a. Viceversa, sia a omogeeo, a =< X >; ogi x X si scrive come x = x j, x j R j ; allora a =< {x j } x X >, ifatti < {x j } x X > < X > perché ogi elemeto di X è somma di elemeti di {x j } x X, e < {x j } x X > < X > perché essedo < X > omogeeo, ogi compoete omogeea di ogi elemeto di < X > appartiee acora ad < X >. Se R è u aello graduato e a u suo ideale bilatero omogeeo, l aello quoziete R/a è u aello graduato el modo seguete: R/a = Z (R /a R ) (si osservi che questo ha seso perché a R è u sottogruppo di R, i quato itersezioe di sottogruppi, e la mappa R /a R R/a defiita da x + a R x + a è be defiita e risulta essere u morfismo iiettivo di gruppi). Aaloghe defiizioi per cose graduate di tipo N. Defiizioe 1.13 Sia A u aello (commutativo), e sia R ua A-algebra; R è detto A-algebra graduata di tipo N, rispettivamete di tipo Z, se esiste ua famiglia {R } N, rispettivamete {R } Z, di sotto A-moduli dell A-modulo R tale che R = N R, rispettivamete R = Z R, e per ogi i, j N, rispettivamete i, j Z, si ha R i R j R i+j (cioè a i R i, a j R j a i a j R i+j ). 3

4 I altre parole, R = R i è u aello graduato di tipo N o di tipo Z, co gli R i sotto A-moduli e o solo sottogruppi di (R, +). Gli elemeti di R soo detti omogeei di grado. Se x R, la decomposizioe (uica) di x come somma fiita: x = x j, x j R j, è detta la decomposizioe i elemeti omogeei di x. U morfismo di A-algebre graduate f : R R è u morfismo di A-algebre tale che f(r i ) R i per tutti gli i. Se R è ua A-algebra graduata di tipo N e a u suo ideale bilatero omogeeo, cioè u ideale bilatero omogeeo dell aello R, il quoziete R/a = Z (R /a R ) è ua A-algebra graduata di tipo N e la proiezioe caoica p : R R/a è u morfismo di A-algebre graduate (di uovo, si osservi che questo ha seso perché a R è u sottoa-modulo di R, i quato itersezioe di sottomoduli, e la mappa R /a R R/a defiita da x + a R x + a è u morfismo iiettivo di A-moduli). Se f : R R è u morfismo di A-algebre graduate, kerf è u ideale bilatero omogeeo. Esempio 1.14 L esempio più usuale di K-algebra graduata è l aello di poliomi S = K[x 0,, x ], dove K è u campo, e la graduazioe è data dal grado di u poliomio, cioé S = d 0 S d, dove S d = K[x 0,, x ] d := {f K[x 0,, x ] f omogeeo, deg(f) = d} {0}. Questo è u aello commutativo, quidi gli ideali bilateri soo gli ideali usuali. I questo caso, S 0 = K e S è u K-spazio vettoriale per ogi ; ioltre S + := d>0 S d è u ideale di S, detto l ideale irrilevate, e S/S + = K. Ricordiamo ache che dim K S d = ( +d) d. Se a è u ideale omogeeo di S, e a S, allora a S + e S/a è acora ua K-algebra graduata, co (S/a) 0 = K. Cosideriamo ad esempio la K-algebra graduata K[x 0, x 1, x 2 ] e i suoi ideali a = (x 3 1, x 2), b = (x 3 1 x 2), c = (x 2 1 x 2, x 2 ); il primo è omogeeo, perché ha u sistema di geeratori omogeeo. Il secodo o lo è, perché il poliomio x 3 1 x 2, che ecessariamete compare i ogi sistema di geeratori di b, o è omogeeo. Il terzo si preseta co u sistema di geeratori o omogeeo, ma è immediato vedere che ache x 2 1, x 2 è u sistema di geeratori per c, duque questo è u ideale omogeeo. Osserviamo ora ua K-algebra quoziete. Sia B := K[x 0, x 1, x 2 ]/(x 2 0, x2 1 ); (x2 0, x2 1 ) è u ideale omogeeo, e B è graduata el modo seguete: B = d 0 B d, co B 0 = K, B 1 = K[x 0, x 1, x 2 ] 1, B 2 = K[x 0, x 1, x 2 ] 2 / < x 2 0, x2 1 >, dove < x2 0, x2 1 > deota il sottospazio vettoriale di K[x 0, x 1, x 2 ] 2 geerato da x 2 0, x2 1, quidi B 2 = K x 0 x 1 K x 0 x 2 K x 1 x 2 K x 2 2, B 3 = K[x 0, x 1, x 2 ] 3 / < x 3 0, x2 0 x 1, x 2 0 x 2, x 0 x 2 1, x3 1, x2 1 x 2 > = K x 0 x 2 2 K x 0x 1 x 2 K x 1 x 2 2 K x3 2, e così via. Si osservi che quozietado S co u ideale o omogeeo il grado di u poliomio o dà più ua graduazioe sul quoziete, ad esempio i K[x 0, x 1, x 2 ]/(x 2 0 x 1) le classi di x 1 e di x 2 0 soo uguali e 0. Osservazioe 1.15 Graduare l aello dei poliomi e i suoi quozieti è esseziale per poter parlare i primo luogo di zeri di poliomi i P, e i secodo luogo di fuzioi su uo spazio proiettivo P o più i geerale su ua varietà proiettiva. Per esempio, per il poliomio f = x 2 0 x 1 o ha seso parlare di zeri; se P è il puto [1, 1, 2] = [2, 2, 4], f si aulla sul rappresetate (1, 1, 2) di P, ma o si aulla sul rappresetate (2, 2, 4) di P. Se però cosideriamo solo poliomi omogeei, parlare di zeri acquista u seso, ifatti per esempio f = x 2 0 x2 1 si aulla su qualuque rappresetate di P, perché f(λ, λ, 2λ) = λ 2 f(1, 1, 2) = 0. 4

5 D altra parte, il poliomio x 0 pur essedo omogeeo o può essere visto come ua fuzioe su P 2, poiché su due diversi rappresetati del puto P = [1, 1, 1] = [2, 2, 2] prede valori diversi; ivece, u quoziete di poliomi omogeei dello stesso grado, ad esempio x 0 /x 1, o crea di questi problemi. Defiizioe 1.16 Sia R ua A-algebra, e sia S u sottoisieme o vuoto di R. Ricordiamo che il sottoaello geerato da S risulta essere l isieme = {1 R + ±s i1... s it, Z, s ij S, t N} costituito dalle somme fiite di prodotti fiiti, e loro opposti, di elemeti di S {1 R }. La sotto A-algebra geerata da S, deotata co A[S], è la più piccola sottoalgebra di R coteete S, quidi si ha: A[S] = B. B sottoalgebra di B,B S Si vede facilmete che ogi b A[S] si scrive come combiazioe lieare fiita a coefficieti i A di 1 R e di prodotti fiiti di elemeti di S, cioé A[S] = {a 0 1 R + a 11,...,i r s i1... s ir, a 0, a 11,...,i r A, s ij S, r N}. I particolare, se R è commutativa e se S = {s 1,..., s }, ogi b A[S] si scrive come poliomio i s 1,..., s a coefficieti i A. Defiizioe 1.17 Sia B ua A-algebra commutativa. Diciamo che B è ua A-algebra fiita se B è fiitamete geerata come A-modulo; ricordiamo che ciò accade se esistoo b 1,..., b tali che ogi b B si scrive come poliomio lieare omogeeo i b 1,..., b a coefficieti i A. Diciamo ivece che B è ua A-algebra fiitamete geerata se se esiste u sottoisieme fiito S di B tale che B = A[S], cioé se esistoo s 1,..., s B tali che ogi b B si scrive come poliomio i b 1,..., b a coefficieti i A. Questo equivale a dire che esiste u morfismo suriettivo di A-algebre A[x 1,..., x ] B. Refereces [AM] M.F.Atiyah - I.G.Macdoald, Itroductio to Commutative Algebra. Addiso-Wesley Publishig Compay, Readig, [BM] G.Birkhoff - S.Mac Lae: Algebra. Mursia editore, Milao [Ci] C.Ciliberto, Algebra Lieare, Bollati Borighieri, Torio [C1] P.M.Coh, Algebra volume 1, Joh Wiley & Sos, Lodo [C2] P.M.Coh, Algebra volume 2, Joh Wiley & Sos, Lodo [C3] P.M.Coh, Basic Algebra: groups, rigs ad fields, Spriger, Lodo, 2d pritig [L] J.P.Lafo: Les formalismes fodametaux de l algèbre commutative. Herma, Paris [H] P.R.Halmos: Naive Set Theory. Spriger, New York [Ha] Robi Hartshore: Algebraic Geometry. Graduate Texts i Mathematics 52, Spriger [J1] N.Jacobso: Basic Algebra I. W.H.Freema ad Compay, Sa Fracisco [J2] N.Jacobso: Basic Algebra II. W.H.Freema ad Compay, Sa Fracisco [La] S.Lag: Algebra (secod editio). Addiso-Wesley Publishig Compay, Melo Park (Ca)