E e B sono inscindibili tra loro e vale la

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1 Onde elettromagnetiche nel vuoto le onde e.m. sono costituite da un campo elettrico e da uno magnetico variabili nel tempo che si propagano in fase tra loro obbediscono al principio di sovrapposizione in quanto nelle equazioni di Maxwell i campi E e B entrano in forma lineare sono onde trasversali la direzione di E, di B e della velocita dell onda V sono legate dalla regola della mano destra possono propagarsi nel vuoto dove viaggiano con velocita si propagano nei mezzi materiali con velocita pari a E e B sono inscindibili tra loro e vale la B = E V v = c 1 = εµ 1 εµ 0 0

2 nelle equazioni di Maxwell e implicitamente espressa l esistenza delle onde ettromagnetiche nello spazio libero, senza cariche e correnti, si ha E = 0 B E = t sfruttando l uguaglianza notevole B = 0 E B =µε 0 0 t ( E) = E ( E) 2 e la prima equazione di Maxwell si ha ( E) = 2 E

3 applicando l operatore rotore alla terza equazione di Maxwell e sfruttando la quarta equazione di Maxwell si ha ( E) E = ( µε ) 0 0 t t uguagliando i due termini t µε 0 0 E t = 2 E 2 E µε = t 2 E 3

4 ossia 2 1 E c 2 2 t = 2 E equazione di onde tridimensionali che si propagano nel vuoto con velocità c = 1 εµ 0 0 approfondimenti in aula

5 le onde e.m. sono onde trasversali, E e B sono perpendicolari fra loro, il verso di propagazione è E B e il rapporto dei moduli di E e B è uguale alla velocità di propagazione dell onda assumiamo di avere e monocromatiche ossia in coordinate cartesiane onde piane armoniche, E= ( E i+ E j+ E ke ) ˆ ˆ ˆ x y z B= ( Bi+ B j+ Bke ) ˆ ˆ ˆ x y z ikr ( ωt) ikr ( ωt) E= Ee e B= Be 0 ikr ( ωt) ikr ( ωt) per semplicità solo progressive, k, il vettore d onda, per definizione ha direzione e verso concordi al senso di propagazione dell onda e 0

6 se si avra dunque e k= kiˆ ˆ ˆ x + ky j+ kk e z k r= kx+ ky+ kz x y z E= ( E iˆ+ E ˆj+ E ke ˆ ) x y z B= ( Biˆ+ B ˆj+ Bke ˆ ) x y z r = xiˆ+ yj ˆ+ zkˆ ( + + ωt) ikx k y kz x y z ( x + y + z ωt) ikx k y kz

7 E t dunque dove ikr ( ωt) = Ee 0 t Ex E t = i per la divergenza si ha = E iˆ ω = = iωee E E E e 0 x 0 ikr ( ωt) E E E = x + y + x y z ( ) x + y + z ωt ikx k y kz z E x x ikx ( ) x + kyy+ kz z ωt ikx ( ) = E e x + kyy+ kz z ωt = ik E e 0 x x x 0x

8 e analogamente per le componenti y e z dunque ossia E = ike ( + ke + ke ) e E = ik E x 0 y 0 z 0 x y z ( x + y + z ωt) ikx k y kz

9 infine per il rotore si ha E = ik E riassumendo: E t = i ω E B t = i ω B E = ik E E = ik E B= ik B B= ik B

10 secondo le equazioni di Maxwell nel vuoto sia il campo elettrico che quello magnetico hanno divergenza nulla ma divergenze nulle k E=k B = 0 cioè campi perpendicolari alla direzione di propagazione dell onda ovvero onde trasversali inoltre le equazioni di Maxwell nel vuoto stabiliscono che B E = t ma B t = iωb per cui E = iωb inoltre si aveva E = ik E quindi ik E=iωB ossia k E= ωb

11 analogamente per B si ha E B= ik B= εµ = iωe 0 0 t ricapitolando k E=ωB k B= ε μ ωe 0 0 e cio significa che k, E e B sono reciprocamente perpendicolari tra loro

12 se ˆn e il versore che indica posto k ˆn E = = knˆ ω B k si ha = cb k E cioe = kn ˆ E ˆn E = = ωb cb ^ e cio significa che n, E, e B E c B = costituiscono una terna ortogonale destrorsa la direzione di propagazione dell onda ^

13 ^ ad es. se la propagazione fosse lungo l asse delle x ossia lungo i e se il campo elettrico avesse una componente sia nella direzione y che in z si avrebbe E= E ˆj + Ekˆ y z ikr ( ωt) ˆ ikr ( ωt) = E e j+ E e kˆ y0 z0 ˆn iˆ ne conseguirebbe che B= B ˆj + Bkˆ y z E ( ) E 0 ( ) z0 e ikr ωt ˆ j y e ikr ωt = + k ˆ c c

14 ricordando l espressione del prodotto vettoriale di due vettori in coordinate cartesiane si ha nˆ E= (n E Eb) iˆ+ (n E ne) ˆj + (n E ne ) kˆ y z z y z x x z x y y x se l onda si propaga lungo l asse delle ascisse ˆn i ˆ= 1i ˆ+0j ˆ+0kˆ quindi nˆ E= Eˆj + Ekˆ z y e dato che cb = n ˆ E risulta E E B= z ˆj+ y kˆ c c

15 se E fosse lungo una direzione stabile (onda polarizzata linearmente), per ^ ^ esempio lungo j, allora anche B resterebbe lungo k quanto detto vale anche per onde sferiche e cilindriche

16 il campo elettrico e quello magnetico oscillano in fase tra loro

17 Polarizzazione delle onde e.m. per definire la polarizzazione dell onda e.m. si fa riferimento al comportamento del solo campo elettrico attenzione : dell onda si assume che l osservatore stia guardando verso la sorgente y z x

18 Polarizzazione lineare un onda e.m. e polarizzata linearmente quando un osservatore fermo in un punto dello spazio y vede il campo elettrico oscillare, sempre nella stessa direzione al passar del tempo z nel piano ortogonale alla direzione di propagazione dell onda, x

19 Polarizzazione ellittica o circolare un onda elettromagnetica polarizzata ellitticamente, o circolarmente e detta levogira quando un y osservatore fermo in un punto dello spazio vede la direzione del campo elettrico ruotare, z nel piano ortogonale alla direzione di propagazione dell onda, in senso antiorario, al passar del tempo x mentre viene detta destrogira se la rotazione avviene in senso orario

20 Onde e.m. non polarizzate se la direzione delle componenti del campo elettrico, nel piano ortogonale alla direzione di propagazione, varia al trascorrere del tempo in modo completamente casuale si parla di onde non polarizzate

21 POLARIZZATORI es. occhiali polaroid vale la Legge di Malus I = I 2 0 cos ϑ mostrare lenti polaroid

22 dalle equazioni di Maxwell si deduce anche che un onda e.m. esercita su di una superficie perfettamente assorbente una pressione, la pressione di radiazione p r = I c Sorgenti di onde e.m. le sorgenti di onde elettromagnetiche sono le cariche elettriche accelerate potenza irradiata da una carica in moto accelerato P 2 2 qa = formula di Larmor 6πε c 3 0 vai al Physlets Physlets-Chapter 10 Main Page

23 Spettro delle onde e.m. Radiazione Elettromagnetica= Fotoni (γ) atomo protone nucleo Energia in ev Lunghezza d onda in m KeV MeV GeV TeV ev = energia accumulata da un elettrone accelerato da una ddp di 1 Volt

24 Backup slides