4. Disegnare le forze che agiscono sull anello e scrivere la legge che determina il moto del suo centro di massa lungo il piano di destra [2 punti];

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1 1 Esercizio Una ruota di raggio e di massa M può rotolare senza strisciare lungo un piano inclinato di un angolo θ 2, ed è collegato tramite un filo inestensibile ad un blocco di massa m, che a sua volta può strisciare su un piano inclinato di un angolo θ 1. I coefficienti di attrito statico dei piani vale µ S e quello di attrito dinamico vale µ D. Il blocco ha dimensioni trascurabili ed è descrivibile come un punto materiale. La ruota è schematizzabile come un anello di raggio, dato che la massa delle razze della ruota è trascurabile. Si osserva che la ruota sale e il blocco scende. m M θ 1 θ 2 NB: I punti da 1. a 5. sono preliminari in quanto riguardano nozioni estremamente basilari. Se le risposte ai punti da 1. a 5. non risulteranno corrette, i restanti punti non verranno considerati. 1. Quale delle seguenti affermazioni riguardanti il blocco m è corretta? (riscrivere la risposta per esteso e solo sul foglio protocollo, non qui sotto): [2 punti] (a) su m agisce una forza di attrito f att di modulo µ D mg sin θ 1 lungo il piano; (b) su m agisce una forza di attrito f att di modulo µ S mg cos θ 1 lungo il piano; (c) su m agisce una forza di attrito f att di modulo µ D mg cos θ 1 lungo il piano; (d) su m agisce una forza di attrito f att di modulo mg sin θ 1 lungo il piano; 2. Quale delle seguenti affermazioni riguardanti l anello M è corretta? (riscrivere la risposta per esteso e solo sul foglio protocollo, non qui sotto): [2 punti] (a) su M agisce una forza di attrito F att di modulo µ D Mg sin θ 2 lungo il piano; (b) su M agisce una forza di attrito F att lungo il piano; (c) su M non agisce alcuna forza di attrito F att lungo il piano perché il moto dell anello è di puro rotolamento; (d) su M agisce una forza di attrito F att di modulo µ S Mg cos θ 2 lungo il piano; 3. Disegnare le forze che agiscono sul blocco m e scrivere la legge che determina il suo moto lungo il piano di sinistra [2 punti]; 4. Disegnare le forze che agiscono sull anello e scrivere la legge che determina il moto del suo centro di massa lungo il piano di destra [2 punti]; 5. Scrivere la legge che determina il moto rotatorio dell anello attorno al centro di massa [2 punti]; 6. isolvere le equazioni ottenute nei punti 3, 4, 5, e determinare (in forma simbolica) l accelerazione a del sistema e la forza di attrito F att che agisce sull anello, in funzione dei parametri m, M, θ 1, θ 2 e µ D [3 punti];

2 2 7. Determinare il valore esplicito di a nel caso particolare in cui m = 3 Kg, M = 1.5 Kg e θ 1 = π/4, θ 2 = π/8 e µ D = 0.2 [1 punto]; 8. Sia L (t 1 ) il momento angolare dell anello rispetto al suo centro di massa ad un certo istante t 1. Determinare (in forma simbolica) la variazione L = L (t 1 + t) L (t 1 ) in un intervallo di tempo t, in funzione dei parametri m, M, θ 1, θ 2, µ D e del raggio dell anello. [4 punti]; (momento d inerzia dell anello rispetto all asse passante per il centro vale I A = M 2 )

3 3 SOLUZIONE 1. Siccome il blocco è un punto materiale che si muove lungo la rampa strisciando, la forza di attrito che il piano esercita su di esso è di tipo dinamico, ed è pari a f att = µ D F p1, = µ D mg cos θ 1 (1) dove F p1, è la componente normale al piano della forza peso. Siccome dal testo sappiamo che il blocco scende, la forza di attrito f att si oppone al moto ed è diretta lungo il piano verso l alto. Pertanto la risposta corretta è c) su m agisce una forza di attrito f att di modulo µ D mg cos θ 1 lungo il piano 2. Sull anello viene esercitata una forza di attrito, altrimenti non rotolerebbe. Inoltre, siccome l anello rotola senza strisciare, il punto di contatto anello-rampa è istantaneamente fermo e dunque la forza di attrito F att che la rampa esercita sull anello è di tipo statico. Il suo valore è un incognita del problema. L unica cosa che possiamo dire è che, essendo il punto di contatto fermo, tale forza incognita non supera la soglia massima, ossia vale che F att µ S Mg cos θ 2, e non possiamo affermare che F att = µ S Mg cos θ 2, che rappresenta solo il valore massimo. Pertanto la risposta corretta è b) su M agisce una forza di attrito F att lungo il piano Osserviamo anzitutto che, siccome il filo è inestensibile, il sistema anello+blocco si muove solidalmente, e la velocità e l accelerazione traslatorie (nelle rispettive direzioni) sono le stesse per l anello e per il blocco. Fissiamo un verso convenzionale per l accelerazione del sistema (il testo suggerisce quello di salita lungo il piano per l anello, e dunque di discesa lungo il piano per il bloco, come mostrato in figura 1). 3. Consideriamo le forze che agiscono sul blocco m. Anzitutto scomponiamo la forza peso nelle componenti parallela al piano e ortogonale al piano: { Fp1, = m g sin θ 1 F p1, = m g cos θ 1 (2) dove la componente normale F p1, è bilanciata dalla reazione vincolare del piano e non ha effetto. Lungo il piano agiscono inoltre su m anche la tensione T del filo (diretta verso l alto) e la forza f att di attrito dinamico (diretta verso l alto perché sappiamo che il blocco scende). L equazione della dinamica per m, lungo il piano, è la seguente mg sin θ 1 T µ D mg cos θ 1 = ma (moto traslatorio di m) (3)

4 4 4. Il centro di massa dell anello si muove con un moto dettato dalla sommatoria di tutte le forze che agiscono sul corpo, come applicate al centro di massa stesso. Consideriamo dunque le forze che agiscono su M. Scomponiamo la forza peso nelle componenti parallela al piano e ortogonale al piano: { Fp2, = M g sin θ 2 (4) F p2, = M g cos θ 2 dove la componenti normale è bilanciata dalla reazione vincolare del piano e non ha effetto. Inoltre, agisce la tensione T del filo (diretta in maniera opposta a quella su M), ed infine sull anello agisce anche la forza di attrito (dato che l anello rotola) che si oppone al moto. Quindi l equazione che determina il moto del centro di massa è Fp1, T f att F p1, T F p2, F p2, F att θ 1 θ 2 Figure 1: Mg sin θ 2 + T F att = Ma (moto traslatorio di m) (5) 5. moto rotatorio dell anello attorno al centro di massa; Si tratta della equazione del moto rotatorio M = d L dt (6) dove M e L sono il momento delle forze e il momento angolare rispetto al sistema di riferimento (peraltro non inerziale) del centro di massa dell anello. Qui osserviamo che per come sono dirette le forze, M e L sono diretti lungo l asse perpendicolare al foglio (verso uscente), attorno a cui avviene la rotazione. Proiettando l equazione vettoriale lungo questa direzione abbiamo M = dl dt (7) L unica forza che applica un momento è quella di attrito (le altre hanno braccio nullo) M = F att (8)

5 5 Il momento angolare lungo l asse ortogonale al piano dell anello (un asse principale) si scrive L = I A ω dl dt = I Aα (9) dove I A è il momento d inerzia dell anello, e α è l accelerazione angolare; siccome il moto dell anello è di puro rotolamento, il punto di contatto è istantaneamente fermo, e dunque vale la relazione α = a (condiz. moto di puro rotolamento) (10) In conclusione, dalle equazioni (7), (8), (9) e (10) ricaviamo che F att = I A a (moto rotatorio di M) (11) 6. Abbiamo dunque ottenuto le seguenti equazioni [(3) (5), e (11)] mg sin θ 1 T µ D mg cos θ 1 = ma Mg sin θ 2 + T F att = Ma F att = I A a che costituisce un sistema di tre equazioni per le tre incognite a, F att e T. isolviamo il sistema di equazioni; portiamo in evidenza T nella prima equazione e dividiamo la terza equazione per, e T = m(g sin θ 1 a µ D g cos θ 1 ) Mg sin θ 2 + T F att = Ma (13) F att = a I A 2 Sostituendo la prima e la terza equazione nella seconda otteniamo (12) Mg sin θ 2 + m(g sin θ 1 a µ D g cos θ 1 ) a I A 2 = Ma g (m sin θ 1 M sin θ 2 µ D m cos θ 1 ) = (m + M + I A 2 )a a = g m sin θ 1 M sin θ 2 µ D m cos θ 1 m + M + I A 2 icordando ora che il momento d inerzia di un anello vale (14) I A = M 2 (15) otteniamo che a = g m sin θ 1 M sin θ 2 µ D m cos θ 1 m + 2M (16)

6 6 Per quanto riguarda l attrito F att, dalla terza delle (13) otteniamo che Sostituendo la (16) si ottiene F att = a I A = Ma (17) 2 F att = Mg m sin θ 1 M sin θ 2 µ D m cos θ 1 m + 2M (18) 7. Sostituendo i valori numerici in (16) otteniamo a = g m sin θ 1 M sin θ 2 µ D m cos θ 1 = m + 2M = 9.81 m 3 Kg / sin π Kg / sin π Kg / cos π 4 s 2 3 Kg / Kg / = 1.84 m s 2 (19) 8. Il momento angolare L dell anello rispetto al suo CM è diretto perpendicolarmente al foglio (verso uscente dato che l anello sale), ed il suo modulo vale L (t) = I A ω(t) dove ω(t) è la velocità angolare istantanea, nel sistema del centro di massa. Il moto rotatorio dell anello attorno al suo centro di massa è un moto circolare uniformemente accelerato. Infatti nel caso che stiamo considerando l accelerazione angolare è costante nel tempo, come si può vedere dal fatto che α = dω dt = a (moto di puro rotolamento) con a costante nel tempo [vedi (16)]. Pertanto la velocità angolare evolve nel tempo come ω(t 1 + t) = ω(t 1 ) + α t = ω(t 1 ) + a t (20) Pertanto la variazione del momento angolare vale all istante t 1 + t è dato da ossia L = L (t 1 + t) L (t 1 ) = = I A (ω(t 1 + t) ω(t 1 )) = = M 2 a t = [uso la (16)] = M 2 g m sin θ 1 M sin θ 2 µ D m cos θ 1 2M + m L = M g m sin θ 1 M sin θ 2 µ D m cos θ 1 2M + m Il risultato può anche essere ottenuto, in maniera equivalente, dall integrazione dell equazione del momento dl dt = M = (21) (22)

7 7 Integriamo tale equazione da t 1 a t 1 + t t1 + t t 1 dl dt dt = L (t 1 + t) L (t 1 ) = t1 + t t 1 t1 + t t 1 M (t) dt M (t) dt Osserviamo che M (t) è in realtà costante nel tempo, dato che M = F att e F att è costante nel tempo [vedi (18)]. Dunque otteniamo che coincide con (22). L = L (t 1 + t) L (t 1 ) = = M t = = F att t = [uso (18)] = M g m sin θ 1 M sin θ 2 µ D m cos θ 1 2M + m t (23)