Reti Complesse Biologiche

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1 Reti Complesse Biologiche Corso di Modelli di Sistemi Biologici II Università di Roma Sapienza Anno Accademico 2008/2009 Fabrizio De Vico Fallani, PhD Dipartimento di Fisiologia Umana e Farmacologia fabrizio.devicofallani@uniroma1.it

2 Organizzazione del seminario 1. Introduzione alle reti 2. Reti complesse nei sistemi biologici 3. Esercitazione De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 2

3 Introduzione alle reti Prima parte De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 3

4 Cosa è una rete? Per rete si intende comunemente una serie di componenti, sistemi o entità interconnessi tra di loro Il concetto di rete viene formalizzato mediante un modello matematico chiamato grafo In un grafo, i vertici (o nodi) rappresentano le entità mentre gli spigoli (o archi) rappresentano le connessioni tra le entità costituenti la rete Arco Nodo De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 4

5 Caratteristiche della rete La cardinalità di una rete, intesa come il numero dei nodi che la compongono, appartiene all intervallo [0 ] Gli archi di una rete possono essere direzionati (di-grafi) o non-direzionati (grafi), pesati o non-pesati Grafo non-pesato e non direzionato Grafo pesato e direzionato De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 5

6 La rete come modello della realtà Le reti sono in grado di descrivere una grande varietà di fenomeni fisici ed astratti I nodi di una rete possono rappresentare entità diverse e gli archi un qualsiasi tipo di interazione Connessioni neuronali (rete fisica) Tratte aeree (rete astratta) De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 6

7 Esempi di reti reali Rete Sociale Grafo non-pesato Fernand Sophie Albert Eugeniè Franz Nodi = Persone Archi = Legame di conoscenza De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 7

8 Esempi di reti reali Rete Autostradale Grafo pesato Pescara Roma 207 Firenze Napoli 261 Bari Nodi = Città Archi = Distanza in Km De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 8

9 Esempi di reti reali Albero Genealogico Di-grafo non-pesato Victor Sophie e Fernand Albert e Eugeniè Claire Franz Nodi = Persone Archi = Legame di discendenza De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 9

10 Esempi di reti reali Reti Cerebrali (funzionali) Di-grafo pesato Area uditiva Area motoria Area linguaggio 5 Area visiva 2 Area emozioni Nodi = Aree cerebrali Archi = Quantità d informazione De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 10

11 Studio delle reti L analisi delle proprietà topologiche delle reti deve avvenire mediante l utilizzo di appropriati metodi matematici ed oggettivi La Teoria dei Grafi è lo strumento capace di estrarre le informazioni caratteristiche della rete (pubblicato nel 1998) De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 11

12 La teoria dei grafi Il primo testo che prende in considerazione i grafi come entità matematiche è la pubblicazione di Eulero (1736) sui "Sette ponti di Königsberg" E possibile con una passeggiata seguire un percorso che attraversa ogni ponte una e una volta sola e tornare al punto di partenza? De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 12

13 Definizione di grafo Dato un insieme non vuoto V e una famiglia E di sottoinsiemi di V tale che, per ogni e є E, 1 e 2, la coppia G = (V,E) dicesi un grafo 1 G = (V,E) : V = {1, 2, 3, 4, 5} 5 2 E = {(1,2), (1,5), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5)} 4 3 De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 13

14 Rappresentazione di un grafo Il modo più conveniente per descrivere un grafo è la matrice di adiacenza A Grafo G Matrice di adiacenza A L arco tra il nodo i ed il nodo j viene rappresentato nella matrice di adiacenza ponendo ad 1 l elemento in corrispondenza della riga i e della colonna j De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 14

15 Matrici di adiacenza per grafi e di-grafi I grafi non-direzionati hanno sempre matrici di adiacenza simmetriche I grafi direzionati hanno generalmente matrici di adiacenza asimmetriche Quando si usano le matrici di adiacenza è fondamentale sapere a priori se si sta parlando di grafi o di-grafi De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 15

16 Matrici di adiacenza per grafi pesati I grafi pesati presentano un numero reale associato ad ogni arco. In questo modo, la matrice di adiacenza è composta da numeri reali De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 16

17 Misure per grafi non-pesati Densità Grado di un nodo Distribuzione del grado Distanza tra nodi Efficienza globale Efficienza locale De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 17

18 Densità La densità K di un grafo è il rapporto tra il numero di archi esistenti L e il numero totale di archi possibili L tot In un grafo di N nodi il numero massimo di archi è N*(N-1)/2. Per cui, K = L/L tot = 2*L / N(N-1) N = 5 L = 6 K = (2*6) / (5*4) = 0,6 La densità di una rete misura il livello di connettività generale del sistema. Per K=0, la rete non possiede connessioni, per K=1 la rete è completamente connessa De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 18

19 Grado di un nodo Il grado g di un nodo è il numero di archi connessi a quel nodo In un grafo di N nodi il numero massimo di archi che un nodo può avere è N-1 g(1) = 2 g(2) = 4 g(3) = 1 g(4) = 3 g(5) = 2 Il grado di un nodo misura l importanza di un nodo all interno della rete. Più alto è il grado, più importante è la presenza di quel nodo per l intero sistema De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 19

20 Distribuzione del grado La distribuzione del grado P(g) è il rapporto tra il numero dei nodi che hanno grado g e il numero totale dei nodi P(g) misura la probabilità che un nodo estratto a caso abbia esattamente g connessioni. 0,4 P 0,3 0,2 De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 20 0, La distribuzione del grado permette di capire come le connessioni all interno di una rete si distribuiscono fra i nodi g

21 Distanza fra nodi La distanza d(i,j) fra due nodi i e j in un grafo è data dal percorso più breve che li collega Un percorso è una sequenza di archi che collega due nodi in un grafo. In genere, possono esistere nodi per i quali non esiste alcun percorso che li colleghi, i.e. d = Matrice delle distanze D = x x x x x La distanza misura il livello di interazione fra due elementi in un rete. Più è grande la distanza, meno è forte l interazione De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 21

22 Efficienza globale L efficienza globale E g di un grafo è data dalla media dei reciproci delle distanze fra tutte le coppie di nodi (Latora e Marchiori, 2001): 2 E = 1 g N( N 1) d( i, j) i j D = x x x x x N = 5 E g = 0,1*(1 +0,5+1+0, ,5+0,5+1) = 0,8 L efficienza globale misura quanto è efficiente la comunicazione fra tutti gli elementi di una rete. Per un grafo completamente connesso E g =1, per un grafo vuoto E g =0 De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 22

23 Efficienza locale L efficienza locale E l di un grafo è data dalla media delle efficienze globali calcolate su tutti i sottografi S di G E l = 1 N Un grafo con N nodi presenta N sottografi. Ciascun sottografo si ottiene rimuovendo un nodo alla volta e considerando il grafo formato dai nodi adiacenti a quello appena rimosso N i= 1 E g ( S i ) S 1 S 2 G L efficienza locale misura la tendenza della rete a formare dei sottogruppi (i.e. clusters) di elementi fortemente connessi De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 23

24 Misure per di-grafi non-pesati Densità Gradi di un nodo Distribuzione dei gradi Distanza tra nodi Efficienza globale Efficienza locale De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 24

25 Densità (di-grafo) La densità K di un di-grafo è il rapporto tra il numero di archi esistenti L e il numero totale di archi possibili L tot In un di-grafo di N nodi il numero massimo di archi è N*(N-1). Per cui, K = L/L tot = L / N*(N-1) N = 5 L = 7 K = 7/(5*4) = 0,35 De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 25

26 Gradi di un nodo (di-grafo) In un di-grafo si parla di grado in ingresso g in e grado in uscita g out intendendo, rispettivamente, il numero degli archi entranti in un nodo ed uscenti da esso g in : g out : Un alto grado in ingresso indica che un elemento nella rete è influenzato da un gran numero di altre unità. Un alto grado in uscita indica un elevato numero di potenziali obiettivi De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche

27 Distribuzioni dei gradi (di-grafo) In un di-grafo la distribuzione del grado in ingresso P(g in ) è il rapporto tra il numero dei nodi che hanno grado g in e il numero totale dei nodi. Equivalentemente, la distribuzione del grado in uscita P(g out ) è il rapporto tra il numero dei nodi che hanno grado g out e il numero totale dei nodi P 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 IN OUT g De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 27

28 Distanza tra nodi (di-grafo) La distanza d(i,j) fra due nodi i e j in un di-grafo è data dal percorso direzionato più breve che li collega In generale, se esiste un percorso direzionato dal nodo i al nodo j può non essere vero il contrario Matrice delle distanze D = x 1 x x x x De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 28

29 Efficienza globale (di-grafo) L efficienza globale E g di un di-grafo è data dalla media dei reciproci delle distanze fra tutte le coppie di nodi E g = 1 N( N 1) i j 1 d( i, j) D = x 1 x x x x N = 5 E g = 0,05 * ( , ,5+1+0,5+1+0,5+0,5) = 0,525 De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 29

30 Efficienza locale (di-grafo) L efficienza locale E l di un di-grafo è data dalla media delle efficienze globali calcolate su tutti i sottografi direzionati S di G E l = 1 N i= 1 Un di-grafo con N nodi presenta N sottografi. Ciascun sottografo si ottiene rimuovendo un nodo alla volta e considerando il grafo formato dai nodi adiacenti a quello appena rimosso N E g ( S i ) S 1 S 2 G De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 30

31 Modelli di riferimento per una rete Grafo regolare Grafo casuale De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 31

32 Grafo regolare Il grafo regolare è il modo più semplice di concepire un grafo Nel grafo regolare ogni nodo è connesso ai suoi M vicini, formando una struttura a reticolo G A N = 20 M = 6 L = 60 K = 2*60 / 20*19 = 0,316 De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 32

33 Caratteristiche del grafo regolare Grado Distribuzione del Grado ,8 g P 0,6 0,4 2 0, N g Efficienza globale 0,59 Efficienza locale 0,78 De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 33

34 Il grafo casuale (o random) Il grafo casuale è stato concettualizzato per la prima volta da Erdòs e Rènyi (1959), come modello alternativo al grafo regolare Nel grafo casuale due nodi sono connessi con una probabilità p fissata G A N = 20 p = K = 0,316 De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 34

35 Caratteristiche del grafo casuale Grado Distribuzione del Grado ,8 Distribuzione di Poisson ,6 0,4 2 0, Efficienza globale Efficienza locale 0,64 0,35 De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 35

36 Conclusioni Nel grafo regolare tutti i nodi hanno lo stesso grado, mentre nel grafo casuale il grado si distribuisce secondo una legge poissoniana ( N ) Il grafo regolare presenta un elevata tendenza a formare gruppi distanti di nodi (alta efficienza locale), mentre nel grafo casuale tutti i nodi sono indifferentemente vicini (alta efficienza globale) I modelli regolari e casuali mostrati hanno caratteristiche opposte ma nessuno dei due riesce a cogliere le proprietà delle reti reali, le quali presentano in generale proprietà più complesse De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 36

37 Riferimenti bibliografici V. Latora, M. Marchiori (2001) Efficient Behavior of Small-World Networks, Phys. Rev. Lett. 87, Erdős, P.; Rényi, A. (1959). "On Random Graphs. I.". Publicationes Mathematicae 6: De Vico Fallani - Reti Complesse Biologiche 37