Categoria Student Per studenti del quarto e quinto anno della scuola media superiore. I quesiti dal N.1 al N. 10 valgono 3 punti ciascuno

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1 Categoria Student Per studenti del quarto e quinto anno della scuola media superiore I quesiti dal N. al N. 0 valgono 3 punti ciascuno. Risposta B) Per soddisfare le condizioni sulle righe, la coppia di numeri non noti può essere solo (,7) oppure (,6); la coppia (,7) non può soddisfare la condizione data sulle colonne, per cui i numeri non noti sono e 6, e 6 è il maggiore.. Risposta C) x = -y 0; poiché 008 è pari, x 008 = y Risposta B) Vengono cancellate righe e 0 colonne; restano quindi righe e colonne che determinano celle. 4. Risposta B) Se p è dispari, p 4 + è pari, quindi è primo solo se p =. L unico numero primo che soddisfa la proprietà richiesta è allora. 5. Risposta D) In B arriva dell acqua iniziale direttamente dal ramo 3 minore della prima biforcazione a cui si aggiungono i 8 maggiore della prima biforcazione; in totale del ramo =. 6. Risposta D) Detta x la misura di ciascuno degli angoli DBC e DCB, uguali tra loro perché angoli alla base del triangolo isoscele BDC, la misura dell angolo ADC, supplementare di CDB, è x. Inoltre, sempre perché angoli alla base di un triangolo isoscele, CAB = DBC = x e ACD = ADC = x e l angolo ACB misura 3x. Sommando i tre angoli del triangolo ABC abbiamo 5x = 80 o, quindi x =36 o e la misura di ACB è 08 o. 7. Risposta B) Il primo saggio può affermare con certezza che la somma delle due carte in mano al secondo saggio è pari se e solo se le quattro carte, rimaste dopo che lui ne ha prese tre, sono tutte pari o tutte dispari. Poiché le carte pari nel mazzo sono solo tre, devono essere

2 rimaste le quattro dispari. Il primo saggio ha allora pescato il, il 4 e il 6, con somma. 8. Risposta B) Il raggio del cerchio è 5 e il centro del cerchio ha coordinate (3,0). Per il teorema di Pitagora l ordinata di D è d = 5 9 = Risposta A) Moltiplicando le due equazioni membro a membro, otteniamo x 3 y 3 z 3 = 7 ; quindi xyz = Risposta E) La somma delle 4 cifre (, 8 e le due incognite) deve essere divisibile per 3: la somma delle due cifre incognite potrà quindi valere, 5, 8,, 4 o 7; il numero delle possibili scelte di coppie ordinate di cifre nei vari casi è rispettivamente 3, 6, 9, 8, 5 e, la cui somma è 33. I quesiti dal N. al N. 0 valgono 4 punti ciascuno. Risposta E) Per ottenere coppie con la proprietà richiesta occorre sommare a 9 un numero positivo, quindi abbiniamo 5 a 9 e la somma dei numeri di ogni coppia deve essere 4; concludiamo che 5 non può essere abbinato ad alcun altro numero.. Risposta A) A e B sono vertici opposti di un parallelepipedo con lati di lunghezza 3, e quindi la lunghezza di AB è Risposta D) Il quarto (in ordine crescente di difficoltà) problema può 8 valere al massimo = 8 punti mentre il secondo deve valere almeno 0 + =6 punti. Poiché i problemi hanno tutti punteggi diversi, il punteggio del problema intermedio è 7; questo lascia per la coppia con punteggi maggiori l unica scelta (8,0) e per quella con punteggi minori (6,4). Sommando i punteggi si ottiene 35.

3 4. Risposta B) 3 canguri sono mono o bicolori e sull insieme di questi sono stati usati 0 volte il bianco, 3 il rosso e 5 il nero, quindi sono state eseguite 58 colorazioni diverse (in quanto su canguri diversi o di colore diverso). Se ogni canguro fosse bicolore occorrerebbero 6 colorazioni, quindi 4 canguri sono di un unico colore e gli altri 7 bicolori. 5. Risposta A) L area della regione ombreggiata può essere calcolata sottraendo all area del triangolo equilatero che ha come vertici i centri dei tre cerchi la somma delle aree dei tre settori circolari che tale triangolo interseca nei tre cerchi, ciascuno con angolo al centro di 60 o. Il triangolo ha lato, e i cerchi hanno raggio quindi l area vale π Risposta E) Detta n la misura dello spigolo più corto, le misure degli altri spigoli sono n e 4n, quindi il volume del parallelepipedo misura 8n 3 ; poiché n è intero, la misura del volume deve essere multiplo di 8, e nessuno dei numeri proposti lo è. 7. Risposta C) La frazione è positiva perché quoziente di due numeri negativi; osservando che tra due numeri negativi il maggiore è quello di valore assoluto minore concludiamo che essa è minore di. 8. Risposta C) Osserviamo preliminarmente che, dato un segmento AB ed un punto P sulla stessa retta, la somma delle distanze PA + PB è minima (uguale alla lunghezza di AB) quando P appartiene al segmento stesso. Nel problema assegnato sarà allora necessario e sufficiente prendere P interno sia al segmento A A 5 che al segmento A A 4 per minimizzare la somma PA + PA + PA 4 + PA 5 ; è ora evidente che la scelta migliore di P all interno di tale segmento è il punto A 3.

4 9. Risposta B) Le possibili scelte di 3 punti tra i assegnati sono = 3 0?; le scelte di 3 punti allineati sono 4 per ogni riga più le 4 colonne e le 4 diagonali formate da 3 punti: in totale 0. Facendo il rapporto tra i casi favorevoli (3 punti allineati) e tutti i casi possibili otteniamo. 0. Risposta B) Dal disegno, che mostra tutte e quattro le facce adiacenti al 3 si deduce che la faccia opposta al 3 è il 5; questo ci dà la quarta faccia adiacente all, e concludiamo che la faccia opposta all è il 4; le coppie di facce opposte sono allora (,4), (,6) e (3,5). I numeri sulle facce che si toccano sono allora: sul primo dado da destra, le coppie (,6) e (,4) sui due dadi successivi, e 3 o 5 sull ultimo dado a sinistra. Nei due casi la somma sarebbe rispettivamente 8 e 0: sapendo che c è una risposta giusta, si può già scegliere 0. Osserviamo comunque che il primo dado da destra ci dice che la faccia 3 è sulla faccia libera del quarto dado. I quesiti dal N. al N. 30 valgono 5 punti ciascuno. Risposta C) Dei 4 movimenti possibili determinati dal secondo lancio, solo fa tornare la pedina al punto di partenza: la probabilità è quindi 4.. Risposta B) Scomponendo = (3 6 +) (3 8 +) (3 4 +) (3 +) (3+)(3-) è facile vedere che 8 = (3 4 +) e 80 = (3 +) (3+)(3-) sono suoi fattori; il loro prodotto vale Risposta A) Dovendo essere 56 la somma degli addendi in prima e seconda colonna, senza riporto dalla terza, le due cifre mancanti nella terza riga dei prodotti parziali sono, nell ordine, 4 e 5: il primo fattore del prodotto quindi è 45; i prodotti parziali di prima e seconda riga,

5 multipli di 45, sono rispettivamente 60 e 904 e il risultato della moltiplicazione è 56500, con somma delle cifre Risposta B) Dalla seconda equazione, con la somma di frazioni scritta con denominatore comune, si ottiene xy + yz + xz = 0. Poiché = x + y + z abbiamo = (x + y + z) = x + y + z + (xy + yz + xz) = x + y + z. 5. Risposta C) Per k, si ha a k+ a k- = (-) k k + (-) k- (k-) = da cui a k+ = a + k = k, e a k+ a k = (-) k+ (k+) +(-) k k = - da cui a k+ = a k = -(k+). 008 è allora l elemento di indice 008+ = Risposta E) Consideriamo i punti T AB, T BC e T AC in cui il cerchio è tangente ai lati rispettivamente AB, BC e CD e osserviamo che ED = DT AB + ET AC, quindi il perimetro del triangolo ADE è uguale a AT AB + AT AC. Da T AB B + T AC C = BT BC + T BC C = BC concludiamo che ADE ha perimetro 6+5-3=8. 7. Risposta E) Il romboide ombreggiato in figura ha, per simmetria, le diagonali ortogonali tra loro. Detto O il centro del quadrato, la diagonale OM ha lunghezza. Per calcolare la lunghezza dell altra diagonale, osserviamo che i segmenti OB e CM generano, nel trapezio OMBC, due triangoli simili, con basi BC e OM che sono una il doppio dell altra. Allora l altezza relativa alla base OM nel triangolo minore, che è metà della diagonale orizzontale, è della corrispondente altezza nel triangolo maggiore, dunque 3 dell altezza del trapezio: ha quindi lunghezza 6. L area cercata è allora.

6 8. Risposta A) Detta a la lunghezza dello spigolo di un cubo, il triangolo ABC ha i lati AB, BC e AC lunghi rispettivamente a, a 3 e a 5. La relazione pitagorica caratterizza i triangoli rettangoli, dunque AC è l ipotenusa di un triangolo rettangolo, con angolo retto ABC. 9. Risposta E) Gli ottagoni sono disposti su tre file, contenenti rispettivamente 0, e 0 ottagoni e sono collegati tra di loro dai loro stessi lati, da 9 sbarrette orizzontali che collegano in alto gli ottagoni della fila alta e 9 che collegano in basso gli ottagoni della fila bassa. Occorre tener conto del fatto che ci sono sbarrette che fungono da lato per due diversi ottagoni; possiamo contarle notando che ogni ottagono della fila alta e ogni ottagono della fila bassa ha due lati in comune con un ottagono della fila centrale, quindi 80 lati sono comuni a due ottagoni. Il numero di sbarrette in figura sarà allora = Risposta D) Le coppie di cifre consecutive che compaiono nel numero possono essere solo 7, 34, 5, 68, 85, 3, 46, 69 e 9, e la seconda cifra di ognuna deve essere la prima della coppia successiva di cifre del numero. Osserviamo che dopo la coppia 46 possiamo mettere 8 o 9, mentre tutte le altre scelte sono vincolate. La scelta di 8 porta a sequenze che terminano in,,3 o 4 passi, con parte finale 8, 85, 85 o 857, e le coppie 68, 85, 5 e 7 possono comparire solo in queste sequenze. Le altre coppie possono invece collegarsi in una sequenza ciclica dove si ripete la cinquina I numeri con la proprietà richiesta sono allora i 5, distinti, formati dalle ripetizioni della cinquina a partire da una sua qualunque cifra (terminando alla cifra opportuna), più i 4 ottenuti aggiungendo all ultimo 6 della sequenza ciclica le code 8, 85, 85, 857 (partendo dalla cifra opportuna della cinquina).

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