Analisi Matematica II

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1 Analisi Matematica II Limiti e continuità in R N Claudio Saccon 1 1 Dipartimento di Matematica, Via F. Buonarroti 1/C,56127 PISA claudio.sacconchiocciolaunipi.it sito web: orario di ricevimento: Venerdì mattina alle 9.30 Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) Analisi Matematica II 1 / 24

2 Topologia di R N Conveniamo di usare il bold per indicare i punti di R N : x = (x 1,..., x N ). Disco Se x 0 R N e r > 0 chiamiamo disco di centro x 0 e raggio r l insieme { } B(x 0, r) := x R N : x x 0 < r Diremo anche che B(x 0, r) è un intorno di x 0 in R N. Se A R N e x R N diciamo che: x è interno ad A se esiste r > 0 tale che B(x, r) A; x è esterno ad A se esiste r > 0 tale che B(x, r) A = ; x è di frontiera per A se non è né interno né esterno ad A r x punto di frontiera A r x punto interno r x punto esterno laudio Saccon (Dipartimento di Matematica) Analisi Matematica II 2 / 24

3 Topologia di R N È chiaro che le tre definizioni date sopra si escludono mutuamente e che ogni punto di R N ricade in una delle tre. Quindi, dato A R N, lo spazio R N si spezza in tre insiemi disgiunti. Sia A un sottoinsieme di R N. Definiamo: la parte interna di A: int(a) := { x R N : x è interno ad A } ; la frontiera di A: A := { x R N : x è di frontiera per A } ; la parte esterna di A: ext(a) := { x R N : x è esterno ad A }. Se CA = R N \ A è il complementare di A: A = (CA), ext(a) = int(ca) A si dice aperto se tutti i suoi punti sono interni, cioè A = int(a). laudio Saccon (Dipartimento di Matematica) Analisi Matematica II 3 / 24

4 Topologia di R N Diremo che x è aderente ad A se x è interno oppure di frontiera per A: x int(a) A. Chiamiamo chiusura di A l insieme dei punti aderenti ad A: Ā := int(a) A. Diremo che A è chiuso se A = Ā (tutti punti aderenti ad A sono in A). Se A è un insieme generico non è detto che sia né aperto nè chiuso; si ha: Ā = A A da cui int(a) A Ā. Diremo che x è di accumulazione per A se per ogni r > 0 esiste un punto x 1 x tale che x 1 B(x, r). Chiameremo derivato di A l insieme A dei punti di accumulazione per A. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) Analisi Matematica II 4 / 24

5 Topologia di R N Esempio Consideriamo in R 2 il disco unitario A := B(0, 1) = { x R 2 : x < 1 }. Allora A è aperto; A = S := { x R 2 : x = 1 } (la sfera unitaria); S è chiuso; Ā = { x R 2 : x 1 }. In generale A è chiuso, per qualunque insieme A. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) Analisi Matematica II 5 / 24

6 Limiti in R N definizione di limite Siano A R N un insieme, f : A R una funzione e x 0 in R N un punto di accumulazione per A. Un numero reale l si dice limite di f per x che tende a x 0, e si scrive lim f (x) = l x x 0 se per ogni ε > 0 esiste ρ > 0 tale che x x 0, x A, x x 0 < ρ = f (x) l < ε Spesso, quando il punto x 0 è chiaro dal contesto useremo la scrittura più concisa f (x) l. Con il linguaggio degli intorni l = lim x x 0 f (x) se: per ogni intorno V di l in R esiste un intorno U di x 0 in R N tale che: x A U, x x 0 = f (x) V. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) Analisi Matematica II 6 / 24

7 Limiti in R N limiti infiniti Siano A R N, f : A R e x 0 in R N un punto di accumulazione per A. Dico che f (x) tende a più (meno) infinito per x che tende a x 0 e scrivo lim f (x) = + ( ) x x 0 se per ogni c R esiste ρ > 0 tale che x x 0, x A, x x 0 < ρ = f (x) > c (f (x) < c). Se ricordiamo che gli intorni di + ( ) sono le semirette ]c, + [ (], c[) al variare di c in R, anche i casi infiniti rientrano nella definizione con gli intorni. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) Analisi Matematica II 7 / 24

8 Limiti in R N Non ha senso fare il limite per x ± se N > 1. Si può però definire il limite all infinito di f : l = lim f (x) x (l R oppure l = ± ) se per ogni intorno V di l esiste R > 0 tale che: x > R, x A = f (x) V. Per questa definizione è necessario che A sia illimitato ( di accumulazione per A ). Limitatezza Diremo che A è limitato se esiste una costante M tale che x M per ogni x A. In caso contrario diciamo che A è illimitato. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) Analisi Matematica II 8 / 24

9 Proprietà dei limiti in R N valgono tutte le vecchiè proprietà Qui sotto sottintendiamo che x x 0 Se il limite esiste, allora è unico: se f (x) l 1 e f (x) l 2, allora l 1 = l 2. Se f (x) l e f (x) 0 in un intorno di x 0, allora l 0. Se f (x) l > 0, allora f (x) > 0 in un intorno di x 0. Se f 1 (x) l, f 2 (x) l e f 1 (x) f (x) f 2 (x), allora f (x) l. Se f 1 (x) l 1 R e f 2 (x) l 2 R, allora: f 1 (x) + f 2 (x) l 1 + l 1, f 1 (x)f 2 (x) l 1 l 1 In particolare il limite è lineare: c 1 f 1 (x) + c 2 f 2 (x) c 1 l 1 + c 2 l 2, dove c 1, c 2 R; inoltre se l 2 0 f 1(x) f 2 (x) l 1 l2. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) Analisi Matematica II 9 / 24

10 Proprietà dei limiti in R N È ancora vero che infinitesima per limitata è infinitesima: f 1 (x) 0, f 2 (x) limitata f 1 (x)f 2 (x) 0. Le proprietà rispetto alla somma e al prodotto si estendono ai casi infiniti (come in analisi 1) usando le solite convenzioni + + = +, =, l(+ ) = +, l( ) =, se l ]0, + ], l(+ ) =, l( ) = +, se l [, 0[, 1 + = 1 0+, = 1 0, 0 + = +, 1 0 =. Qui la scrittura f (x) l + (f (x) l ) indica che f (x) l e f (x) > l (f (x) < l)per x in un intorno di l. Al solito, nei casi non coperti sopra, non è possibile determinare a priori il limite risultante; in questo caso si parla di forme indeterminate Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) Analisi Matematica II 10 / 24

11 Proprietà dei limiti in R N La seguente è una facile conseguenza della definizione. Si ha: lim f (x) = l se e solo se lim f (x) l = 0 x x 0 x x 0 Un altra proprietà semplice è la seguente: Se indichiamo x = (x 1,..., x N ) e x 0 = (x 0,1,..., x 0,N ), allora: lim x x 0 x i = x 0,i se i = 1,..., N Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) Analisi Matematica II 11 / 24

12 Limiti sulle restrizioni Siano B A R N e supponiamo che x 0 sia di accumulazione per B (e quindi per A). Se f : A R, allora: ( ) lim f (x) = l lim f B (x) = l x x 0 x x 0 (f B indica la restrizione di f a B e l [, + ].) restrizione alle curve lim f (x) = l x x 0,x B Siano A R N, f : A R e x 0 A. Se lim f (x) = l ( [, + ]), x x 0 allora per ogni curva γ : [a, b] R N tale che γ(a) = x 0, γ(t) A per t ]a, b], si ha lim f (γ(t)) = l. t a + Per fare il limite di f (x), per x che tende a x 0, bisogna esplorare tutti i possibili modo di avvicinarsi a x 0 dentro A. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) Analisi Matematica II 12 / 24

13 Esercizi Studiare i limiti: xy 1 lim ; (x,y) (0,0) x 2 +y 2 xy 2 lim 2 ; (x,y) (0,0) x 2 +y 2 x y 3 lim 2 ; (x,y) (0,0) x 2 +y 2 4 lim (x,y) (0,0) y sin ( x y x(x y 5 lim 2 ). (x,y) (0,0) x 2 +y 4 ) ; Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) Analisi Matematica II 13 / 24

14 Limiti in R N di funzioni vettoriali Possiamo anche trattare il caso generale di f : A R M, dove A R N anche qui usiamo il bold per indicare che f(x) = (f 1 (x),..., f M (x)). definizione generale di limite Se x 0 A e l R M diciamo che l è il limite di f per x che tende a x 0, e scriviamo lim x x 0 f (x) = l se per ogni ε > 0 esiste ρ > 0 tale che x x 0, x A, x x 0 N < ρ = f(x) l M < ε Anche qui scriveremo spesso f(x) l (per x x 0 ). Potremmo usare la definizione con gli intorni che sarebbe identica a quella scritta prima. Nel caso generale non hanno senso i limiti infiniti neanche in arrivo. Si può trovare la scrittura lim f(x) = per dire che lim f(x) M = + x x 0 x x 0 laudio Saccon (Dipartimento di Matematica) Analisi Matematica II 14 / 24

15 limite per componenti Non è difficile ricondurre il limite di funzioni vettoriali a quello di funzioni scalari. limite delle componenti Se f : A R M, con A R N, x 0 A e l R M, allora sono equivalenti: lim f(x) = l x x 0 per ogni j = 1,..., M si ha lim f j (x) = l j ; x x 0 dove abbiamo indicato f(x) = (f 1 (x),..., f M (x)) e l = (l 1,..., l M ). La vera novità sta nelle N variabili in partenza. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) Analisi Matematica II 15 / 24

16 Proprietà dei limiti nel caso generale Se il limite esiste, allora è unico. Se f 1 (x) l 1 e f 2 (x) l 2 e se c 1, c 2 R allora: c 1 f 1 (x) + c 2 f 2 (x) c 1 l 1 + c 2 l 1 (x x 0 ) Se f 1 (x) l 1 R e f 2 (x) l 2 R M, allora f 1 (x)f 2 (x) l 1 l 2. Se f 1 (x) l 1 R M e f 2 (x) l 2 R M, allora f 1 (x) f 2 (x) l 1 l 2 e f 1 (x) f 2 (x) l 1 l 2. Supponiamo A R N, B R M, f : A Be g : B R K. Se x 0 A, l B, l 1 R K e se f(x) l (per x x 0 ), g(y) l 1 (per y l) e se f(x) l per ogni x, allora g(f(x)) l 1 (per x x 0 ). Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) Analisi Matematica II 16 / 24

17 Continuità Definizione di funzione continua Siano A R N, f : A R M e x 0 un punto di A. Diciamo che f è continua in x 0 se: lim f(x) = f(x 0 ), nel caso in cui x 0 sia di accumulazione per A, x x 0 SEMPRE, se x 0 non è di accumulazione per A. Al solito diciamo che f è continua in A se f è continua in tutti ipunti di A. f è continua in x 0 se e solo se tutte le componenti f 1,..., f M sono continue in x 0. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) Analisi Matematica II 17 / 24

18 Proprietà delle funzioni continue Siano A R N, x 0 A e f, f 1, f 2 : A R M continue in x 0.. (linearità) Se c 1, c 2 R, allora c 1 f 1 + c 2 f 2 è continua in x 0. (prodotto per una funzione scalare) Se g : A R è continua in x 0, allora gf è continua in x 0. (prodotti scalare e vettoriale) f 1 f 2 e f 1 f 2 sono continue in x 0. (composizione) Se f(a) B, f(x 0 ) = y 0, se g : B R K è continua in y 0, allora g f (x g(f(x))) è continua in x 0 continuità dell inversa Il problema della continuità della funzione inversa f 1 : f(a) A, qualora essa esista, non è per nulla elementare (già in una variabile c è qualche problema, ma in quel caso l invertibilità è legata alla monotonia, cosa che non si traduce in più variabili). Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) Analisi Matematica II 18 / 24

19 Controesempio Consideriamo γ : [0, 2π[ R 2 definita da γ(t) = cos(t) i + sin(t) j. È chiaro che γ è continua e manda l intervallo I = [0, 2π[ nella circonferenza S = { (x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1 }. Inoltre γ è bigettiva tra I ed S (perché 2π / I ) e quindi esiste γ 1 : S I. Notiamo che γ 1 manda il punto P di coordinate (0, 1) in t = 0. Però γ 1 non è continua in P, infatti preso un intorno V di 0 in R non c è nessun intorno U di P in R 2 che sia mandato tutto dentro V da γ 1. Intuitivamente γ 1 rompe la circonferenza nel punto P. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) Analisi Matematica II 19 / 24

20 Proprietà delle funzioni continue Theorem (Weierstrass) Supponiamo che f : A R (f è scalare!) sia continua in A e che A sia un sottoinsieme limitato e chiuso di R N. Allora f ammette massimo e minimo in A, cioè esistono due punti x max e x min in A tali che: f (x min ) f (x) f (x max ) x A. Al solito x max e xmin (non necessariamente unici) sono detti punto di minimo e punto di massimo. Il valore min f = min f (x) := f (x min) è A x A detto minimo di f su A mentre il valore max f = max f (x) := f (x max) è A x A detto massimo di f su A. Theorem (invertibilità) Sia f : A R M continua in A con A sia un sottoinsieme limitato e chiuso di R N. Se esiste f 1 : f(b) A, allora f 1 è continua. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) Analisi Matematica II 20 / 24

21 Una versione di Weierstrass Supponiamo che A sia un aperto di R N e che f : A R sia una funzione continua. Supponiamo anche: per ogni x 0 in A si ha lim f (x) = + ( ); x x 0 inoltre lim x f (x) = + ( ) (questo ha senso se A è illimitato). Allora f ha un punto di minimo (un punto di massimo) in A. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) Analisi Matematica II 21 / 24

22 Connessione Insiemi connessi Un insieme A R N si dice connesso (per archi) se comunque dati due punti P, Q in A esiste una curva γ in A che li congiunge: γ : [a, b] A (continua), γ(a) = P, γ(b) = Q Theorem (Teorema degli zeri) Sia A R N connesso e sia f : A R una funzione continua. Supponiamo che P e Q siano due punti di A tali che f (Q) < 0 e f (P) > 0. Allora ogni curva γ in A, che congiunge P a Q deve incontrare uno zero di f : se γ : [a, b] A, γ(a) = P, γ(b) = Q alllora t ]a, b[ t.c. f (γ(t)) = 0. laudio Saccon (Dipartimento di Matematica) Analisi Matematica II 22 / 24

23 Altri esercizi Studiare il limite lim f (x, y) per le seguenti funzioni di due variabili, (x,y) (0,0) dopo aver trovato il dominio di f. 1 f (x, y) := x2 y x 4 +3y 2 ; 2 f (x, y) := x4 +y 4 2x 3 +3xy 2 ; 3 f (x, y) := x3 x 2 +y 2 4 f (x, y) := x2 +y 2 x+y ; 5 f (x, y) := x3 y 2 x 2 +y 4 ; 6 f (x, y) := (x2 +y 2 ) α (al variare di α > 0). x 4 +y 4 xy 7 f (x, y) := x 2 +y 2 1 Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) Analisi Matematica II 23 / 24

24 Altri esercizi - soluzioni 1 Dominio={x 0, y 0}, il limite non esiste. Provare le restrizioni sulle rette y = mx e sulla parabola y = x 2. 2 Dominio={x 0}, il limite non esiste. Provare le restrizioni sulla retta y = 0 e sulla parabola x = y 2. 3 Dominio={x 0, y 0}, il limite fa zero. 4 Dominio={x y}, il limite non esiste. Provare le restrizioni sulle rette y = mx e sulla curva y = x 2 x. 5 Dominio={x 0, y 0}, il limite fa zero.usare la disuguaglianza x 3 y 2 x 2 2 (x 2 + y 4 ) (come mai vale?). 6 Dominio={x 0, y 0}. Il limite fa + se α < 2 per questo si usi che x 2 + y 2 x 4 + y 4 (come mai vale?). Il limite non esiste se α = 2 provare le restrizioni sulle rette y = mx. Il limite fa zero se α > 2 usare che x 2 + y 2 2 x 4 + y 4. 7 Dominio={x 2 + y 2 > 1}. Il limite non ha senso visto che (0, 0) non è di accumulazione. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) Analisi Matematica II 24 / 24