Spazi di probabilità generali. Variabili casuali assolutamente continue

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1 Cpitolo 4 Spzi di probbilità generli. Vribili csuli ssolutmente continue 4.1 σ-lgebre. Misure di Probbilità Con gli spzi di probbilità discreti, bbimo visto molti spetti importnti del Clcolo delle Probbilità, senz dover ricorrere strumenti di Anlisi Mtemtic troppo sofisticti. L teori fin qui sviluppt non ci permette, però, di ffrontre due rgomenti fondmentli, si dl punto di vist teorico che pplictivo. Anzitutto l definizione di vribili csuli l insieme dei cui vlori si non numerbile. Molte grndezze che trttimo quotidinmente (tempi, msse, lunghezze,...) possono ssumere qulunque vlore di un intervllo di R. È ovvimente impossibile, in uno spzio di probbilità discreto, definire un vribile csule X per cui X(Ω) si un intervllo di R, dto che X(Ω) è sempre l più numerbile. L ltr questione rigurd lo studio delle successioni di vribili csuli. Le prime ppliczioni moderne del clcolo delle probbilità (de Moivre, Lplce), rigurdrono il clcolo pprossimto di certe probbilità. Un formulzione rigoros di tli pprossimzioni conduce diverse nozioni di convergenz di successioni di vribili csuli. Uno spzio di probbilità discreto è troppo povero perchè in esso si possno definire successioni interessnti di vribili csuli, d esempio successioni di vribili csuli indipendenti con l stess distribuzione. Risult quindi nturle cercre di definire spzi di probbilità in cui lo spzio cmpionrio si non numerbile. Per vere un ide del tipo di problemi che si ffrontno, vedimo due esempi significtivi. Esempio 4.1 Il concetto di probbilità uniforme è chiro e nturle se lo spzio cmpionrio è finito. È possibile estendere tle nozione d uno spzio cmpionrio continuo, d esempio un intervllo limitto di R? In ltre prole, dto un intervllo I di R, si può formlizzre l ide di scegliere cso un punto di I? Per fissre le idee, si I = Ω = [, 1]. Se P è l probbilità uniforme che stimo cercndo di definire, è nturle ssumere che, se b 1 llor (4.1) P ([, b]) = b. 1

2 In tl modo, oltre verificrsi il ftto che P (Ω) = 1, si h che l probbilità di un intervllo dipende solo dll su lunghezz geometric, e non dll su posizione in [, 1]. Si noti che, d (4.1), segue che P ({x}) = P ([x, x]) = per ogni x [, 1]. Il problem è: è possibile estendere l P definit in (4.1) tutti i sottoinsiemi di [, 1], in modo che l estensione verifichi l proprietà di σ-dditività? Ricordimo che qusi tutti i risultti concernenti gli spzi di probbilità discreti sono bsti sull σ-dditività. Esempio 4.2 Nell esempio 1.32 bbimo costruito un modello probbilistico per N prove ripetute indipendenti per le quli p (, 1) è l probbilità di successo. Pensimo or di effetture un successione infinit di prove ripetute, cioè N = +. L scelt nturle per lo spzio cmpionrio è llor Ω = {, 1} N\{}, cioè, se ω Ω, llor ω = (ω 1, ω 2,...) dove ω i {, 1}. È ben noto che Ω non è numerbile. L probbilità P che voglimo costruire sui sottoinsiemi di Ω dovrà soddisfre un requisito del tutto nturle: se considerimo un evento che dipende solo dgli esiti delle prime N prove, con N < +, llor l su probbilità dovrà essere ugule quell clcolt, nell Esempio 1.32, con N fissto. In ltre prole, se x 1, x 2,..., x N {, 1}, dovrà essere (4.2) P ({ω Ω : ω 1 = x 1,..., ω N = x N }) = p P N i=1 x i (1 p) N P N i=1 x i. Come nell esempio precedente, il problem è di stbilire se è possibile estendere P tutti i sottoinsiemi di Ω. Si noti che, se tle estensione (σ-dditiv) esiste, llor P ({η}) = per ogni η Ω. Inftti {η} = {ω : ω 1 = η 1,..., ω N = η N }. N N\{} Quest ultim è l intersezione di un fmigli decrescente di eventi. Poichè bbimo ssunto che P si σ-dditiv e osservndo che l Proposizione 1.1 non utilizz l numerbilità dello spzio cmpionrio, bbimo P ({η}) = N lim N + pp i=1 η i (1 p) N P N i=1 η i. Osservimo or che se ( N i=1 η i) N/2 si h p P N i=1 η i p N/2, mentre se ( N i=1 η i) < N/2 si h (1 p) N P N i=1 η i (1 p) N/2 ; in ogni cso poiché p (, 1). p P N i=1 η i (1 p) N P N i=1 η i ( mx{p, (1 p)} ) N/2 N, In entrmbi gli esempi ppen visti, l funzione P ( ) viene definit dpprim in un fmigli di insiemi semplici. Si può dimostrre, in entrmbi i csi, che P non si può estendere tutto P(Ω) in modo che l P estes risulti σ-dditiv. Dobbimo dunque ridimensionre l obbiettivo inizile di estendere P tutto P(Ω). Questo conduce ll seguente definizione. Definizione 4.3 Si Ω un insieme, e A P(Ω). Dicimo che A è un σ-lgebr se (i) A. 11

3 (ii) Se A A llor A c A. (iii) Se (A n ) n è un successione di elementi di A, llor n A n A. Si noti che, per (i) e (ii), Ω A. Inoltre A è chiuso per unione finit (ogni fmigli finit {A 1,..., A n } di elementi di A può essere complett in un successione ponendo A k = per k > n, senz modificrne l unione). Infine usndo l identità n A n = ( n Ac n) c, si vede che un σ lgebr è chius per intersezione, si di un fmigli finit si di un successione. Nel seguito, un coppi (Ω, A) formt d un insieme e d un σ-lgebr di suoi sottoinsiemi verrà chimt spzio misurbile. Definizione 4.4 Si (Ω, A) uno spzio misurbile. Un funzione P : A [, 1] si dice probbilità (o misur di probbilità) se vlgono le seguenti proprietà: (P1) P (Ω) = 1. (P2) (σ-dditività) Per ogni successione (A n ) n N di elementi di A due due disgiunti, si h ( + ) + P A n = P (A n ). n= In ltre prole, l nozione di probbilità su un insieme generle Ω è definit dllo stesso sistem di ssiomi dell probbilità su spzi discreti, con l differenz che l probbilità è definit su un σ lgebr di sottoinsiemi di Ω che non necessrimente coincide con P(Ω). L tern (Ω, A, P ), dove (Ω, A) è uno spzio misurbile e P è un probbilità su (Ω, A), verrà chimt spzio di probbilità. In nlogi qunto ftto nel cso discreto, Ω srà chimto spzio cmpionrio e gli elementi di A srnno chimti eventi. Esttmente come nel cso discreto, si mostr che in uno spzio di probbilità vle l dditività finit: per ogni A 1, A 2,..., A N A due due disgiunti, ( N ) N (4.3) P A n = P (A n ). n= I risultti contenuti nel prgrfo 1.2 continuno vlere nel contesto più generle or or introdotto, ptto di restringere i risultti ll σ-lgebr degli eventi. Per completezz, rienuncimo i risultti principli, le dimostrzioni dei quli sono identiche quelle dte per spzi di probbilità discreti. Proposizione 4.5 Si (Ω, A, P ) uno spzio di probbilità e sino A, B A. Allor vlgono le seguenti proprietà: n= n= (i) P (A c ) = 1 P (A). 12

4 (ii) Se A B llor In prticolre P (B \ A) = P (B) P (A). P (A) P (B). (iii) In prticolre P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). P (A B) P (A) + P (B). Proposizione 4.6 Si (Ω, A) uno spzio misurbile, e P : A [, 1] un funzione che soddisf (P1) e l dditività in (4.3). Allor le seguenti proprietà sono equivlenti: () P è σ-dditiv. (b) Per ogni successione crescente di eventi (A n ) n 1 (tle cioè che A n A n+1 per ogni n 1) si h P A n = lim P (A n). n + n 1 (c) Per ogni successione decrescente di eventi (A n ) n 1 (tle cioè che A n A n+1 per ogni n 1) si h P A n = lim P (A n). n + n 1 Tornimo or l problem enuncito negli esempi 4.1 e 4.2. In entrmbi i csi vevmo definito un funzione P : I [, 1], dove I = fmigli degli intervlli in [, 1] nell Esempio 4.1, e I = fmigli degli insiemi del tipo {ω : ω 1 = x 1,..., ω N = x N } nell Esempio 4.2. È fcile vedere che in entrmbi i csi I non è un σ-lgebr. Il problem è llor di trovre un σ-lgebr A contenente I, e un probbilità su (Ω, A) che estend l P originri. L scelt dell σ-lgebr A si può fre in modo cnonico, grzie l seguente risultto. Proposizione 4.7 Si Ω un insieme rbitrrio. (i) Se {A α : α I} è un fmigli di σ-lgebre di sottoinsiemi di Ω indicizzt d un insieme rbitrrio I, llor α I A α è un σ-lgebr di sottoinsiemi di Ω. (ii) Si I P(Ω). Allor esiste un minim σ-lgebr A contenente I, ossi I A, e se A è un σ-lgebr contenente I llor A A. Tle σ-lgebr è denott con σ(i), e chimt l σ-lgebr genert d I. Dimostrzione. (i) L dimostrzione è semplice, ed è lscit l lettore come esercizio. 13

5 (ii) Si Ξ = {A P(Ω) : I A, A è un σ-lgebr}. Notre che Ξ, essendo P(Ω) Ξ. Per (i), A = A Ξ è un σ-lgebr contenente I, e, per definizione, A A per ogni σ-lgebr A contenente I. Tornndo gli Esempi 4.1 e 4.2, si vuole mostrre che esiste un probbilità che estende P definit lmeno in σ(i). Tle problem di estensione è ltmente non bnle, e l di là degli scopi di questo corso. È possibile dimostrre che, per entrmbi gli esempi, esiste effettivmente un unic probbilità che estende P σ(i). Inoltre, è possibile estendere P d un σ-lgebr più grnde di σ(i), m non tutto P(Ω). Osservzione 4.8 Se (Ω, P ) è uno spzio di probbilità discreto, llor si può identificre con lo spzio di probbilità (Ω, P(Ω), P ). 4.2 Vribili csuli Definizione 4.9 Si (Ω, A, P ) uno spzio di probbilità, e si (E, E) uno spzio misurbile. Un funzione X : Ω E si dice vribile csule vlori in (E, E) se per ogni C E si h X 1 (C) A. Dunque, se X è un vribile csule e C E, llor P (X C) := P (X 1 (C)) è ben definit. Definizione 4.1 Se X è un vribile csule vlori in (E, E), l mpp si dice distribuzione dell vribile csule X. A µ X : E [, 1] C P (X C) L dimostrzione del seguente risultto è lscit per esercizio l lettore. Proposizione 4.11 L distribuzione µ X di un vribile csule X vlori in (E, E) è un probbilità su (E, E). L nozione di vribile csule dipende dll scelt dell σ-lgebr sull insieme E. Nel cso in cui E = R, R d o C sceglieremo come σ-lgebr l cosidett σ-lgebr di Borel B(R), B(R d ), B(C), definit come l σ-lgebr genert di sottoinsiemi perti. Tle scelt verrà sempre sottointes nel seguito. Come nel cso discreto, chimeremo sclri, vettorili e complesse le vribili csuli vlori, rispettivmente, in R, R d, C. In complet nlogi col cso discreto, dimo l seguente definizione. 14

6 Definizione 4.12 Sino X 1, X 2,..., X n vribili csuli definite sullo stesso spzio di probbilità (Ω, A, P ) vlori rispettivmente negli spzi misurbili (E 1, E 1 ), (E 2, E 2 ),..., (E n, E n ). Esse si dicono indipendenti se per ogni scelt di A 1 E 1, A 2 E 2,..., A n E n si h (4.4) P (X 1 A 1, X 2 A 2,..., X n A n ) = n P (X i A i ). Infine, per un vribile csule sclre X, definimo l funzione di riprtizione F X (x) = P (X x). Le proprietà dell funzione di riprtizione contenute nell Proposizione 3.57 continuno vlere nel cso generle, come si vede dl ftto che l dimostrzione dell Proposizione 3.57 è corrett nche in spzi di probbilità generli. Inoltre, l stess dimostrzione ust nell Proposizione 3.58 mostr che i=1 F X (x) F X (x ) = P (X = x). Si noti come l identità precedente, nel cso di vribili csuli discrete, permett di mostrre che se due vribili csuli hnno l stess funzione di riprtizione, llor hnno l stess distribuzione. Tle ffermzione è ver nche nel cso generle, m omettimo l dimostrzione di questo ftto. Proposizione 4.13 Sino X e Y due vribili csuli vlori in R, tli che F X = F Y. Allor µ X = µ Y. 4.3 Vlor medio (cenni) L nozione generle di vlor medio esul dgli scopi di questo corso. Pertnto, in questo prgrfo, verrnno dte le definizioni e i risultti principli, senz dettgli e dimostrzioni. Per grntire l coerenz di qunto vedremo or con qunto visto per spzi di probbilità discreti, introducimo or l nozione di vribile csule discret nel contesto più generle. Definizione 4.14 Si (Ω, A, P ) uno spzio di probbilità, (E, E) uno spzio misurbile tle che, per ogni x E si bbi {x} E, e si X un vribile csule vlori in (E, E). Diremo che X è un vribile csule discret se X(Ω) è finito o numerbile. Per un vribile csule discret è possibile definire l densità p X (x) = P (X = x) = P (X 1 ({x})). Se E = R, non h però lcun senso definire il vlor medio di X trmite l formul E(X) = ω Ω X(ω)P ({ω}): negli esempi 4.1 e 4.2 bbimo inftti visto che P ({ω}) = per ogni ω Ω, e quindi ogni vlor medio srebbe nullo. Tuttvi, vendo disposizione l densità, è nturle definire E(X) trmite l relzione (4.5) E(X) := x p X (x), x X(ω) 15

7 se l serie in (4.5) converge ssolutmente; in cso contrrio diremo che l vribile csule X non mmette vlor medio. Vedimo or come si estend l nozione di vlor medio vribili csuli generli. Nel seguito, se X è un vribile csule sclre, definimo X + = mx(x, ) e X = min(x, ). Si noti che X +, X e X = X + X. Definizione 4.15 Si X un vribile csule sclre. Se X, definimo E(X) = sup{e(y ) : Y X, Y è un vribile csule discret} [, + ]. (in prticolre, E(X) è dto d (4.5) se X è discret). Per un X generle, diremo che X mmette vlor medio se E(X + ) < + e E(X ) < +, e in tl cso E(X) = E(X + ) E(X ). Infine, se X è un vribile csule compless, posto X = Re(X) + iim(x), dicimo che X mmette vlor medio se Re(X) e Im(X) mmettono entrmbe vlor medio, e in questo cso ponimo E(X) = E(Re(X)) + ie(im(x)). Contrrimente l cso discreto, le dimostrzioni di lcune delle proprietà fondmentli del vlor medio sono non bnli, e non verrnno trttte in questo corso. Proposizione 4.16 Sino X, Y due vribili csuli sclri o complesse, definite nello stesso spzio di probbilità (Ω, A, P ). Allor vlgono le seguenti proprietà: (i) (Monotoni) Se X, Y sono vlori reli, entrmbe mmettono vlor medio e X(ω) Y (ω), llor E(X) E(Y ). (ii) X mmette vlor medio se e solo se X mmette vlor medio, e in tl cso E(X) E( X ). (iii) (Linerità) Se X e Y mmettono vlor medio e, b C, llor l vribile csule X + by definit d (X + by )(ω) = X(ω) + by (ω), mmette vlor medio e E(X + by ) = E(X) + be(y ). Si or g : R R, e X un vribile csule vlori in R. In generle non è detto che g(x) := g X si un vribile csule. Per verne l grnzi, occorre ssumere che g si un funzione misurbile, cioè per ogni A B(R) si h che g 1 (A) B(R). 16

8 L misurbilità è un proprietà piuttosto debole; d esempio tutte le funzioni continue trtti sono misurbili. Si rimnd d un testo più vnzto per un discussione più pprofondit sull rgomento. Se g è misurbile, h senso chiedersi se g(x) mmette vlor medio. È possibile dimostrre che tnto il ftto che g(x) mmett vlor medio, qunto eventulmente il vlore di tle vlor medio, dipendono solo dll distribuzione di X. In ltre prole, se X e Y hnno l stess distribuzione e g è misurbile, llor g(x) mmette vlor medio se e solo se g(y ) mmette vlor medio, e in cso ffermtivo i due vlori medi sono uguli. Poichè i polinomi sono funzioni continue, e perciò misurbili, nlogmente l cso discreto, si possono definire Vrinz, Covrinz e momenti e funzione genertrice dei momenti di un vribile csule. I risultti contenuti nei prgrfi 3.5 e 3.7 sono vlidi in questo contesto più generle. 4.4 Vribili csuli ssolutmente continue Comincimo con l introdurre lcune notzioni, e lcune preciszioni tecniche. In qunto segue dremo per not l nozione di integrle di Riemnn f(x) dx, dove f : [, b] R. Vle tuttvi l pen di ricordre lcuni ftti fondmentli. 1. L integrle proprio di Riemnn viene definito per un clsse di funzioni limitte, dette Riemnn-integrbili (tlvolt diremo, semplicemente, integrbili). Tutte le funzioni f : [, b] R limitte tli che per ogni y [, b] i limiti destro e sinistro lim f(x), x y lim f(x), x y esistono finiti (solo il primo se y = e solo il secondo se y = b), sono Riemnnintegrbili. In prticolre sono integrbili le funzioni continue e quelle monotone. 2. Si f : [, b] R un funzione continu trtti: supponimo cioè che esist un sottoinsieme finito N [, b] tle che f è continu in ogni punto x [, b]\n. Se inoltre i limiti destro e sinistro di f esistono finiti nei punti di N, llor f è Riemn-integrbile e, definit l funzione integrle F : [, b] R medinte F (x) := x f(t)dt, si h che F è continu su [, b] e derivbile in ogni punto di [, b] \ N, con F (x) = f(x), x [, b] \ N. Vicevers, si F : [, b] R un funzione C 1 trtti: supponimo cioè che F si continu su [, b] e che esist un sottoinsieme finito N [, b] tle che F si derivbile in ogni punto di [, b] \ N, e che F si continu in ogni punto di [, b] \ N. Assumimo inoltre che per ogni y N esistno finiti i limiti lim F (x), x y lim F (x). x y 17

9 Allor se definimo { F f(x) := (x) se x [, b] \ N un vlore rbitrrio ltrimenti, si h che f è Riemnn-integrbile e vle inoltre l relzione F (x) = x f(t)dt, x [, b]. I risultti ppen enunciti costituiscono il Teorem fondmentle del clcolo integrle. 3. Si possono definire vrie forme generlizzte di integrle di Riemnn. Ad esempio se f : (, b] R è Riemnn integrbile su ogni intervllo [ + ɛ, b] con ɛ (, b ), e il limite lim f(x)dx ɛ +ɛ esiste finito, dicimo che f è integrbile in senso generlizzto su [, b], e il suo integrle f(x)dx è dto dl limite precedente. In modo nlogo definimo l integrle generlizzto di f : [, b) R. Se f è integrbile in senso generlizzto su [, c] e su [c, b] diremo che è integrbile in senso generlizzto su [, b] e ponimo f := c In ltre prole, con quest definizione ottenimo, qundo possibile, l integrle di un funzione f : [, b] \ {c} R che, d esempio, non mmett limite finito in c. Questo procedimento si estende in modo evidente funzioni f : [, b] \ N R, dove N è un insieme finito. Si or f : [, + ) R un funzione che ssumimo Riemnn-integrbile (nche nel senso generlizzto ppen visto) su ogni intervllo [, c], e per cui il limite c lim c + f + c f(x)dx esiste finito. Allor dicimo che f è integrbile in senso generlizzto su [, + ) e ponimo f(x)dx := lim c + c f. f(x)dx. In modo nlogo definimo l integrbilità su semirette del tipo (, b]. Infine, se f : R R è integrbile su (, ] e su [, + ) llor dicimo che f è integrbile in senso generlizzto su R e ponimo f(x)dx := f(x)dx + f(x)dx. 18

10 4. Non è difficile fornire generlizzzioni del Teorem fondmentle del clcolo integrle funzioni integrbili nel senso generlizzto ppen descritto. Ad esempio, se f : R R è continu trtti ed è integrbile in senso generlizzto su R, llor, posto F (x) = x f(t)dt, si h che F (x) = f(x) per ogni x in cui f è continu. Vicevers, se F : R R è un funzione C 1 trtti, llor l funzione F (definit in modo rbitrrio nei punti in cui F non è derivbile) è integrbile su R in senso generlizzto e, per ogni x R, si h F (x) = x F (t)dt. Definizione 4.17 Si (Ω, A, P ) uno spzio di probbilità, e X : Ω R un vribile csule. Dicimo che X è ssolutmente continu se esiste f X : R [, + ) integrbile su R in senso generlizzto tle che, se F X (x) := P (X x) è l funzione di riprtizione di X, si h (4.6) F X (x) = x Un tle funzione f X viene dett densità di X. f X (t)dt. Osservzione 4.18 Prendendo il limite x nell relzione (4.6) e usndo l continuità dl bsso dell probbilità, si ottiene che l densità f X soddisf l seguente relzione: (4.7) f X (x) dx = 1. Osservzione 4.19 Se X è un vribile csule ssolutmente continu, l definizione 4.17 non identific l su densità f X in modo unico. Inftti, se f X è un densità di X, ogni funzione g per cui (4.8) x g(t)dt = x f X (t)dt per ogni x R, è un densità di X. Ad esempio, se g è ottenut d f X modificndone il vlore in un numero finito di punti, llor (4.8) vle. Quest mbiguità nell nozione di densità di un vribile csule ssolutmente continu non porterà tuttvi lcun problem. Spesso diremo, improprimente, che un cert funzione f è l densità di X. Dll definizione 4.17 seguono fcilmente lcune proprietà delle vribili csuli ssolutmente continue, che rccoglimo nelle seguenti osservzioni. Osservzioni Come bbimo visto, l relzione P (X = x) = F X (x) F X (x ) vle per tutte le vribili csuli vlori in R. Se X è ssolutmente continu, l su funzione di riprtizione F X (x) = 19 x f X (t)dt

11 è, per il Teorem fondmentle del clcolo integrle, un funzione continu, e pertnto F X (x) = F X (x ) per ogni x R. Quindi, se X è ssolutmente continu, per ogni x R. 2. Per ogni, b [, + ], b, si h P (X = x) = Si noti che P (X (, b]) = P (X b) P (X ) = f X (t)dt. P (X [, b]) = P (X (, b]) + P (X = ) = P (X (, b]), per qunto bbimo ppen visto. In modo nlogo, si mostr che P (X [, b]) = P (X (, b]) = P (X [, b)) = P (X (, b)) = f X (t)dt. 3. Si X un vribile csule vlori in R tle che l funzione di riprtizione F X si C 1 trtti. Dl Teorem fondmentle del clcolo integrle, richimto in precedenz, segue che X è un vribile csule ssolutmente continu, e ogni funzione f tle che f(x) = F X (x) per ogni x in cui F X è continu è un densità di X. Enuncimo or il seguente risultto fondmentle, omettendo l dimostrzione, che richiede tecniche più vnzte. Teorem 4.21 Si X un vribile csule ssolutmente continu con densità f X. Si inoltre g : R R un funzione misurbile tle che g(x)f X (x) e g(x) f X (x) sino integrbili in senso generlizzto su R. Allor g(x) mmette vlor medio e E[g(X)] = g(x)f X (x)dx. Enuncimo or senz dimostrzione un ltro risultto, che rppresent l nlogo dell formul (3.44), dimostrt per le vribili csuli discrete. Teorem 4.22 In uno stesso spzio di probbilità (Ω, A, P ), sino definite X e Y due vribili csuli ssolutmente continue, indipendenti, con densità rispettivmente f X e f Y. Allor, per ogni z R, le funzioni x f X (x)f Y (z x) e x f X (z x)f Y (x) sono integrbili in senso generlizzto su R. Inoltre l vribile csule X + Y è ssolutmente continu, e un su densità è dt d f X+Y (z) = f X (x)f Y (z x)dx = f X (z x)f Y (x)dx. 11

12 4.5 Esempi di vribili csuli ssolutmente continue Vribili csuli uniformi Sino, b R con < b. Un vribile csule ssolutmente continu X vlori in R si dice uniforme su [, b], e scrivimo X U(, b), se f X (x) = 1 b 1 [,b](x). È nturle interpretre un vribile csule X U(, b) come un punto scelto cso su [, b]. Le vribili uniformi possono essere simulte l clcoltore, d specili progrmmi chimti genertori di numeri csuli. Essi sono ll bse di numerosi lgoritmi, detti lgoritmi stocstici. Clcolimo or medi e vrinz di X U(, b). d cui E(X) = 1 b E(X 2 ) = 1 b xdx = + b 2. x 2 dx = 2 + b + b 2, 3 V r(x) = E(X 2 ) E 2 (X) = L funzione genertrice dei momenti vle γ X (t) = E(e tx ) = 1 b (b )2. 12 e tx dx = etb e t t(b ). Le vribili csuli uniformi possono essere uste come ingredienti per costruire vribili csuli vlori in R con distribuzione rbitrri. Inftti, come mostr il seguente risultto, dt un qulunque vribile csule X vlori in R, esiste un funzione misurbile f : [, 1] R tle che, se Y U(, 1), X e f(y ) hnno l stess distribuzione. Proposizione 4.23 Si X un vribile csule vlori in R, e si F X l su funzione di riprtizione. Considerimo l funzione f : R R così definit f(x) := { se x oppure x 1 inf{z : F X (z) x} se x (, 1). Allor f è un funzione misurbile e, se Y U(, 1), le vribili csuli X e f(y ) hnno l stess distribuzione. Dimostrzione. Omettimo l dimostrzione dell misurbilità di f. Si Z := f(y ). Pe mostrre che X e Z hnno l stess distribuzione, è sufficiente mostrre che F X = F Z. Si llor x R rbitrrio, e mostrimo che (4.9) F X (x) = F Z (x), 111

13 cioè P (X x) = P (Z x). Per dimostrrlo, considerimo y (, 1). Notre che f(y) x inf{z : F X (z) y} x. Poiché F X è crescente inf{z : F X (z) y} x F X (x) y. Poiché P (Y (, 1)) = 1, bbimo llor che F Z (x) = P (f(y ) x) = P ({f(y ) x} {Y (, 1)}) = P ({F X (x) Y } {Y (, 1)}) = P (F X (x) Y ) = F X (x), dove bbimo usto il semplice ftto che, se Y U(, 1) e c [, 1], llor P (Y c) = c Vribili csuli Gmm. Vribili csuli esponenzili Comincimo col ricordre l definizione dell funzione Gmm di Eulero: Γ(α) = x α 1 e x dx, ben definit per α > (perché?). Il vlore di Γ(α) è noto esplicitmente per vri vlori di α. Inftti, osservndo che e che, integrndo per prti si h Γ(α + 1) = Γ(1) = e x dx = 1 x α e x dx = x α e x + + α Γ(n) = (n 1)! x α 1 e x dx = αγ(α), per n N \ {}. Inoltre, se α = 1 2, usndo il cmbimento di vribile x = y2, Γ(1/2) = x 1/2 e x dx = 2 ove si è usto il noto vlore dell integrle di Guss e y2 dy = e y2 dy = π. e y2 dy = π, Dunque, usndo ncor l relzione Γ(α + 1) = αγ(α), si trov, per n N \ {} ( Γ n + 1 ) 2 = π 112 n 1 k= ( k + 1 ). 2

14 Notimo nche che se nell definizione di Γ operimo il cmbio di vribili x = λy, con λ >, ottenimo Γ(α) = ossi λ α y α 1 e λy dy, 1 Γ(α) λα x α 1 e λx dx = 1. Ciò grntisce l bontà dell seguente definizione. Un vribile csule sclre ssolutmente continu X è dett vribile csule Gmm di prmetri α, λ >, se f X (x) = 1 Γ(α) λα x α 1 e λx 1 [,+ ) (x). In tl cso scriveremo X Γ(α, λ). Si h, se X Γ(α, λ), E(X) = λα Γ(α) x α e λx dx = 1 λγ(α) ricordndo che Γ(α + 1) = αγ(α). Anlogmente E(X 2 ) = λα Γ(α) x α+1 e λx dx = 1 λ 2 Γ(α) λ α+1 x α e λx dx = 1 λγ(α) Γ(α + 1) = α λ, λ α+2 x α+1 e λx dx = 1 α(α + 1) λ 2 Γ(α+2) = Γ(α) λ 2, d cui, fcilmente, V r(x) = α λ 2. Tutti questi clcoli si srebbero potuti fre fcilmente clcolndo l funzione genertrice dei momenti. Inftti γ X (t) = e tx f X (x)dx = λα Γ(α) Quest ultimo integrle è finito solo per t < λ, e in tl cso e quindi γ X (t) = x α 1 e (λ t)x dx = Γ(α) (λ t) α, { ( α λ λ t) per t < λ + ltrimenti. x α 1 e (λ t)x dx Il seguente risultto illustr un proprietà molto importnte delle vribili csuli Gmm. Proposizione 4.24 Sino X Γ(α, λ) e Y Γ(β, λ) indipendenti. Allor X + Y Γ(α + β, λ). 113

15 Dimostrzione. Usndo il Teorem (4.22), per z > bbimo: f X+Y (z) = f X (z x)f Y (x)dx = λα λ β 1 Γ(α)Γ(β) (,+ ) (z x)(z x) α 1 e λ(z x) 1 (,+ ) (x)x β 1 e λx dx = λα λ β Γ(α)Γ(β) e λz z (z x) α 1 x β 1 dx = λα λ β Γ(α)Γ(β) e λz z α+β 1 1 (1 t) α 1 t β 1 dt, dove nell ultimo pssggio bbimo usto il cmbio di vribile x = zt. Ne segue che f X+Y (z) è proporzionle z α+β 1 e λz, e quindi è necessrimente l densità di un Γ(α + β, λ). Osservzione 4.25 Si noti che dll dimostrzione precedente segue l non ovvi identità Γ(α)Γ(β) Γ(α + β) = 1 (1 t)α 1 t β 1 dt. Di grnde interesse pplictivo sono lcuni csi prticolri di vribili csuli Gmm. Se X Γ(1, λ), dicimo che X è un vribile csule esponenzile di prmetro λ, e scriveremo X Exp(λ). Si noti che in questo cso f X (x) = λe λx 1 [,+ ) (x). Tli vribili csuli si possono interpretre come l nlogo continuo delle vribili csuli Geometriche. Esse, inftti, soddisfno d un proprietà di perdit di memori del tutto nlog quell delle vribili csuli Geometriche. Proposizione 4.26 Si X Exp(λ). Allor per ogni s, t > Dimostrzione. Osservndo che e che P (X s + t X > s) = P (X > t). P (X s + t X > s) = P (X s) = il risultto desiderto segue immeditmente. s P (X s + t), P (X s) e λx dx = e λs, Come per le vribili csuli Geometriche, si può dimostrre che le vribili csuli esponenzili sono le uniche vribili csuli ssolutmente continue vlori reli positivi per cui vle l precedente proprietà di perdit di memori. L dimostrzione di tle ftto è omess. Le vribili csuli esponenzili sono normlmente uste come modelli per tempi di ttes : tempo di decdimento di tomi rdiottivi, tempo intercorrente tr due terremoti successivi, tempo intercorrente tr l rrivo di due clienti d uno sportello,.... Un ltr clsse di vribili Gmm che hnno grnde rilevnz soprttutto in sttistic sono le vribili χ 2. Se n 1 è un numero nturle, e X Γ ( n 2, 1 2), dicimo che X è un vribile csule χ 2 con n grdi di libertà, e scrivimo X χ 2 (n). Vedremo più vnti un esempio in cui ppiono vribili csuli di questo tipo. 114

16 4.5.3 Vribili csuli Normli o Gussine Un vribile csule sclre ssolutmente continu X si dice Normle o Gussin stndrd, e si scrive X N(, 1), se f X (x) = 1 2π e x2 2. Notre che si trtt di un buon definizione dto che È fcile vedere che, se X N(, 1) e x2 2 dx = 2π. E(X) = 1 2π xe x2 2 dx = dto che l integrndo è un funzione dispri (e Riemnn-integrbile in senso generlizzto). Inoltre, integrndo per prti, E(X 2 ) = V r(x) = 1 [ x 2 e x2 1 ] 2 dx = xe x2 2 e x2 2 dx = 1. 2π 2π Si or Y N(, 1), µ R e σ >, e definimo X = σy + µ. Dlle proprietà elementri di medi e vrinz, si vede che E(X) = µ, V r(x) = σ Per determinre l densità di X procedimo come segue. ( F X (x) = P (X x) = P (σy + µ x) = P Y x µ ) σ ( ) x µ = F Y. σ Essendo Y un vribile csule ssolutmente continu con densità continu, F Y, e dunque F X, è di clsse C 1. Perciò f X (x) = F X(x) = 1 ( ) x µ σ F Y = 1 ( ) x µ σ σ f Y σ (4.1) = 1 (x µ)2 e 2σ 2. 2πσ 2 Un vribile csule l cui densità è dt d (4.1) si dice Normle o Gussin di medi µ e vrinz σ 2, e si scrive X N(µ, σ 2 ). Pssndo per l funzione di riprtizione come nell rgomento precedente, si dimostr (esercizio!) che se X N(µ, σ 2 ) e, b R,, llor X + b N(µ + b, 2 σ 2 ). 115

17 In prticolre X µ N(, 1). σ Le vribili csuli Normli sono senz ltro le più uste nelle ppliczioni. Detto in modo grossolno, questo è perchè ogni qul volt un quntità letori è l somm di molte quntità letorie indipendenti, llor l su distribuzione è pprossimtivmente Gussin. Un versione przile, m rigoros, di tle ffermzione, verrà dt nel prossimo cpitolo, con il Teorem Limite Centrle. Anche per le vribili csuli Gussine è fcile clcolre l funzione genertrice dei momenti. Si X N(, 1). γ X (t) = 1 e tx 1 2 x2 dx. 2π L integrle precedente viene clcolto usndo il metodo del completmento dei qudrti, molto utile per integrli gussini. Si trtt di osservre che Pertnto tx 1 2 x2 = 1 2 (x t)2 + t2 2. γ X (t) = e t e 1 2 (x t)2 dx. 2π 1 Si osservi che 2π e 1 2 (x t)2 è l densità di un vribile csule Gussin di medi t e vrinz 1, e quindi il suo integrle è 1. Ne segue che γ X (t) = e t2 2. Per clcolre l funzione genertrice di un generic Gussin si procede come segue. Si Y N(µ, σ 2 ). D qunto sopr osservto, Y si può scrivere nell form Y = σz + µ, con Z := (Y µ)/σ N(, 1). M llor γ Y (t) = E (e t(σz+µ)) = e tµ E ( e tσz) = e tµ γ Z (tσ) = e tµ e t2 σ 2 2. L proprietà enuncit nell seguente proposizione è di estrem importnz. Proposizione 4.27 Sino X N(µ 1, σ1 2) e Y N(µ 2, σ2 2 ) indipendenti. Allor X + Y N(µ 1 + µ 2, σ σ 2 2). Dimostrzione. Inizimo col supporre µ 1 = µ 2 =. Dl Teorem (4.22), si h f X+Y (z) = f X (z x)f Y (x)dx [ 1 = exp 1 ] [ 2πσ 1 σ 2 2σ1 2 (z x) 2 exp 1 ] 2σ2 2 x 2 dx [ ] [ 1 1 = exp 2πσ 1 σ 2 2(σ1 2 + exp 1 ( 1 σ2 2 )z2 2 σ ) ] σ2 2 (x ξ) 2 dx, 116

18 dove ξ = σ 2 σ 1 σ 2 1 +σ 2 2 z. Utilizzndo il ftto che [ exp 1 ( 1 2 σ σ 2 2 ) ] ( 1 (x ξ) 2 dx = 2π σ σ 2 2 ) 1, con un po di clcoli si trov f X+Y (z) = ] 1 [ 2π(σ σ2 2) exp 1 2(σ1 2 +, σ2 2 )z2 cioè X + Y N(, σ σ2 2 ). L proposizione è dunque dimostrt nel cso µ 1 = µ 2 =. In generle, per qunto ppen visto, bbimo che (X µ 1 ) + (Y µ 2 ) N(, σ σ2 2 ), d cui segue che X + Y = (X µ 1 ) + (Y µ 2 ) + µ 1 + µ 2 N(µ 1 + µ 2, σ σ2 2 ). 4.6 Clcoli con densità: lcuni esempi Esempio 4.28 Si X N(, 1) e Y = X 2. Allor Se invece x F Y (x) = se x <. F Y (x) = P (X 2 x) = P ( x X x) = P (X x) P (X < x) dove si è usto il ftto che = F X ( x) F X ( x), P (X < x) = P (X x) = F X ( x) (perchè?). Dunque F Y è C 1 su R \ {}, continu su R, e dunque f Y (x) = F Y (x) = 1 2 [ F x X ( x) + F X( x) ] = 1 2 [ fx ( x) + f X ( x) ] 1 x [,+ ) (x) = 1 e x/2 1 [,+ ) (x), 2xπ ossi Y χ 2 (1) = Γ( 1 2, 1 2 ). Esempio 4.29 Sino X 1, X 2,..., X n N(, 1) indipendenti. Dll Esempio 4.28 e dll Proposizione 4.24, segue che ( n X1 2 + X Xn 2 Γ 2, 1 ) = χ 2 (n)

19 Esempio 4.3 Sino X, Y Exp(λ) indipendenti. Definimo Z = mx(x, Y ) e W = min(x, Y ). Voglimo determinre l distribuzione di Z e W. Qunto visto nel cso discreto nell Proposizione 3.6 rigurdo ll funzione di riprtizione del mssimo e del minimo di vribili csuli indipendenti continu vlere per vribili csuli generiche, in qunto non veniv ust l discretezz dello spzio di probbilità. Perciò F Z (x) = F X (x)f Y (x) = F 2 X(x), F W (x) = 1 (1 F X (x))(1 F Y (x)) = 1 (1 F X (x)) 2. Essendo F X (x) = F Y (x) = [1 e λx ]1 [,+ ) (x), bbimo che F Z e F W sono di clsse C 1 trtti, e dunque e In prticolre, W Exp(2λ). f Z (x) = 2F X (x)f X (x) = 2λ(1 e λx )e λx 1 [,+ ) (x), f W (x) = 2(1 F X (x))f X (x) = 2λe 2λx 1 [,+ ) (x). 118